[PDF] CHAPITRE 1—LES SUITES NUMÉRIQUES





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Chapitre 1 Suites numériques Fonctions numériques de la variable

Théorème 9 (Caractérisation séquentielle de la limite). Soit a ? I. La fonction f admet l comme limite en a si et seulement si pour toute suite réelle.



MATH Tle D OK 2

si ? 0; sont les mêmes que celles sur les limites des fonctions numériques. f) Limites des suites définies à l'aide d'une fonction. •. Suite de type.



Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

Rn(x)=0 et donc en particulier (Rn)n converge simplement vers la fonction nulle. Mathématiques 3 2016. Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions.



Suites et séries de fonctions

7 oct. 2019 x ? D la limite éventuelle de la suite numérique (fn(x))n?N. Définition 1.1. Soient D un ensemble



Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels

Définition : Une suite un est dite explicite s'il est possible de calculer directement un à partir de n. On note alors un = g n avec g une fonction 



Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

valeur approchée (utilisée dans le calcul numérique) d'un nombre réel (limite d'une suite



S3 : Régularité des suites et des séries de fonctions numériques

Remarque Les fn sont à peu près toujours continues. Inutile alors de suppo- ser que f est continue par morceaux elle est automatiquement continue.



Cours dAnalyse 1 Prof: Rachid Bahloul

11 avr. 2020 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperboliques Développ.



CHAPITRE 1—LES SUITES NUMÉRIQUES

Montrer que la suite (un) est décroissante. 4. Pour les suites suivantes calculer les termes u1 et u2 : 1. u0.



Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

Soient (un) et (vn) deux suites convergentes de K de limites respectives l1 et l2. Alors : pour tout ? ? K

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CHAPITRE1 - LES SUITES NUMÉRIQUES1 Généralités sur les suites numériques. 2

1.1 Définition d"une suite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Suite définie par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Suite définie par une formule explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Sens de variation d"une suite 2

3 Suites arithmétiques3

3.1 Suite arithmétique de raisonr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3.2 Formule explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4 Suites géométriques3

4.1 Suite géométriques de raisonq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

4.2 Formule explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

5 Exercices d"entrainement4

5.1 Suites numériques - généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

5.2 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Compétences attendues :?Savoir calculer les premiers termes d"une suite. ?Déterminer le sens de variation d"une suite. ?Prouver une propriété par récurrence. ?Montrer qu"une suite est arithmétique ou géométrique

Fabien Bessière

Adresse mail :fabienbessiere@gmail.com

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1 Généralités sur les suites numériques.

1.1 Définition d"une suite numériqueDéfinition

Une suiteuest une fonction sur l"ensembleNdes nombres entiers naturels. L"image du nombre entier

naturelnpar la suiteu, notéeu(n)oùunest appelée terme d"indicenou de rangnde la suite.RemarqueLa suite u est aussi notée(un)n2Nou plus simplement(un). De plus, un+1est le terme d"indice(n+1),

noté aussi u(n+1).ExempleSoit(un)la suite définie pour tout entier naturelnparun=2n+3. Calculeru0,u1,u2etu10.

Même question pour Soit(vn)la suite définie pour tout entier naturelnparvn= (n+1)2

1.2 Suite définie par une relation de récurrenceDéfinition

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :

son premier terme. d"une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant (On exprimeun+1

en fonction deunpour tout entier natureln). Cette relation est appeléerelation de récurrence.ExempleSoit(un)la suite définie paru0=2 et pour tout entier naturelnparun+1=2un+3. Calculer

u

1etu2.

1.3 Suite définie par une formule explicite

Une suite est définie par une formule explicite lorsqueuns"exprime directement en fonction den(un=f(n)).

Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.ExempleSoit(un)n2Nla suite définie pour tout entier naturelnparun=1+3n. Calculeru0,u1,u2etu10.

2 Sens de variation d"une suiteDéfinition

Une suite(un)n2Nestcroissantesi pour toutn0 :un+1un.

Une suite(un)n2Nestdécroissantesi pour toutn0 :un+1un.ExempleÉtudier le sens de variation de la suiteudéfinie surNparun=4n+3.Proposition

Soitfune fonction définie sur l"intervalle[0,+1[et, pour tout entier natureln,un=f(n). Si la fonctionfestcroissantesur[0;+1[, alors la suiteuestcroissante. Si la fonctionfestdécroissantesur[0;+1[, alors la suiteuestdécroissante.2/5

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3 Suites arithmétiques

3.1 Suite arithmétique de raisonrDéfinition

On dit qu"une suiteuestarithmétiquesi il existe un nombre réelrtel que pour tout nombre entier natureln,un+1=un+r.

Le nombre réelrest appeléraisonde la suiteu.RemarqueAutrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme (sauf le premier) est obtenu

en ajoutant au terme précédent un réel r, toujours le même.ExempleSoit(un)n2Nla suite arithmétique de premier termeu0=5 de raisonr=4. Calculeru1,u2et

u

3.Proposition

Une suite arithmétique de raisonrest croissante si et seulement sir>0 et décroissante si et seulement

sir<0.3.2 Formule explicite

Proposition

Siuest une suite arithmétique de raisonr, alors pour tous nombres entiers naturelsnetp, u n=up+(np)r

En particulier, pour tout nombre entier natureln:

u n=u0+nrExempleSoit(un)n2Nla suite arithmétique de premier termeu0=8 de raisonr=2 1. P ournombre entier naturel n, donner l"expression de la suite(un)en fonction den. 2.

Calculer u1etu7.

3.

Calculer le terme au rang 12. ExempleSoit(un)n2Nune suite arithmétique de raison 8 etu3=40. Calculeru9.

4 Suites géométriques

4.1 Suite géométriques de raisonqDéfinition

On dit qu"une suiteuestgéométriquessi il existe un nombre réelqtel que pour tout nombre entier

natureln: u n+1=qun.

Le nombre réelqest appeléraisonde la suiteu.RemarqueAutrement dit, on passe d"un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par q.

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ExempleSoit(un)n2Nla suite géométrique de premier termeu0=5 de raisonq=2. Calculeru1,u2et u 3.

4.2 Formule expliciteProposition

Siuest une suite géométrique de raisonq(q6=0) alors, pour tous nombres entiers naturelsnetp, u n=upqnp. En particulier, pour tout nombre entier natureln: u n=u0qnExempleSoit(un)n2Nla suite géométrique de premier termeu0=3 de raisonq=2. 1.

Calculer u1etu7.

2. Calculer le terme au rang 5. ExempleSoit(un)n2Nune suite géométrique de raison12 etu3=40. Calculeru6.

5 Exercices d"entrainement

5.1 Suites numériques - généralités1Déterminer les 4 premiers termes des suites suivantes :

u n=2n2n+1 etvn=2n+123n2Dans cet exercice, on mettra en évidence la monotonie des suites 1. On considère la suite (un)définie par :un=3n4 pour toutn2N. Montrer que(un)est strictement croissante. 2.

La suite (vn)est définie par :vn=n2

n+1pour toutn2N. Montrer que(vn)est strictement décroissante

à partir du rang 2.

3. Soit (un)la suite dont le terme de rangnest définie par :un=32n+102 pour toutn2N. Montrer que cette suite est décroissante. 4. Soit (wn)la suite dont le terme de rangnest définie par :wn=2n25n pour toutn2N. Montrer que la suite(wn)est croissante.3Soit(un)la suite définie par :u0=1 u n+1=unu2 n1pour toutn2N 1.

Compléter le tableau ci-dessous : n01234

u

n2.Montrer que la suite (un)est décroissante.4Pour les suites suivantes, calculer les termesu1etu2:

1. u0=5 u n+1=2unu n+12.u0=1 u n+1= (un+1)23.u0=2 u n+1=un1u n5Étudier le sens de variation de chaque suite. 4/5

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1.un=3n2n+1

2.un=23n3

2n3.un= (n5)2,n5

4.u0=2

u n+1=unn6Étudier les variations des suites suivantes :

1.un=2n+1,

2.vn=3n2

n,

3.wn=3n+12n+2.

5.2 Suites arithmétiques et géométriques7Soit la suite arithmétique(un)définie surN, de raisonr=2 et de premier termeu0=15.

1.

Écrire un+1en fonction deun.

2.

Écrire unen fonction den.

3.

Calculer u1etu10.

4.

Calculer la somme S10=u0+u1+...+u108On considère deux suites(un)et(vn)définies pour toutn2Npar :

u n=32n4n32 etvn=32n+4n+32 1.

Soit (wn)la suite définie parwn=un+vn. Démontrer que(wn)est une suite géométrique dont on

précisera la raison 2. Soit (tn)la suite définie partn=unvn. Démontrer que(tn)est une suite arithmétique dont on précisera la raison 3.

Démontrer que pour tout n2N,un=wn+tn2

.9?Soientaetbdeux réels non nuls aveca6=1. Soit(un)la suite définie pour toutn2Npar : u n+1=aun+b. Posons pour toutn2N,vn=unb1a. Démontrons que la suite(vn)est géométrique de raisona. 5/5

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CHAPITRE2 - DÉRIVATIONS1 Taux d"accroissement d"une fonction 2

2 Nombre dérivé2

3 Tangente à une courbe2

4 Fonction dérivée3

4.1 Fonction dérivée de la fonctionx7!xn(n2Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

4.2 Fonction dérivée de la fonctionx7!px. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

4.3 Somme et produit par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4.4 Produit, inverse et quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

5 Tableaux récapitulatif5

6 Application de la dérivation à l"étude du sens de variation d"une fonction 5

7 Exercice d"entrainement6

Compétences attendues :?Comprendre géométriquement la notion de dérivé. ?Savoir déterminer l"équation d"une tangente à une courbe en un point. ?Connaître parfaitement les dérivées de fonctions usuelles. ?Connaître parfaitement les opérations sur les fonctions dérivables.

Fabien Bessière,

Adresse mail :fabienbessiere@gmail.com

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Dans tout ce chapitre,fdésigne une fonction définie sur un intervalleIRetCdésigne sa courbe repré-

sentative.

1 Taux d"accroissement d"une fonctionDéfinition

Soientaetbdeux réels dansI(aInterprétation graphique: SoientAetBdeux points deC, d"abscisses respectivesaetb. Le taux d"accrois-

sement de la fonctionfente les deux réelsaetbaveca (AB).C af(a)bf(b)AB

Figure 1

2 Nombre dérivé

Soita2Iethun réel tel quea+h2I. Remarquons que le taux d"accroissement defentreaeta+h, est : f(a+h)f(a)h .Définition

Si, lorsque le nombrehprend des valeurs de plus en plus proches de 0, le taux d"accroissement précé-

dent prend des valeurs de plus en plus proches d"un nombre`2R, alors on dira que la fonctionfest

dérivable enaet que`est lenombre dérivé de f en a. On note (lorsqu"il existe), ce nombref0(a). Plus

rigoureusement : f

0(a):=limh!0f(a+h)f(a)h

ce qui signifie : "f0(a)est la limite quandhtend vers 0 def(a+h)f(a)h »ExempleSoitfla fonction carréx7!x2. Calculerf0(1).

3 Tangente à une courbe

Partons de la figure 1 et posonsh=ba. On a vu que le taux d"accroissementf(a+h)f(a)h est le coefficient

directeur de la droite(AB). Quandhtend vers 0, le pointBse rapproche infiniment du pointA. Ainsi, la droite

(AB)tend vers une position limite qu"on appelle latangenteenAà la courbeC. 2/6

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Illustration: Quandhtend vers 0, la droite(AB)se rapproche de la droiteD, tangente àCenA.C DAB ab hC DAB ab hC DAB ab h

Définition

Sifest dérivable ena2I, alors latangente à la courbeCau point A d"abscisse aest la droite passant

parAet de coefficient directeurf0(a).Proposition

L"équation réduite de cette tangente est :y=f0(a)(xa)+f(a).ExempleCalculer l"équation de la tangente de la fonctionf:x7!x2au pointa=1.

4 Fonction dérivéeDéfinition

On dit que la fonctionfest dérivable surIsi pour touta2I,fest dérivable ena. De plus, la fonction

qui axassocié le nombre dérivéf0(x)est appeléefonction dérivéedef, et sera notéef0.ExempleSoitf:x7!x2eta2R. Calculer la dérivé defau pointa.

4.1 Fonction dérivée de la fonctionx7!xn(n2Z)Proposition

Pour tout entier relatifn, la fonctionfdéfinie surR(surRsinest négatif) parf(x) =xnest dérivable

surR(surRsinest négatif), et on a, pour tout réelx(non nul sinest négatif)f0(x) =nxn1.4.2 Fonction dérivée de la fonctionx7!px

Proposition

La fonctionfdéfinie sur[0,+1[parf(x) =pxest dérivable sur[0,+1[pour tout réelx2 [0,+1[:f0(x) =12 px .ExempleSoitfla fonction définie surRparf(x) =px. Calculerf0(4). 3/6

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4.3 Somme et produit par un réel

Proposition

Soientuetvdeux fonctions dérivables surIetf:x7!u(x)+v(x). Alorsfest dérivable sur I et pour

toutx2I:f0(x) =u0(x)+v0(x).RemarqueOn retiendra :(u+v)0=u0+v0.ExempleCalculer la dérivé de la fonction définie surRparf(x) =x4+1x

.Proposition Soituune fonctions dérivables surIet2R. Alors la fonctionf:x7!.u(x)est dérivable surIet

pour toutx2I:f0(x) =.u0(x)RemarqueOn retiendra(u)0=u0.ExempleCalculer la dérivé de la fonction définie surRparf(x) =5x3x.

4.4 Produit, inverse et quotientProposition

Soientuetvdeux fonctions dérivables surIetf:x7!u(x).v(x). Alorsfest dérivable sur I et pour

toutx2I:f0(x) =u0(x).v(x)+v0(x).u(x).RemarqueOn retiendra(uv)0=u0.v+u.v0.ExempleCalculer la fonction dérivéf0de la fonctionfdéfinie sur[0,+1[parf(x) =x2px

Proposition

Soientuetvdeux fonctions dérivables surItelles que pour toutx2I:v(x)6=0. La fonctionf:x7!1v(x)est dérivable surIet pour toutx2I: f

0(x) =v0(x)(v(x))2.

La fonctionf:x7!u(x)v(x)est dérivable surIet pour toutx2I: f

0(x) =u0(x).v(x)v0(x).u(x)v

0 =u0u 2etuv

0=u0.vu.v0v

2.ExempleCalculer la fonction dérivéef0de la fonctionfdéfinie surRparf(x) =32x2. Même question

pour la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4x3x 2+2. 4/6

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5 Tableaux récapitulatif

Soientn2Zet2R. On récapitule ici les propriétés de dérivés de fonctions usuelles :FonctionfEnsemble de dérivabilité defFonctionf0x7!Rx7!0x7!xRx7!1x7!x2Rx7!2xx7!xn8

:Rsin0 R sin<0x7!nxn1x7!1x]1;0[[]0;+1[x7! 1x

2x7!px]0;+1[x7!12

px

x7!cos(x)Rx7! sin(x)x7!sin(x)Rx7!cos(x)Soientuetvdeux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI(avec pour toutx2I,v(x)6=0). On

récapitule les opérations de dérivabilités :FonctionDérivé u+vu

0+v0.u.u0u.vu

0.v+v0.u1

v v0v 2u vu

0.vv0.uv

2u nn.u0.un16 Application de la dérivation à l"étude du sens de variation d"une fonction

L"idée est qu"autour du point de contact, la courbe et la tangente ont le même comportement. Si la fonction

est croissante, sa courbe " monte », la tangente aussi, donc son coefficient directeur, le nombre dérivé, est

positif. Si la fonction est décroissante, alors par le même mécanisme, le coefficient directeur est négatif.

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Théorème

Soitfune fonction dérivable surI.

-fest croissante surIsi et seulement sif0(x)¾0 pour toutx2I.

-fest constante surIsi et seulement sif0(x) =0 pour toutx2I.RemarqueOn retiendra que pour déterminer les variations d"une fonction, il suffit d"étudier le signe de sa

dérivée.ExempleSoitf:x7!2x28x+5. Donner la dérivée de la fonctionf. En déduire les variations def.

7 Exercice d"entrainement1Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :

1)f:x7!2021

2)f:x7!x43x

3)f:x7!10x73x4+5x+100

4)f:x7! 25

x5x+13x

5)f:x7!1x

1x 2

6)f:x7!x3x

7)f:x7!2x24x+1x2

8)f:x7!(2x25x+1)(x2+x+1)

9)f:x7!px

3x21

10)f:x7!x27x+sin(x)611)f:x7!13

x3169x+cos(x)

12)f:x7!sin(x)+4x3+9x2210x400

13)f:x7!2x+1+1x

14)f:x7!(10x3)(x+12)

15)f:x7!12x2+3

16)f:x7! 5x2+6+1x

4

17)f:x7!sin(x)cos(x)

18)f:x7!sin2(x)

19)f:x7!(x2+1)px

20)f:x7!2x34x2+7

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CHAPITRE3 — LA FONCTION EXPONENTIELLE1 Caractérisation de la fonction exponentielle 2

1.1 D?nition et propri?t?s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Cons?quence de la relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Notation e2

2.1 Nombreeet notation ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2.2 Propri?t?s alg?briques avec la nouvelle notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.3 Lien avec les suites g?om?triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 Étude de la fonction exponentielle 3

3.1 Signe de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3.2 R?solution d'?quations et d'in?quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3.3 Exponentielle d'une fonction afne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3.4 Exponentielle d'une fonction quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4 Exercices d'entrainements5

Compétences attendues :?Connaitre la d?riv?e, les variations et la courbe repr?sentative de la fonction exponentielle

?Connaitre les propri?t?s sur l'exponentielle ?Savoir r?soudre une ?quation avec des exponentielle ?Savoir r?soudre une in?quation avec des exponentielle

Fabien Bessière,

Adresse mail :fabienbessiere@gmail.com

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1 Caractérisation de la fonction exponentielle

1.1 Dénition et propriétésDénition — Théorème

Il existe une unique fonctionfd?nie et d?rivable surRtelle que : f

0=fetf(0) =1.

Cette fonction est appel?efonction exponentielle, elle est not?e exp :x7!exp(x). Ainsi pour toutx2R, exp

0(x) =exp(x)et exp(0) =1.ExempleD?terminer les d?riv?es des fonctions suivantes :

f(x) =3exp(x)+4x2g(x) = (5x+4)exp(x)h(x) =2x3exp(x).Proposition Pour tousx,yr?els, exp(x+y) =exp(x)exp(y).1.2 Conséquence de la relation fonctionnelle

Proposition

Pour tousx,yr?els et toutn2Z, on a :

exp(x) =1exp(x)exp(xy) =exp(x)exp(y)exp(nx) = (exp(x))n.ExempleSimplier les expressions suivantes : A=exp(2x3)exp(3x1),B= (exp(4x))2exp(6x+3),C=exp(2x+7)exp(5x1).

2 Notation e

2.1 Nombreeet notation exDénition

L'image de 1 par la fonction exponentielle est note e c'est-à-dire que e :=exp(1).RemarqueLenombreeestappelénombred"EulerouconstantedeNéper.Cenombreestunirrationnelc"est-à-dire

qu"il ne peut pas s"écrire comme le quotient de deux entiers. Une valeur approchée est e2,711828.

2.2 Propriétés algébriques avec la nouvelle notation

Soitx2R. On adapte une notation bien pratique pour retenir les formules qui est la suivante :e x:=exp(x)2/5

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Proposition

On a e

0=1. Plus g?n?ralement, pour tout r?elsx,yet toutn2Z, on a :

e x+y=exey, ex=1e x, exy=exe y, enx= (ex)n.?Attention !En g?n?ral,e x y6=ex+eyete x y6= (ex)yExempleSoitx2R. Simplier les expressions suivantes :

A=e2e3e4,B=e7e

2,C=e(ex)3,D=e1e4(e2)2e2x.

2.3 Lien avec les suites géométriquesProposition

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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