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Résumé : fonctions élémentaires

Définition d"une fonction

Notation et représentation graphique

Une fonction est une règle donnant au plus un élémentf(x)d"un ensembleBassocié à chaque élémentxdeA. Notation :f:A!B.a b c dx 1 2

3f(x)ABf

Le plus souvent dans les cours du collégial,AetBsont des en- sembles de nombres réels ou de vecteursR,R2,R3, etc. Les fonctionsf:R!Rsont appeléefonctions réelles. Les fonctions réelles sont habituellement représentées par leur graphe. Le graphe d"une fonctionf:R!Rest l"ensemble des points de la forme(x;f(x)).(x;f(x))f(x)x

Domaine

Le domaine d"une fonctionf:A!Best l"ensemble desx2Aoù f(x)est défini. Notation : dom(f) =fajf(a)est définig: Conditions déterminant le domaine des fonctions élémentaires : 0AB défini()B,0 p<0npAdéfini()nimpair ounpair etA0 log(0)logb(A)défini()A>0 Différentes manières de définir une fonction

Définition par une équation : y=x2.

Définition implicite par une équation : x2y=0. Définition en donnant l"ef fetde la fonction f(x) =x2ou encore x7!x2.•Définition par parties : f(x) =8 :x

2six>1

xsi1x1 x

3six<1

Composition de fonctions

Sif:A!Betg:B!C, on définie la compositionfgdefet gcomme la fonction définie en appliquant d"abordget ensuitef: fg(x) =f(g(x)):a b c dx 1 2

3f(x)1

2 3

4g(f(x))ABCfg

Fonctions inverses

Deux fonctionsfetgsont inverses l"une de l"autre si fg(x) =xetgf(x) =x:

On dénote la fonction inverse defparf1.

Les fonctions inverses satisfont l"équivalence

f(x) =y()x=f1(y): Siy=f(x), on trouve doncf1en isolantxen fonction dey(si cela est possible) et en échangeant lesxpour desy. y=2x+1()x=y12

Doncf(x) =2x+1 a comme fonction inversef1(x) =x12

f

1trouvé de cette manière n"est pas nécessairement une fonc-

tion. Il faut souvent limiterf1sur un domaine adéquat pour en faire une fonction. Le graphe de la fonction inverse d"une fonctionfest sa réflexion par la droitey=x(qui a pour effet d"échangerxety).(x;f(x))f(x)x

Quelques fonctions inverses (C=constante)

y=f(x)()x=f1(y)y=x+C()x=yC y=Cx()x=yC y=x2()x=py(x0) y=bx()x=logb(y) y=ex()x=ln(x) y=sin(x)()x=arcsin(y) (p=2xp=2) y=cos(x)()x=arccos(y) (0xp) y=tan(x)()x=arctan(y) (p=2Fonctions polynomiales Fonctions linéaires(x1;y1)(x2;y2)DxDybForme générale : f(x) =ax+b

Passant par le point(x0;y0)et de

pentea: f(x) =a(xx0)+y0

Ordonnée à l"origine :b=f(0)

Pente :a=DyDx=y2y1x

2x1 a>0a=0a<0Fonctions quadratiques (h;k)x 1x

2c=f(0)Forme polynomiale

f(x) =ax2+bx+c

Forme canonique

f(x) =a(xh)2+k

Forme factorisée

f(x) =a(xx1)(xx2)Orientation

8>>>>>>><

>>>>>>:a>0a<0a=0 fonction linéaire!DiscriminantD=ba4ac

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>:D>0D=0D<0Si on connait trois points différents sur une parabole (en comptant le sommet pour deux), on peut déterminer tous les paramètres (et donc une fonction unique).

Fonctions polynomiales quelconques

dom(f) =R.xf(x) =x3xP(x);deg(P) =3xf(x) =x4xP(x);deg(P) =4Zéros et extrémums. •f(x)peut avoir jusqu"à deg(P)zéros. •f(x)peut avoir jusqu"à deg(P)1 extremums.

Fonctions rationnelles

Forme générale :f(x) =P(x)Q(x), oùP(x)etQ(x)sont des poly- nômes. dom(f) =fx2RjQ(x),0g, asymptote ou discontinuité non essentielle à chaquexFonctions transcendantes Une fonction transcendante est une fonction qui n"est pas algé- brique.

Fonctions exponentielles

Forme générale :f(x) =Abx+k, dom(f) =Rxb

x;b>11 xb x;b<11

Fonctions logarithmiques

fxjxa>0gxlog b(x);b>11 xlog b(x);0Fonctions trigonométriques f(x) =sin(x), dom(sin) =Rg(x) =cos(x), dom(cos) =R tan(x) =sin(x)cos(x);dom(tan) =Rnf(2k+1)p2 jk2Zgxsin(x)cos(x)1 1 p2p4p2p3p22p2pxtan(x) p2 p2p2p3p22pFonctions sinusoïdales

Forme générale :

f(x) =Asin(w(xh))+kDéphasage temporel =Asin(wx+f)+k

Déphasage angulaire

dom(sin) =R

Amplitude :A

Vitesse angulairew

Période :T=2pwDéphasage (temps) :h=fw

Déphasage (angle) :f=whxAsin(a(xh))Af

hA AT

Fonctions définies par morceaux

Valeur absolue

3 jxj=( xsix0 xsix<0Propriétés de fonctions Périodique (périodeT)f(x+T) =f(x)(ex : sin(x))

Pairef(x) =f(x)(ex :x2, cos(x))

Impairef(x) =f(x)(ex :x3, sin(x))

Transformation du graphe d"une fonction

Symétries

Symétrie par rapport à

l"axe desx g(x) =f(x)xf(x)g(x)Symétrie par rapport à l"axe desy g(x) =f(x)xf(x)g(x)Translation verticales et horizontales

Translation verticale dek:

g(x) =f(x)+kxf(x)g(x)kTranslation horizontale deh: g(x) =f(xh):xf(x)g(x)h

Changements d"échelles

Facteurbhorizontal :

g(x) =fxb xf(x)g(x)Facteuravertical : g(x) =af(x):xf(x)g(x)4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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