[PDF] Prof Pour que la fonction trigonomé





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FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 . Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus 



Résumé des propriétés des fonctions trigonométriques

La Figure 1 illustre la mesure des angles en radian sur le cercle trigonométrique la construction géométrique des sinus



Fonctions trigonométriques réciproques

Fonctions trigonométriques réciproques. 1 Définitions. Les fonctions sinus cosinus définies de r dans l'intervalle [-1 ;1] sont des applications 



Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

Fonctions trigonométriques réciproques. Exercice 1. Soit la fonction définie par ... Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie et continue ?



Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

Prérequis: Généralités sur les fonctions Introduction dérivée





Fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques

On définit les fonctions cosinus sinus et tangente



Prof

Pour que la fonction trigonométrique inverse soit une fonction il faut choisir un seul de ces angles. Dans les définitions qui suivent



Terminale S - Fonctions trigonométriques

Soit M un point du cercle trigonométrique ( ) associé au nombre réel . Les coordonnées du point M sont : (cos ; sin ). Le cosinus de noté cos est 



7. Fonctions trigonométriques

La fonction sinus est une fonction impaire : pour tout réel x on a sin(-x) = -sin(x). Fonction cosinus. En utilisant le cercle trigonométrique pouvez-vous.

9.6Ra ppels urle sf onctionstr igonometriquesin versesLes fonctions trigonometriques inverses sont les fonctions reciproques des fonctions tri-

gonometriques. Pour que ces fonctions soient denies, il faut restreindre leur domaine aux valeurs obtenue en appliquant les fonctions trigonometriques correspondantes. Par exemple, comme1sin(x)1, la fonctionarcsin(x)ne peut pas ^etre denie pour des valeurs hors de l'intervalle[1;1]. De plus, si on connait la valeur d'une fonction trigonometrique, il y a deux angle dierent qui correspondent a cette valeur. Pour que la fonction trigonometrique inverse soit une fonction, il faut choisir un seul de ces angles. Dans les denitions qui suivent, le choix de cet angles est toujours fait dans la partie du cercle trigonometrique indiquee en"traitilles».Denition 9.3. a)arcsin(y)=()sin()=y , avec=2=2,1y1y b)arccos(x)=()cos()=x , avec0et1x1x c)arctan(p)=()tan()=p , avec=2<<=2etp2Rp=tan()d)arcctg(q)=()cotan()=q , avec0<Par denition arccos 12 =()cos()=12 Commecos()=12, la coordonnee enxdu pointP()doit ^etre12. On se trouve donc dans la situation suivante : il y a deux anglessatisfaisant cette relation, angle correspodant aux pointsAetBde la gure suivante.A B1 2 Comme l'anglecorrespondant au pointBn'est pas la valeur principale conven- tionnelle pourarccos, la solution est l'angle correspondant au pointA. Comme le c^ote de longueur12correspond au c^ote d'un des triangles remarquables, ont doit avoir=3 .Proposition 9.6. sin(arcsin(y))=y cos(arccos(x))=x tan(arctan(p))=p Siest la valeur principale des fonction trigonometriques inverses impliquee, alors arcsin(sin())= arccos(cos())= arctan(tan())= ::154 Remarque 9.2.Ne pas confondre les fonction trigonometriques inverses et les inverses de ces fonctions! Par exemple, arcsin(x),1sin(x)=csc(x):

Cette confusion est frequente pour deux raisons :

1. l'expression"fonction inverse»est synonyme de"fonction reciproque». En general, la fonction reciproque de la fonctionf(x)n'est pas1f(x). 2. l'utilisation de la notationsin1(x), notamment sur certaines calculatrices, peut laisser penser que sin

1(x)=1sin(x)(Faux!)

mais ce n'est pas le cas. Cette notation est utilisee pour denoter"la fonction reciproque desin»qui estarcsinet non pas"l'inverse desin(x)qui est1sin(x).Exemple 9.9. Sachant que=arccos(1=2), trouver les autres rapports trigonome- trique. Solution : commecos()doit ^etre1=2, on peut supposer queest un angle dans le triangle suivant (car les valeurs des fonctions trigonometriques restent les m^eme si on change l'echelle d'un triangle.)12 Comme le triangle est rectangle, on peut trouver la mesure du c^ote manquant a l'aide du theoreme de Pythagore.1p32 A l'aide de ce triangle, on trouve les valeurs des autres fonction trigonometriques : ?sin()=p3 2 =p3 ?tan()=p3 1 =p3 ?sec()=21 =2 ?csc()=2p3 ?cot()=1p3 155

9.7D erivationdes f onctionst rigonometriquesi nverses

Proposition 9.7.Derivee des fonctions trigonometriques inverses. (1) arcsin(x)

0=1p1x2

(2)arccos(x)

0=1p1x2

(3)arctan(x) 0=1x

2+1(4)

arcctg(x) 0=1x 2+1 (5)asec(x) 0=1x px 21
(6)arccosec(x) 0=1x px

21Demonstration.Toutes ces preuves se font en utilisant la derivation implicite et des identites trigono-

metriques et la proposition 9.6. On suppose quexest dans le domaine des fonctions impliquees. On utilise aussi les identites de Pythagore suivantes : sin

2(x)+cos2(x)=1 sec2(x)=tan2(x)+1 csc2(x)=cotan2(x)+1:

Preuve de

arcsin(x)

0=1p1x2:

sin arcsin(x)=xsinarcsin(x)0=(x)0 cos arcsin(x)arcsin(x) 0=1 arcsin(x)

0=1cos(arcsin(x))arcsin(x)

0=1q

1sin2(arcsin(x))

arcsin(x) 0=1q

1(sin(arcsin(x)))2

arcsin(x)

0=1p1x2

Preuve de

arctan(x) 0=1x 2+1: 156
tan arctan(x)=xtanarctan(x)0=(x)0 sec

2arctan(x)asec(x)

0=1 arctan(x)

0=1sec

2(arctan(x))arctan(x)

0=11+tan2(arctan(x))arctan(x)

0=11+x2

Preuve de

asec(x) 0=1x px 21:
sec asec(x)=xsecasec(x)0=(x)0 sec asec(x)tanasec(x)asec(x) 0=1 asec(x)

0=1sec(asec(x))tan(asec(x))asec(x)

0=1x psec

2(asec(x))1

asec(x) 0=1x px

21)Les autres preuves sont laissees en exercice. On utilise la derivation implicite et les

identites de Pythagore de maniere similaire aux trois preuves donnees.Exemple 9.10. arcsin(2x)

0=1p1(2x)2)2x

0

2p14x2157

Exemple 9.11.

arccosx30=1p1(x3)2x30

1p1(x3)23x2

=3x2p1x6Exemple 9.12. arctan(sin(x))

0=1sin

2(x)+1sin(x)

0 1sin

2(x)+1cos(x)

cos(x)sin

2(x)+1Exemple 9.13.

arctan(x)130=13arctan(x)121x

2+1=13arctan(x)12x

2+1

Note :arctan(x)13=arctan(x)

13et nonarctanx13.Exemple 9.14.

arcsec(x=2)0=10

BBBBB@x2

1

CCCCCA2

vt0

BBBBB@x2

1

CCCCCA2

1= 2x qx 22
1=8x px

21Exemple 9.15.

parctan(x)0=12 parctan(x)arctan(x) 0 12 parctan(x)11+x2Exemple 9.16.Trouvons les extremums def(x)=arctan(x312x).

La derivee defest

f La derivee s'annule quandx=2oux=2. Le numerateur(x312x)2+1etant toujours plus grand que1, il ne s'annule jamais,

Les valeurs critiques sont donc2et2.

On peut faire un tableau de signe de la derivee

x-2 2 f

0(x)+ 0 - 0 +

f(x)%MAX&MIN% On conclue donc quefa un maximum enx=2et un minimum enx=2. Note : on choisit ici de faire un tableau de signe plut^ot que d'utiliser le test de la derivee seconde, car la simplication de derivee seconde plus complexe que la determination des signes de la derivee!9.8Appl icationsdi versesde la d eriveedes fo nctions trigonometrique inversesExemple 9.17.Analyser la fonctionf(x)=arcsin(x).

La derivee premiere est

f

0(x)=1p1x2

La derivee seconde est

f

00(x)=xp(1x2)3

Valeurs critiques def0:f0(x)non deni pourx1oux 1.f0(x)n'est jamais nul (car la fonction racine carree, si elle est denie, donne toujours un resultat positif.) Comme il y a division par0possible dans la derivee enx=1, on verie si la derivee tend vers1pour determiner s'il y a un tangente verticale. lim x!1+f0(x)=limx!1+1p1x2=10 +=1 lim x!1f0(x)=limx!11p1x2=10 +=1

Valeurs critiques def00:

f

00(x)=0six=0.f00(x)est non-deni pourx1oux 1.

Tableau de variation :

x-1 0 1 f

0(x)1+ + +1

f

00(x)@- 0 +@

f(x)TVINFTV

Graphe de la fonctionf(x)=arcsin(x).159

11 2 2 xarcsin(x)160quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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