S3 : Régularité des suites et des séries de fonctions numériques PDF

Théorème 9 (Caractérisation séquentielle de la limite). Soit a ? I. La fonction f admet l comme limite en a si et seulement si pour toute suite réelle.

MATH Tle D OK 2

si ? 0; sont les mêmes que celles sur les limites des fonctions numériques. f) Limites des suites définies à l'aide d'une fonction. •. Suite de type.

Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

Rn(x)=0 et donc en particulier (Rn)n converge simplement vers la fonction nulle. Mathématiques 3 2016. Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions.

Suites et séries de fonctions

7 oct. 2019 x ? D la limite éventuelle de la suite numérique (fn(x))n?N. Définition 1.1. Soient D un ensemble

Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels

Définition : Une suite un est dite explicite s'il est possible de calculer directement un à partir de n. On note alors un = g n avec g une fonction

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

valeur approchée (utilisée dans le calcul numérique) d'un nombre réel (limite d'une suite

S3 : Régularité des suites et des séries de fonctions numériques

Remarque Les fn sont à peu près toujours continues. Inutile alors de suppo- ser que f est continue par morceaux elle est automatiquement continue.

Cours dAnalyse 1 Prof: Rachid Bahloul

11 avr. 2020 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperboliques Développ.

CHAPITRE 1—LES SUITES NUMÉRIQUES

Montrer que la suite (un) est décroissante. 4. Pour les suites suivantes calculer les termes u1 et u2 : 1. u0.

Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

Soient (un) et (vn) deux suites convergentes de K de limites respectives l1 et l2. Alors : pour tout ? ? K

S3 : Régularité des suites et des séries de fonctions numériques Les fonctions dont il est question dans ce chapitre sont définies sur un inter- valleIdeR, à valeurs dansRouC.

I Suites et séries de fonctions continues

Il s"agit d"un rappel :

ThéorèmeSoit (fn)n¸0une suite de fonctions définies sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles ou complexes. Si lesfnsont continues, et si la suite (fn) converge uniformément sur tout segmentvers une fonctionf, alorsfest continue. ThéorèmeSoit (fn)n¸0une suite de fonctions définies sur un intervalleIdeR, à valeurs réelles ou complexes. Si lesfnsont continues surI, et si la série Pfnconverge uniformément sur tout segment, alorsÅ1X nAE0f nest continue. RemarqueOn dit parfois que la continuité se transmet par convergence uni- forme sur tout segment. Si on avait envie de croire que la dérivabilité, ou la classeC1, se transmettait de même, un théorème déjà vu nous en dis- suaderait... 1 rég. suites/séries de fncts (s3) II Convergence uniforme et intégration sur un seg- ment Sur la lancée de la comparaison entre normes usuellesN1etN1surC([a,b],K) (KAERouC), tout se passe très bien : PropositionSoit (fn)n2Nune suite de fonctions continues par morceaux sur un segment [a,b], à valeurs dansRouC. On suppose que la suite (fn) la suite³Z [a,b]fn´ n2Nconverge versZ [a,b]f. aux fonctions continues par morceaux. Et sik.k?est bien une norme sur C pm([a,b],E),k.k?n"en est pas une. Ce n"est qu"une "semi-norme». RemarqueLesfnsont à peu près toujours continues. Inutile alors de suppo- En revanche, il est intéressant de construire une suite de fonctions conti- nues par morceaux sur un segment convergeant uniformément vers une fonction qui, elle, ne l"est pas. sion. Exemple : 2 rég. suites/séries de fncts (s3)

Å1X

nAE0f nest continue par morceaux. AlorsXZb a fnconverge, et Å1 X nAE0µ Zb a AEZ b aµ

Å1X

nAE0f dt RemarqueLesfnsont à peu près toujours continues, alorsnX kAE0f kl"est.

III Convergence uniforme sur tout segment et pri-

mitivation PropositionSoit (fn)n2Nune suite de fonctions continues sur un intervalleI, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On sup- pose que la suite (fn) convergeuniformément sur tout segment inclus dansIvers une fonctionf(qui est donc continue). Soita2I, on définit pourx2I:

F(x)AEZ

x a f(t)dt,Fn(x)AEZ x a fn(t)dt Alors la suite (Fn) converge uniformément sur tout segment inclus dans

IversF.

mitivation (à condition bien sûr de prendre des primitives s"annulant toutes en un même point donné fixé). PropositionSoitXfnune série de fonctions continues sur un intervalleI. On suppose que la sérieXfnconvergeuniformément sur tout segment in- clus dansI. Soita2I;Xµ x7!Z x a converge uniformément sur tout segment inclus dansIversx7!Z x aµ

Å1X

nAE0f dt. 3 rég. suites/séries de fncts (s3)

IV Suites et séries de fonctions de classeC1

IV.1 Suite de fonctions de classeC1

PropositionSoit (fn)n2Nune suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dansRouC. On suppose :

1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI

2. La suite (fn)n2Nconverge simplement surI

3. La suite (f0n)n2Nconverge uniformément sur tout segment inclus

dansI de la suite (f0n). Et la convergence de la suite (fn) versfest uniforme sur tout segment. segment) de la suite de fonctions (hn). D"après le résultat sur les primi- tives,lasuitedefonctionsµ x7¡!Z x a n¸0convergeuniformément sur tout segment vers la fonctionx7¡!Z x a h(t)dt.

Souvenons-nous maintenant de la formule

8x2I fn(x)AEfn(a)ÅZ

x a hn(t)dt que l"on peut réécrire fonctionnellement f nAE"fn(a)Åµ x7¡!Z x a et intéressons-nous 4 rég. suites/séries de fncts (s3)

³"fn(a)´

n¸0 converge vers la fonction constantef(a). Converge comment? simple- ment, uniformément, uniformément sur tout segment, pour une suite de fonctions constantes c"est la même chose. Et donc, compte tenu de la remarque initiale, le second membre converge uniformément sur tout segment versx7¡!f(a)ÅZ x a h(t)dt. Mais le second et le premier membre sont égaux, les limites sont donc bien sûr les mêmes. Donc on a, pour toutx, f(x)AEf(a)ÅZ x a h(t)dt ce qui montre bien quefestC1, et que sa dérivée esth, limite de (hn). Et comme la convergence de la suite au second membre est uniforme sur tout segment, celle de la suite au premier membre l"est aussi.

IV.2 Série de fonctions de classeC1

PropositionSoitXfnune série de fonctions définies sur un intervalleI, à va- leurs dansRouC. On suppose :

1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI

Pfnconverge simplement surI

3. Pf0nconverge uniformément sur tout segment inclus dansI Alors

Å1X

nAE0f nest de classeC1surI. On a :µ

Å1X

nAE0f 0

AEÅ1X

nAE0f0n. Et la conver- gence de

Pfnest uniforme sur tout segment.

Exemple classique, voire très classique :Montrer que les sommes des sériesX n¸11n xetX n¸1(¡1)nn x(la fonction³et la fonction "³alternée») sont de classeC1 sur leur domaine de définition. 5 rég. suites/séries de fncts (s3)

V Suites et séries de fonctions de classeCk

V.1 Suite de fonctions de classeCk(k¸1)

PropositionSoit (fn)n2Nune suite de fonctions définies sur un intervalleI, à valeurs dansRouC. On suppose :

1. Les fonctionsfnsont de classeCksurI

2. Chaque suite (f(j)

n)n2N(0·j·k¡1) converge simplement surI

3. La suite (f(k)n)n2Nconverge uniformément sur tout segment inclus

dansI Alorsf, limite de la suite (fn), est de classeCksurI. Sa dérivéej-ième est, pour toutjentre 1 etk, la limite de la suite (f(j) n).

V.2 Suite de fonctions de classeC1

PropositionSoit (fn)n2Nune suite de fonctions définies sur un intervalleI. On suppose :

1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI

2. La suite (fn)n2Nconverge simplement surI

3. Chaque suite (f(j)

n)n2N(j¸1) converge uniformément sur tout seg- ment inclus dansI Alorsf, limite de la suite (fn), est de classeC1surI. Sa dérivéej-ième est, pour toutj, la limite de la suite (f(j) n).

V.3 Série de fonctions de classeCk(k¸1)

PropositionSoitPfnune série de fonctions définies sur un intervalleI. On suppose : 6quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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I Suites et séries de fonctions continues

Il s"agit d"un rappel :

Å1X

Å1X

III Convergence uniforme sur tout segment et pri-

F(x)AEZ

IversF.

Å1X

IV Suites et séries de fonctions de classeC1

IV.1 Suite de fonctions de classeC1

1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI

2. La suite (fn)n2Nconverge simplement surI

3. La suite (f0n)n2Nconverge uniformément sur tout segment inclus

Souvenons-nous maintenant de la formule

8x2I fn(x)AEfn(a)ÅZ

³"fn(a)´

IV.2 Série de fonctions de classeC1

1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI

Pfnconverge simplement surI

Å1X

Å1X

AEÅ1X

Pfnest uniforme sur tout segment.

V Suites et séries de fonctions de classeCk

V.1 Suite de fonctions de classeCk(k¸1)

1. Les fonctionsfnsont de classeCksurI

2. Chaque suite (f(j)

3. La suite (f(k)n)n2Nconverge uniformément sur tout segment inclus

V.2 Suite de fonctions de classeC1

1. Les fonctionsfnsont de classeC1surI

2. La suite (fn)n2Nconverge simplement surI

3. Chaque suite (f(j)

V.3 Série de fonctions de classeCk(k¸1)