Chapitre 1 Suites numériques Fonctions numériques de la variable PDF

Théorème 9 (Caractérisation séquentielle de la limite). Soit a ? I. La fonction f admet l comme limite en a si et seulement si pour toute suite réelle.

MATH Tle D OK 2

si ? 0; sont les mêmes que celles sur les limites des fonctions numériques. f) Limites des suites définies à l'aide d'une fonction. •. Suite de type.

Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

Rn(x)=0 et donc en particulier (Rn)n converge simplement vers la fonction nulle. Mathématiques 3 2016. Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions.

Suites et séries de fonctions

7 oct. 2019 x ? D la limite éventuelle de la suite numérique (fn(x))n?N. Définition 1.1. Soient D un ensemble

Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels

Définition : Une suite un est dite explicite s'il est possible de calculer directement un à partir de n. On note alors un = g n avec g une fonction

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

valeur approchée (utilisée dans le calcul numérique) d'un nombre réel (limite d'une suite

S3 : Régularité des suites et des séries de fonctions numériques

Remarque Les fn sont à peu près toujours continues. Inutile alors de suppo- ser que f est continue par morceaux elle est automatiquement continue.

Cours dAnalyse 1 Prof: Rachid Bahloul

11 avr. 2020 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperboliques Développ.

CHAPITRE 1—LES SUITES NUMÉRIQUES

Montrer que la suite (un) est décroissante. 4. Pour les suites suivantes calculer les termes u1 et u2 : 1. u0.

Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

Soient (un) et (vn) deux suites convergentes de K de limites respectives l1 et l2. Alors : pour tout ? ? K

Notations.

Définition 1 (Suite arithmétique)?????a2K? ?? ?????u?????? ???u02K?? ???? ????n2N?un+1=un+a??? ??? ?????

(i)?un=u0+na?(ii)?nP k=0u k= (n+ 1)u0+n(n+1)2 a?

Définition 2 (Suite géométrique)?????q2Knf1g? ?? ?????u?????? ???u02K?? ???? ????n2N?un+1=qun??? ??? ?????

(i)?un=qnu0?(ii)?nP k=0u k=u01qn+11q=u0qn+11q1?

Définition 3 (Suite arithmético-géométrique)???????a2K?q2Knf1g? ?? ?????u?????? ???u02K?? ???? ????n2N?un+1=qun+a

8n2N; un=qn

u 0a1q +a1q: u n+2=aun+1+bun;8n2N: r

2arb= 0:

u n=rn1+rn2;8n2N: (ii)??? (E)??????? ??? ?????? ??????r0????K? ?? ??????(;)2K2??? ??? u n= (+n)rn0;8n2N: r

2=ei? ?????? ?? ??????(;)2R2??? ???

u n=ncos(n) +nsin(n);8n2N: Exercice 1.????2]0;[? ????(un)?? ????? ?????? ???u0=u1= 1?? ???? ????n?????? ??????? u

8" >0;9n02N;8n>n0;jun`j6":

Exercice 2.

2. Lemme de

1n n P k=1u k

Exercice 4.

(i)?limu=`? (iii)?limn!+1u2n= limn!+1u2n+1=`?

Exercice 5.??????? ??? ?? ?????cosn3

n2N??????? ??? ?? ??????? ??? ???? ????n>p?un6vn? ?????`16`2?

8 a2A; a6m?

9 (un)n2N2S(A) ; limu=m?

Exercice 7.

1.????A=n

(1)n+(1)n+1n+1; n2No

8M>0;9n02N;8n>n0; un>M:

Exercice 9.????a2C? ??????? ???limn!+1a

nn!= 0?

Exercice 10. (Constante d"

k=11k lnn nP k=1(1)kk n2N? Exercice 11. (Irrationalité dee)??????? ??? ??? ?????? ?? ????? ???????un=nP k=01k!?? v ??????? ??? ?? ?????? ??0? ??? ???f(c) =y?

0(a) =f0(a)g(a)f(a)g0(a)g(a)2?

0(a)? f(0)=f

Proposition 6 (Formule de

k=0 n kf(k)g(nk)?

Théorème 13 (Formule de

f(x) =nX k=0f (k)(a)k!(xa)k+Z x a(xt)nn!f(n+1)(t)?t:

Exercice 18.

1.??????? ???? ???? ????x2]1;+1[?ln(1 +x)6x?

2.??????? ??? ???? ????x?????limn!+1n

P k=0x kk!= exp(x)?

Théorème 14 (Formule de

f(x) =nX k=0f (k)(a)k!(xa)k+o((xa)n): ln1 +1n ln1 +12n2?

Exercice 20.

a2I? ???? f(x) =nX k=0a k(xa)k+o((xa)n);

F(x) =F(a) +nX

k=0a kk+ 1(xa)k+1+o((xa)n+1):

Exercice 21.

3.????f:R!R?????? ???f(x) =x+x3sin1x

???????1??0?

Théorème 16 (Théorème de

f(a) =f(b)? ?????

9c2]a;b[ ;f0(c) = 0:

??????? ???R? ?????P0??? ?????? ? ??????? ??????? ???R?

9c2]a;b[ ;f(b)f(a) =f0(c)(ba):

Théorème 18 (Inégalité des accroissements finis)???????f2D(I)??m; M???? ????? ???? ??? ???? ????x2I?m6f0(x)6M? ?????? ????

????(x;y)2I2? ??x6y? ?????m(yx)6f(y)f(x)6M(yx)?

Exercice 24.

Théorème 21 (Prolongement par continuité)???????a2R;DR?f2F(D;K)??h >0??? ???[ah;a+h]nfag D? ?????? ??a? ef:D[ fag !K x6=a7!f(x) a7!`

Exercice 25.

2.????f:R?!R; x7!sinxx

lim x!af(x)f(a)xa=`:

Exercice 26.

??0? u n+1=f(un)?? f(D)D? ?????? ???? ???? ??????? ??? ??????? ??g:x7!f(x)x? ?????? ?? ????? ??g? (i)?? ??????? x2]0;a]?0< f(x)< x? (ii)??? ?????? >0??c >0???? ???f(x) =xcx+1+o0x+1? ????(un)?? ????? ?????? ???u02Inf0g?? ???? ????n>0; un+1=f(un)?

2. a)????

?? ???? ??? ???? ??????? ???u n+1=u nc u+ n+o u+ n b)??????? ????? ?????? ??? ??? ?? ?????u n+1u a)????u?????? ???u02]0;[?? ????n>0?un+1= sin(un)? b)????u?? ????? ?????? ???u0>0?? ????n>0?un+1= ln(1 +un)?quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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