VARIATIONS DES FONCTIONS
Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si lorsque les valeurs de la variable x a) Sens de variation de la fonction carré.
FONCTIONS DE REFERENCE
La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O. - Dans un repère orthogonal Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction.
Démonstration-des-variations-de-la-fonction-carré.pdf
Conclusion : la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +?[. Démonstration des variations de la fonction carré - www.bossetesmaths.com - © Corinne
I. Sens de variation dune fonction ; extréma
La fonction racine carrée est définie pour x. 0. Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante. f '(x) = 1.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les La fonction carré est décroissante sur l'intervalle.
Seconde Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2
Soit f(-x) = f(x). Page 3. Seconde. Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2. 3. II. La fonction f : x a(x - ?)² + ? a) Sens de variation. La fonction
Taux de variation dune fonction.
Soit f la fonction carré définie sur ?. = f x2 ? f x1 Le signe du taux de variation indique le sens de variation de f. 1 Théorème.
I La fonction carrée
Fonctions usuelles. Seconde 7. I La fonction carrée. I.1 définition variations et courbe. On appelle fonction carrée
Fonction carré
inverse l'ordre sur ].o ; 0]. • Tableau de variation : La fonction carré possède un minimum 0 atteint pour x = 0 (en 0)
FONCTIONS DE REFERENCE
1) Sens de variation d'une fonction. Définitions : Soit f une fonction Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 .
[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction
[PDF] I La fonction carrée
Étude des variations de la fonction carrée sur R passant au carré les inégalités changent de sens car la fonction carrée y est décroissante donc
[PDF] Seconde - Fonction carré - Parfenoff org
La fonction carré est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe son carré ² : : ? ² II) Sens de variation de la fonction carré
[PDF] Fonctions carré et fonction inverse
Définition Une fonction f définie sur un ensemble I est paire si : • I est symétrique par rapport à l'origine O du repère (donc pour tout x ? I
[PDF] Démonstration des variations de la fonction carré - Bosse Tes Maths
Démontrer que la fonction carré f est strictement croissante sur [0 ; +?[ Démonstration : Soit a et b dans [0 ; +?[ tels que a < b f (a)?
[PDF] Chapitre 4 – Améliorer ses techniques – Corrigés Mathx seconde
Méthode : on peut utiliser le sens de variation de la fonction inverse ou s'aider d'un dessin a La fonction inverse est strictement décroissante sur l'
[PDF] FONCTIONS CARRÉ ET INVERSE - Free
La fonction carré est strictement décroissante sur ] ? ?; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; +?[ Tableau de variations : x ?? 0 +? +? +? f
[PDF] I Fonction carré - My MATHS SPACE
I Fonction carré EXERCICE 1 En s'aidant éventuellement de la courbe de la fonction carrée ou de son tableau de variation compléter
[PDF] Fonction Carré
Domaine de définition toutes ces propriétés sont des conséquences directes des variations de la fonction carré Fonctions Puissance Entière Positive
[PDF] Fonction carré
Définition : on appelle fonction carré la fonction ? Tout réel admet un carré ; l'ensemble de définition de la fonction III) Sens de variation
Quel est le sens de variation de la fonction carré ?
La fonction carré est strictement décroissante sur ]?? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +?[.Comment trouver le sens de variation d'un fonction ?
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f(a) et f(b) où a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a\\lt b. Donner le sens de variation de f sur \\left[ 1;+\\infty \\right[.Quelles sont les variations de la fonction racine carrée ?
La fonction f définie sur R telle que f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2 est appelée fonction carré.
1D est appelé l'ensemble de définition de f.2Le nombre y est appelé l'image de x par la fonction f.3Le nombre x est appelé un antécédent de y par la fonction f.
Fonctions carré et fonction inverse
Table des matières
I Fonction carré1
I.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
I.2 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1
I.3 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
I.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.5 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
II Fonction inverse4
II.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
II.2 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5
II.3 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
II.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.5 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
I Fonction carré
I.1 Définition
Définition
On appelle fonction carré la fonctionx?→x2Propriété
La fonction carréx?→x2est définie surR. En effet, on peut calculerx2pour n"importe quelle valeur dex?R.I.2 Parité
Définition
Une fonctionfdéfinie sur un ensembleIest paire si : Iest symétrique par rapport à l"origineOdu repère (donc, pour toutx?I,-x?I).pour toutx?I,f(-x)=f(x)
1 tative d"une fonction paire est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.Illustration graphique :
12345-11 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6
×M(x;f(x))×M?(-x;f(-x)=f(x))
x-xPropriété
La fonction carréf:x?→x2est paire
Démonstration
fest définie surRetRest symétrique par rapport àO.Pour toutx?R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x)
I.3 Variations
Propriété
f:x?→x2est décroissante sur ]-∞; 0] et croissante sur [0 ;+∞[.Démonstration :
Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de [0 ;+∞[ avec 0?x1Les images cette fois sont classées dans l"ordre inverse desantécédents : la fonction est décroissante.
Remarque: sur ]-∞; 0], on auraitpu utiliserlaparitéde lafonctionet la symétriede lacourbepar rapport
l"axe des ordonnées.Page 2/
7Tableau de variation:
x-∞0+∞ f(x)????0??I.4 Courbe représentative
à des valeurs positives et on construit les points symétriques par rapport à l"axe des ordonnées.
x01 2123f(x)=x201 4149
La courbe représentative de la fonction carré est appeléeparabole.
123456789
-11 2 3-1-2-3O×××××
I.5 Application
Exercice :comparer les carrés des nombres suivants : a) 0,22et 0,212
b) (-2,4)2et (-2,41)2 c) (-3,1)2et 4,2Solution :
a) 0,2 et 0,21 sont positifs; sur [0 ;+∞[, la fonctionf:x?→x2est croissante.0,2<0,21 doncf(0,2) 0,22<0,212
b) -2,4 et -2,41 sont négatifs; sur ]-∞; 0],fest décroissante. -2,4>-2,41; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-2,4)2<-2,412. c) (-3,1)2=3,12donc il suffit de comparer 3,12et 4,22. 3,1 et 4,2 sont positifs et 3,1<4,2; sur [0 ;+∞[,fest croissante, donc 3,12<4,22, d"où
(-3,1)2<4,22 Page 3/7
Exercice: résoudre graphiquement l"équationx2=3x+2. On posef(x)=x2etg(x)=3x+2.
On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les
abscisses des points d"intersection de ces deux courbes. Puisqu"il s"agit d"une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la
méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première. 123456789101112131415
-1 -21 2 3 4-1-2-3-4-5× x1x2 On trouve deux solutions :x1≈-0,5 etx2≈3,6 II Fonction inverse
II.1 Définition
Définition
On appelle fonction inverse la fonctionx?→1x
Propriété
La fonction inversex?→1xest définie surR?=R\{0}=]-∞; 0[?]0 ;+∞[. Page 4/
7 II.2 Parité
Définition
Une fonctionfdéfinie sur un ensembleIest impaire si : Iest symétrique par rapport à l"origineOdu repère (donc, pour toutx?I,-x?I). pour toutx?I,f(-x)=-f(x)
Conséquence graphique :la courbe représentatived"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"ori-
gineOdu repère. Illustration graphique :
123
-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4 ?M(x;f(x)) M?(-x;f(-x)=-f(x))
a Propriété
La fonction inversef:x?→1xest impaire
Démonstration
fest définie surR?etR?est symétrique par rapport àO. Pour toutx?R?,f(-x)=1
-x=-1x=-f(x) II.3 Variations
Propriété
f:x?→x2est décroissante sur ]-∞; 0] et décroissante sur [0 ;+∞[. Démonstration :
Page 5/7
Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]0 ;+∞[ avec 0?x1Il s"agit de comparer les nombresf(x1)=1 x1etf(x2)=1x2. f (x2)-f(x1)=1 x2-1x1=x1-x2x1x2. x 1-x2<0 carx10 comme produit de nombres positifs. Les images sont classées dans l"ordre
inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]0 ;+∞[. Sur ]-∞; 0[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]-∞; 0[ avec?x1On a le mÍme calcul :f(x2)-f(x1)=1 x2-1x1=x1-x2x1x2. x 1-x2<0 carx10 comme produit de nombres négatifs. Les images sont classées dans l"ordre
inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]-∞; 0[. Remarque : sur ]-∞; 0], on aurait pu utiliser la symétrie de la courbe par rapport àO. Tableau de variation:
0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.
x-∞0+∞ f(x) 0 ????0 II.4 Courbe représentative
dant à des abscisses positives en calculant les coor- données de quelques points. x1 4 1 2124
f(x)=1x4211 2 1 4 La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est constituée de deux branches. 1234
-1 -2 -3 -4 -51 2-1-2-3 O C Page 6/7
II.5 Application
Exercice :comparer les nombres suivants :
a) 1 0,2et10,3
b)-1 2,4et-12,5
c)-1 3,1et14,2
Solution :
a) 0,2 et 0,3 sont positifs; sur ]0 ;+∞[, la fonctionf:x?→1xest décroissante. 0,2<0,3 doncf(0,2)>f(0,3) donc
1 0,2>10,3
b) -2,4 et -2,5 sont négatifs; sur ]-∞; 0[,fest décroissante. -2,4>-2,5; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-12,4)<-12,5. c)-3,1<0 et 4,2>0 donc-1 3,1<0 et14,2>0 donc-13,1<14,2.
Remarque: ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2
ne sont par dans les mêmes intervalles définitionde la fonction inverse. Page 7/
7quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11
0,22<0,212
b) -2,4 et -2,41 sont négatifs; sur ]-∞; 0],fest décroissante. -2,4>-2,41; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-2,4)2<-2,412. c) (-3,1)2=3,12donc il suffit de comparer 3,12et 4,22.3,1 et 4,2 sont positifs et 3,1<4,2; sur [0 ;+∞[,fest croissante, donc 3,12<4,22, d"où
(-3,1)2<4,22Page 3/7
Exercice: résoudre graphiquement l"équationx2=3x+2.On posef(x)=x2etg(x)=3x+2.
On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les
abscisses des points d"intersection de ces deux courbes.Puisqu"il s"agit d"une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la
méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première.123456789101112131415
-1 -21 2 3 4-1-2-3-4-5× x1x2 On trouve deux solutions :x1≈-0,5 etx2≈3,6II Fonction inverse
II.1 Définition
Définition
On appelle fonction inverse la fonctionx?→1x
Propriété
La fonction inversex?→1xest définie surR?=R\{0}=]-∞; 0[?]0 ;+∞[.Page 4/
7II.2 Parité
Définition
Une fonctionfdéfinie sur un ensembleIest impaire si : Iest symétrique par rapport à l"origineOdu repère (donc, pour toutx?I,-x?I).pour toutx?I,f(-x)=-f(x)
Conséquence graphique :la courbe représentatived"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"ori-
gineOdu repère.Illustration graphique :
123-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4 ?M(x;f(x))
M?(-x;f(-x)=-f(x))
aPropriété
La fonction inversef:x?→1xest impaire
Démonstration
fest définie surR?etR?est symétrique par rapport àO.Pour toutx?R?,f(-x)=1
-x=-1x=-f(x)II.3 Variations
Propriété
f:x?→x2est décroissante sur ]-∞; 0] et décroissante sur [0 ;+∞[.Démonstration :
Page 5/7
Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]0 ;+∞[ avec 0?x11-x2<0 carx10 comme produit de nombres positifs. Les images sont classées dans l"ordre
inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]0 ;+∞[. Sur ]-∞; 0[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]-∞; 0[ avec?x11-x2<0 carx10 comme produit de nombres négatifs. Les images sont classées dans l"ordre
inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]-∞; 0[. Remarque : sur ]-∞; 0], on aurait pu utiliser la symétrie de la courbe par rapport àO. Tableau de variation:
0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.
x-∞0+∞ f(x) 0 ????0II.4 Courbe représentative
dant à des abscisses positives en calculant les coor- données de quelques points. x1 4 1 2124f(x)=1x4211 2 1 4 La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est constituée de deux branches. 1234
-1 -2 -3 -4 -51 2-1-2-3 O C
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II.5 Application
Exercice :comparer les nombres suivants :
a) 10,2et10,3
b)-12,4et-12,5
c)-13,1et14,2
Solution :
a) 0,2 et 0,3 sont positifs; sur ]0 ;+∞[, la fonctionf:x?→1xest décroissante.0,2<0,3 doncf(0,2)>f(0,3) donc
10,2>10,3
b) -2,4 et -2,5 sont négatifs; sur ]-∞; 0[,fest décroissante. -2,4>-2,5; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-12,4)<-12,5. c)-3,1<0 et 4,2>0 donc-13,1<0 et14,2>0 donc-13,1<14,2.
Remarque: ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2
ne sont par dans les mêmes intervalles définitionde la fonction inverse.Page 7/
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