Enoncé : Le flocon de von Koch se construit de manière récurrente
Le flocon de von Koch est le flocon obtenu à la limite de ces opérations. Le but est de calculer son périmètre ainsi que son aire.
Travaux dirigés : Flocon de Von Koch I. Introduction II. Définition III
Niels Fabian Helge Von Koch (Suédois 1870-1924) est un mathématicien qui a donné son nom à l'une des premières fractales : le flocon de Koch ou flocon de
Quelle est la longueur du flocon de von Koch?
La longueur du flocon de von Koch est infinie! Page 5. On vient de découvrir une propriété des objets fractals qui aura des applications
Le flocon de Von Koch
Le flocon de Von Koch b) Chaque figure se construit à partir de la figure précédente . C'est ce qu'on appelle un procédé par récurrence .
Construction géométrique : Flocon de Noël Construction
6) Partage tous les segments de la figure en trois segments de même longueur. Trace à nouveau des triangles équilatéraux comme à l'étape 4.
Flocon de Von Koch et approximation de Pi
Flocon de Von Koch et approximation de Pi. Vincent Pilaud. Février 2004. 1 Préliminaire. 1.1 Calculs d'aire. Soit ABC un triangle de cotés de longueur AB
Autour du flocon de Von KOCH.
3 janv. 2013 La courbe originale de Von Koch aussi appelée courbe du flocon de neige
1 Flocon de von Koch
Voici les différentes étapes de la construction du flocon de von Koch par application successive de la même transformation. Attention.
Une introduction aux fractales
Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch.
Le flocon de Von Koch une courbe fractale
Le flocon de Koch imaginé en 1904 par le mathématicien suédois Helge Von Koch
FlocondeVonKochetapproximationdePi
VincentPilaud
1.1Calculsd'aire
AABC=yp
4x2¡y2
4½x02R
8n2N;xn+1=¹+xn
8n2N;nX
k=0x k=(n+1)(2x0+n¹)2=(n+1)x0+n(n+1)¹2
½x02R
8n2N;xn+1=¹xn
8n2N;nX
k=0x k=x01¡¹n+11¡¹
12FlocondeVonKoch
2.1Descriptionduproblµeme
FIG0FIG1FIG2
Montrerque:
8n2N;cn=4n:3etln=x
3n8n2N;Pn=(4
3)n3xMontrerque:
limn!1Pn=1 petitstriangles.Montrerque:
8n2N;kn=4n¡1:3etan=A0
9n8n2N;An=A0[1+nX
k=1(4k¡1:39k)]=x2p
320[8¡3(49)n)]
Montrerque:
lim n!1An=2x2p 3 5 vers1. 23ApproximationdePi
l'aireducercle. P6Q 6 R3.2Calculdel'aired'unpolygone
OAB R3.3Encadrement
Question9Donnerl'airedePn.
34Correction
AH2+HC2=AC2)AH=p
AC2¡HC2=rx2¡(y2)2=p
4x2¡y2
2 AABC=AH:BC
2=yp4x2¡y2
4 AABC=xp
4x2¡x2
4=x2p 3 48n2N;xn=n¹+x0etnX
k=0x k=(n+1)x0+n(n+1)¹ 2 x n+1=¹+xn=¹+n:¹+x0=(n+1)¹+x0 n+1X k=0x k=nX k=0x k+xn+1 =(n+1)x0+n(n+1)¹2+(n+1)¹+x0
=(n+2)x0+(n+1)(n+2)¹ 2 k=0k=n(n+1) 2. n X k=0x k=nX k=0k¹+x0=(n+1)x0+¹nX k=0k=(n+1)x0+¹n(n+1) 28n2N;xn=¹nx0etnX
k=0x k=x01¡¹n+11¡¹
x n+1=¹xn=¹:¹nx0=¹n+1x0 n+1X k=0x k=nX k=0x k+xn+1 =x01¡¹n+11¡¹+¹n+1x0
=x01¡¹n+1+(1¡¹)¹n+11¡¹
=x01¡¹n+21¡¹
44.2FloconsdeVonKoch
P n=ln:cn=4n:3:x3n=(43)n3x
etdonc,puisque4 3>1: limn!1Pn=19n,etpourn=1,an=A09,donconabienle
A n=A0+nX j=1k j:aj=A0+nX j=14 j¡1:3:A09j=A0[1+13n¡1X
j=0(49)j] =A0[1+131¡(4
9)n1¡49]=x2p
320[8¡3(49)n)]
etdonc,puisque4 9<1: lim n!1An=2x2p 3 54.3ApproximationdePi
n. 2). 2).Onadonc:
A n;R=nAOAB=nAB:OH2=nR22:2cos(®n2)sin(®n2)
nR22sin(®n)=nR22sin(2¼n)
Question8Onadonc:
APn=nR2
2sin(2¼n)
etcommelerayondeQnestR cos(®n2),ona: AQn=nR2tan(¼
n)Question9Onadonc:APn 2sin(2¼n)<¼ cos(2¼ 2k)=r1+cos(2¼nk¡1)2
k234...12 cos(2¼2k)00:707110:92388...0.99999882 2k 2sin(2¼2k)22.828433.06147...3.141591
2ktan(¼2k)43.313713.18260...3.141593
5quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
2sin(2¼n)<¼ cos(2¼ 2k)=r1+cos(2¼nk¡1)2
k234...12 cos(2¼2k)00:707110:92388...0.99999882 2k 2sin(2¼2k)22.828433.06147...3.141591
2ktan(¼2k)43.313713.18260...3.141593
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2k)=r1+cos(2¼nk¡1)2
k234...12 cos(2¼2k)00:707110:92388...0.99999882 2k2sin(2¼2k)22.828433.06147...3.141591
2ktan(¼2k)43.313713.18260...3.141593
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