[PDF] Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

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Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions

Mathematiques 3, 2015

Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions1 / 51

I. Suites et series numeriques

Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions2 / 51

I. 1. Suites numeriques

Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions3 / 51 Dans la suiteKdesigne lecorpsdes nombresr eelsRou lecorpsdes nombres complexes C.Rappel Pour tout nombre complexez=a+ib2C,il existe un unique couple (;)2R+[0;2[ tel quez=ei.On a jzj==pa

2+b2;a=cos();b=sin():Sixest reel alors la valeur absoluejxjconcide avec le module dex.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions4 / 51

Denition 1

Un suite

num eriquer eelle est une suite d enomb resr eels u

0;;un;et une suitenum eriquecom plexeest une suite de nomb rescomplexes

u

0;;un;Formellement, c'est une application

u:N!K; n7!un;

ouK=RouK=C, selon on considere les suites reelles ou complexes.On note par( un)n2Nou( un)la suite. On appelleunleterme g eneralde la suite ( un).Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions5 / 51

Une suite peut ^etre denie de multiples facons :

en donnant explicitement le terme generalunen fonction den: exemples :un=1n ,un= (1 +i)n, ...par recurrence : exemples :un+1=un+ 3;un+1=pu n+ 2;un+2=un+1+ 3un, ...par d'autres moyens plus ou moins theoriques ou pratiques : exemples :unest lan-ieme decimale de,unest la population mondiale en l'anneen, ... Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions6 / 51

Remarque

L'espace des suites deKest unK-espace vectoriel pour les operations :

(un)n2N+ (vn)n2N= (un+vn)n2N; (un)n2N= (un)n2N:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions7 / 51

Convergence

Denition 2

Soitr>0 eta2K.On appelledisque de ra yonret de centreadansK, l'ensemble D r(a) =fx2K;jxaj rg:SiK=C,z=x+iy;z0=x0+iy0, alors D r(z0) =n z2C;jzz0j=q(xx0)2+ (yy0)2ro ce qui represente dans le plan undisquede rayonret de centre

(x0;y0).SiK=R, alorsDr(a) estl'intervalle[ar;a+r].Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions8 / 51

Convergence

Denition 3

Soita2K. Un sous-ensembleVKest appeleu nvoisinage de as'il

exister>0 tel queDr(a)V.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions9 / 51

Convergence

Denition 4

Soient (un) une suite deKeta2K.On dit queaest lalimite de ( un) et on note lim n!+1un=asi pour toutr>0, il existeNr2Ntel que pour toutnNr, on aitun2Dr(a).Denition equivalente On dit queaest lalimite de ( un) et on note limn!+1un=asi pour tout voisinageVdea, il existeNV2Ntel que pour toutnNV, on ait u n2V.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions10 / 51

Convergence

Convergence

On dit que (un) estconvergente s'il existea2Ktel que limn!+1un=a.Une suite qui n'est pas convergente est ditedivergente .

Exemples

u n=1n ,n1, limn!+1un= 0.u n=nn+1, limn!+1un= 1.u n=nn+1+i2n2n

2+2, limn!+1un= 1 + 2i.u

n=zn;z2C, avec 0 jzj<1, limn!+1zn= 0.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions11 / 51

Limite innie

Denition 5

Soit (un) une suiter eelle.On dit que (un) tend vers +1et on ecrit limn!+1un= +1, si

8M>0;9NM2N;8n(nNM)unM):On dit que (un) tend vers1et on ecrit limn!+1un=1, si

8M<0;9NM2N;8n(nNM)unM):Exemples

u n=n, limn!+1un= +1.u

n=lnn, limn!+1un=1.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions12 / 51

Remarque

Si (un) est une suite complexe, limn!+1un= +1ou limn!+1un=1 n'a pas de sens. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions13 / 51

Proposition 1

Soit (zn) une suite de nombres complexes.Les proprietes suivantes sont

equivalentes :1(zn) est convergente,2les suites reelles (Re(zn)) et (Im(zn)) sont convergentes.De plus lim

n!+1zn=a+ibsi et seulement si limn!+1Re(zn) =aet lim n!+1Im(zn) =b.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions14 / 51

Operation sur les limites

Proposition 2

Soient (un) et (vn) deux suites convergentes deK, de limites respectives

1et`2.Alors :

pour tout2K, la suite (un) est convergente de limite`1,la suite (un+vn) est convergente de limite`1+`2,la suite (unvn) est convergente de limite`1`2,si`26= 0, alorsvn6= 0 pournassez grand etun=vnest convergente

de limite`1=`2.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions15 / 51

Comparaison des suites reelles

Proposition 3

Soient (un) et (vn) deux suites reelles telles queunvnpournassez grand.Si (un) et (vn) sont convergentes de limites respectives`1et`2 alors`1`2.Theoreme des gendarmes Soient (an), (bn) et (un) trois suites reelles telles que anunbnpournassez grand,

(an) et (bn) convergent vers une m^eme limite`:Alors (un) est convergente de limite`.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions16 / 51

Proposition 4

Si (un) est une suite convergente de limite`alors la suite (junj) est convergente de limitej`j.Preuve.Consequence de la propriete jjunj j`jj jun`j:Rappel Si (un) est une suite complexe alorsjunjest le module deunet si (un) est

reelle alorsjunjest la valeur absolue deun.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions17 / 51

Suites arithmetiques, geometriques

Suites arithmetiques

Soita;r2K.La suite arithmetique de premier termeaet de raisonrest la suite denie par recurrence par : u0=a; u n+1=un+r:Proprietes : u n=a+nr;pour toutn2N;k=nX k=0u k=u0+u1++un= (n+ 1)a+rn(n+ 1)2

:(un) converge,r= 0,(un) est constanteMathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions18 / 51

Suites arithmetiques, geometriques

Suites geometriques

Soita;r2K.La suite geometrique de premier termeaet de raisonrest la suite denie par recurrence par : u0=a; u n+1=run:Proprietes : u n=arn;pour toutn2N;k=nX k=0u k=u0+u1++un=( a

1rn+11rsir6= 1;

a(n+ 1) sir= 1:(un) converge,0 jrj<1 our= 1:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions19 / 51

Denition 6

Une suite (un), reelle ou complexe, est diteb orneesi 9M2R;8n2N;junj M:Denition 7

Une suite

r eelle ( un) est ditemajo reesi 9M2R;8n2N;unM;etmino reesi

9m2R;8n2N;mun:Propriete

Une suite reelle est bornee si et seulement si elle est majoree et minoree. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions20 / 51

Theoreme 1

Toute suite (reelle ou complexe) convergente est bornee. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions21 / 51

Suites monotones

Denition 8

On dit qu'une suite reelle (un) estcroissante si 8n2N;un+1un;decroissantesi

8n2N;un+1unetmonotone si elle est croissante ou d ecroissante.

Theoreme 2

Une suite reelle croissante est convergente si et seulement si elle est majoree.Une suite reelle decroissante est convergente si et seulement si elle est minoree. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions22 / 51

I. 2. Series numeriques

Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions23 / 51 Soit (un) une suite reelle ou complexe.On s'interesse a lasomme du nombre inni de termes u

0+u1++un+dont on voudrait donner un sens et voir si elle est nie ou non.

Informellement, c'est ce qu'on appelle une

s erie

L'idee est de considerer la suite (Sn) denie parS

n=u0+u1++un et d'etudier sa convergence.Si (Sn) est convergente de limite`, alorsu

0+u1++un+=`et on ecrit

+1X n=0u n=`:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions24 / 51

Denition 1

Soit (un) une suite reelle ou complexe.On appelles eriede terme g eneral u net on noteXu n, lasuite ( Sn) denie parS n=nX k=1u k=u0+u1++un;n2N:On appelleSnlala somme pa rtielled' ordrende la serieXu n.On dit que la serie Xu nconverge (resp. diverge) si la suite (Sn) converge (resp. diverge).Si la serie converge, lim n!+1Snest notee+1X n=0u net est appelee la somme de la s erie Xu n.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions25 / 51

Exemple : series geometriques

Soientz2Cet soitPunla serie de terme generalun=zn, qu'on appelle serie geometrique de raisonz.La suite (un) est une suite geometrique de raisonzet on asiz6= 1;Sn= 1 +z+z2++zn=1zn+11z:siz= 1;Sn=n+ 1:La serie Xu nconverge si et seulement si 0 jzj<1.Si elle converge, on a +1X n=0z n=11z.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions26 / 51

Exemple : serie harmonique

La serie

Punde terme generalun=1n

est appelee la s erieha rmonique .On a S n= 1 +12 +13 ++1n ;S

2nSn=1n+ 1+1n+ 2++12nn2n=12

et donc la serie harmonique P1n est divergente.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions27 / 51

Exemple : series de Riemann

On appelle

s eriede Riemann une s eriede la fo rme P1n ou >0.La serie de Riemann P1n

converge si et seulement si >1.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions28 / 51

Proposition 1

Une serie complexe de terme generalunest convergente si et seulement si les deux series reelles de terme general respectifRe(un) etIm(un) sont convergentes. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions29 / 51

Operations sur les series

Proposition 2

Soient

PunetPvndeux series convergentes et soit2R.Alors les seriesPunetP(un+vn) sont convergentes et1 X n=0un=+1X n=0u n;+1X n=0(un+vn) =+1X n=0u n++1X n=0v n:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions30 / 51

Theoreme 1 (Condition necessaire de convergence)

Si la serie

Xu nconverge, alors limn!+1un= 0.Preuve.On a, pourn1,u n=SnSn1et donc comme

Punest convergente, limn!+1Sn=`etlim

n!+1un= limn!+1SnSn1=``= 0:Denition 2

On dit d'une serie

Punqu'elle estgrossi erementdivergente si

lim n!+1un6= 0.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions31 / 51

Remarques

Pour prouver la divergence de certaines series, en montre que le terme generalunne tend pas vers 0. Exemple : la serie de terme general lnnest divergente car lim n!+1lnn6= 0.La reciproque est fausse en general.

Exemple : la serie harmoniqueP1n

est divergente alors que1n tend vers 0. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions32 / 51

Convergence absolue

Denition 3

On dit de la serie

Punqu'elle estabsolument convergente si la s eriePjunjest convergente.Theoreme 2 Une serie absolument convergente est convergenteet +1X n=0u n+1X n=0junj:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions33 / 51

Convergence absolue

Exemple

Soit

Punla serie de terme general(1)nn

2.On ajunj= 1=n2et la serieP1n

2est une serie de Riemann convergente.Par consequent, la serie

P(1)nn

2est absolument convergente et donc convergente.Denition 4

Lorsqu'une serie est convergente mais pas absolument convergente, on dit qu'elle est semi-convergente Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions34 / 51

Series a termes positifs

Soit Punune serie reelle de terme generalun.On dit que la serie est a termes positifs si un0 pournassez grand.Si Punest une serie a termes positifs, alors la suite (Sn) est croissante (a partir d'un certain rang) S n+1Sn=un+10et donc pour prouver que la serie

Punest convergente, il sut de

montrer que la suite (Sn) est majoree.Si Punest une serie quelconque (reelle ou complexe),la serie

Pjunjest

une serie a termes positifset donc la convergence de cette derniere

implique la convergence de la serie initialePun(convergence absolue).Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions35 / 51

Series a termes positifs : comparaison

Proposition 3

Soient

PunetPvndeux series a termes positifs.On suppose que u nvn, pournassez grand.Si

Punest divergente alorsPvnest divergente.Si

Pvnest convergente alorsPunest convergente et

+1X n=0u n+1X n=0v n:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions36 / 51

Exemples

On a

0jcosnjn

21n

2et les deux series

Pjcosnjn

2etP1n

2sont atermes positifs.La serie de Riemann

P1n

2est convergente et donc la seriePjcosnjn

2 est convergente.En particulier, la serie

Pcosnn

2est convergente puisqu'elle est

absolument convergente.On a 01n

1lnnet les deux series

P1n etP1lnnsont atermes positifs.La serie harmonique P1n est divergente et donc la serieP1lnnest divergente. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions37 / 51

Series a termes positifs : comparaison

Rappel : equivalence

Soient (un) et (vn) deus suites.On dit qu'elles sont equivalentes al'inni et on ecritun+1vn,s'il existe une suitentelle que pournassez grand u n=vn(1 +n) avec limn!+1n= 0.Sivn6= 0 pournassez grand,u n+1vnsi et seulement si limn!+1un=vn= 1:Theoreme 3

Soient

PunetPvndeux series a termes positifs.Siun+1vn,alors les seriesPunetPvnsont de m^eme nature (toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes). Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions38 / 51

Exemple

On a ln(1 +12 n)+112 net les deux series

Pln(1 +12

n) etP12 nsont atermes positifs.Comme la serie P12 nest un serie geometrique convergente, on deduit que la seriePln(1 +12

n) est convergente.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions39 / 51

Series a termes positifs : comparaison

Rappel : negligeabilite

Soient (un) et (vn) deux suites.On dit (un) estn egligeabledevant ( vn) a l'inni et on ecritun=o(vn),s'il existe une suitentelle que pournassez grandun=vnnavec limn!+1n= 0.Sivn6= 0 pournassez grand,u n=o(vn) si et seulement si limn!+1un=vn= 0:Theoreme 4

Soient

PunetPvndeux series a termes positifs telles queun=o(vn).Si la serie Pvnest convergente, alors la seriePunest convergente.Si la serie

Punest divergente, alors la seriePvnest divergente.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions40 / 51

Series a termes positifs : comparaison

Exemple

On a lim n!+1e n1=n2= limn!+1n 2e n= 0et la serie P1n

2est une serie (de Riemann)a termes positifs

convergente.Donc la serie

Penest convergente.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions41 / 51

Series a termes positifs : comparaison

Theoreme 5

Soitf: [0;+1[!Rune fonction decroissante, positive et integrable sur tout intervalle borne [0;a] oua>0 (par exemple sifest continue).Posons I n=Z n 0 f(x)dx:Alors la serie de terme generalun=f(n) est convergente si et seulement si lim n!+1Inest nie.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions42 / 51

Series a termes positifs : comparaison

Exemple : series de Riemann

Appliquons ce theoreme pour montrer que la serie de Riemann P1n est convergente si et seulement si >1.La serie P1n peut se reecrire sous la formeP1(1+n).On considere l'applicationx7!1(1+x)qui satisfait les conditions du theoreme.On a Z n

01(1 +x)dx=(

(1+n)111si6= 1; ln(1 +n) si= 1:On en deduit lim n!+1Z n

01(1 +x)dx=+1si1;

11si >1:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions43 / 51

Series a termes positifs : regle de D'Alembert

Theoreme (Regle de D'Alembert)

Soit Punune serie a termes positifs avecun>0 pournassez grand.Supposons que lim n!+1u n+1u

n=`2R:Si` <1, alors la seriePunest convergente.Si` >1, alors la seriePunest divergente (grossierement).Si`= 1, on ne peut pas conclure.Si`= 1, on ne peut pas conclure,ce qui revient a dire qu'il existe des

series avec`= 1 et qui sont convergentes et qu'il existe des series avec

`= 1 et qui sont divergentes.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions44 / 51

Series a termes positifs : regle de D'Alembert

Exemple

Soit

Punla serie de terme generalun=n!n

n.On a lim n!+1u n+1u n= limn!+1(n+ 1)!=(n+ 1)n+1n!=nn= limn!+1(n+ 1)nn(n+ 1)n+1 = lim n!+1(nn+ 1)n= 1=e<1et donc la serie Pn!n nconverge.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions45 / 51

Series a termes positifs : regle de Cauchy

Theoreme (Regle de Cauchy)

Soit

Punune serie a termes positifs.Supposons que

lim n!+1npu

n=`2R:Si` <1, alors la seriePunest convergente.Si` >1, alors la seriePunest divergente (grossierement).Si`= 1, on ne peut pas conclure.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions46 / 51

Series a termes positifs : regle de Cauchy

Preuve.

Supposons` <1.Alors il existe un >0 tel que` < `+ <1.Pour nassez grand npu n`;et doncun(`+)n:Comme la serie de terme general (`+)nest convergente, on conclut

par comparaison que la seriePunest convergente.Supposons` >1.Alors il existe un >0 tel que 1 + < `.Pourn

assez grand npu n`;et donc (`)nun:Comme` >1, on a limn!+1(`)n= +1et par comparaisonquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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