[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE La courbe de la fonction





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VARIATIONS DES FONCTIONS

Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si lorsque les valeurs de la variable x a) Sens de variation de la fonction carré.



FONCTIONS DE REFERENCE

La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O. - Dans un repère orthogonal Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction.



Démonstration-des-variations-de-la-fonction-carré.pdf

Conclusion : la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +?[. Démonstration des variations de la fonction carré - www.bossetesmaths.com - © Corinne 



I. Sens de variation dune fonction ; extréma

La fonction racine carrée est définie pour x. 0. Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante. f '(x) = 1.



VARIATIONS DUNE FONCTION

Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les La fonction carré est décroissante sur l'intervalle.



Seconde Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2

Soit f(-x) = f(x). Page 3. Seconde. Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2. 3. II. La fonction f : x a(x - ?)² + ? a) Sens de variation. La fonction 



Taux de variation dune fonction.

Soit f la fonction carré définie sur ?. = f x2 ? f x1 Le signe du taux de variation indique le sens de variation de f. 1 Théorème.



I La fonction carrée

Fonctions usuelles. Seconde 7. I La fonction carrée. I.1 définition variations et courbe. On appelle fonction carrée



Fonction carré

inverse l'ordre sur ].o ; 0]. • Tableau de variation : La fonction carré possède un minimum 0 atteint pour x = 0 (en 0) 



FONCTIONS DE REFERENCE

1) Sens de variation d'une fonction. Définitions : Soit f une fonction Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 .



[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques

Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction



[PDF] I La fonction carrée

Étude des variations de la fonction carrée sur R passant au carré les inégalités changent de sens car la fonction carrée y est décroissante donc



[PDF] Seconde - Fonction carré - Parfenoff org

La fonction carré est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe son carré ² : : ? ² II) Sens de variation de la fonction carré



[PDF] Fonctions carré et fonction inverse

Définition Une fonction f définie sur un ensemble I est paire si : • I est symétrique par rapport à l'origine O du repère (donc pour tout x ? I 



[PDF] Démonstration des variations de la fonction carré - Bosse Tes Maths

Démontrer que la fonction carré f est strictement croissante sur [0 ; +?[ Démonstration : Soit a et b dans [0 ; +?[ tels que a < b f (a)? 



[PDF] Chapitre 4 – Améliorer ses techniques – Corrigés Mathx seconde

Méthode : on peut utiliser le sens de variation de la fonction inverse ou s'aider d'un dessin a La fonction inverse est strictement décroissante sur l' 



[PDF] FONCTIONS CARRÉ ET INVERSE - Free

La fonction carré est strictement décroissante sur ] ? ?; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; +?[ Tableau de variations : x ?? 0 +? +? +? f



[PDF] I Fonction carré - My MATHS SPACE

I Fonction carré EXERCICE 1 En s'aidant éventuellement de la courbe de la fonction carrée ou de son tableau de variation compléter



[PDF] Fonction Carré

Domaine de définition toutes ces propriétés sont des conséquences directes des variations de la fonction carré Fonctions Puissance Entière Positive



[PDF] Fonction carré

Définition : on appelle fonction carré la fonction ? Tout réel admet un carré ; l'ensemble de définition de la fonction III) Sens de variation

  • Quel est le sens de variation de la fonction carré ?

    La fonction carré est strictement décroissante sur ]?? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +?[.

  • Comment trouver le sens de variation d'un fonction ?

    Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f(a) et f(b) où a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a\\lt b. Donner le sens de variation de f sur \\left[ 1;+\\infty \\right[.

  • Quelles sont les variations de la fonction racine carrée ?

    La fonction f définie sur R telle que f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2 est appelée fonction carré.

    1D est appelé l'ensemble de définition de f.2Le nombre y est appelé l'image de x par la fonction f.3Le nombre x est appelé un antécédent de y par la fonction f.

1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frFONCTIONS DE REFERENCE I. Rappels de la classe de seconde 1) Sens de variation d'une fonction Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors

(respectivement si a < b alors f(a)). - Dire que f est décroissante sur I (respectivement strictement décroissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors

f(a)≥f(b) (respectivement si a < b alors f(a)>f(b) ). - Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : f(a)=f(b)

. - Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I Remarques : • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre. • On dit qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. • Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. 2) Fonction carré Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur

par f(x)=x 2 . Propriété : La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Remarques : - La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3) Fonction inverse Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur

\{}0 par f(x)= 1 x . Propriété : La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement décroissante sur l'intervalle

0;+∞

. Remarques : - La courbe de la fonction inverse est appelée une hyperbole de centre O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport au centre du repère. Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction Vidéo https://youtu.be/TWbjEeiZXnw Démontrer que la fonction f définie sur

par f(x)=x 2 -8x+3 est strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞

. Soit a et b deux nombres réels tels que : f(a)-f(b)=a 2 -8a+3-b 2 +8b-3 =a 2 -b 2 -8a+8b =a-b a+b -8a-b =a-b a+b-8 Comme a4 , on a : a+b>8 , soit : a+b-8>0

On en déduit que :

f(a)-f(b)<0 et donc : f(a)4;+∞

3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr II. Etude de la fonction racine carrée Vidéo https://youtu.be/qJ-Iiz8TvZ4 Définition : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur

0;+∞

par f(x)=x . Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Démonstration : Soit a et b deux nombres réels positifs tels que a < b. f(a)-f(b)=a-b= a-b a+b a+b a-b a+b <0 Donc f(a). III. Etude de la fonction valeur absolue Vidéo https://youtu.be/O61rmOdXg9I 1) Valeur absolue d'un nombre Exemples : - La valeur absolue de -5 est égale à 5. - La valeur absolue de 8 est égale à 8. Définition : La valeur absolue d'un nombre A est égal au nombre A si A est positif, et au nombre -A si A est négatif. La valeur absolue de A se note

A

4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frExemple :

x-5= x-5,six≥5 Propriétés : Soit x et y deux nombres réels. 1) x≥0 2) -x=x 3) x 2 =x

4) |x| = 0 équivaut à x = 0 5) |x| = |y| équivaut à x = y ou x = -y 6) |xy| = |x| x |y| 7)

x y x y pour y≠0 Exemples : 1) |-3| = 3 et |3| = 3 donc |-3| = |3|. 2) -5 2 =25=5 et -5=5 donc -5 2 =-5

2) Distance et valeur absolue Définition : Soit a et b deux nombres réels. Sur une droite graduée munie d'un repère

O,i

, la distance entre les points A et B d'abscisses respectives les nombres a et b est le nombre |a - b|. Ce nombre s'appelle aussi la distance entre les réels a et b et se note d(a ; b). Exemple : Calculer la distance entre les nombres -1,5 et 4. d(-1,5 ; 4) = |4 - (-1,5)| = 5,5 Propriété de l'inégalité triangulaire : Soit x et y deux nombres réels. On a :

Démonstration : Dans un repère

O,i

AO + OB, soit :

x--y , soit encore :

5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr3) Fonction valeur absolue Définition : La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur

par f(x)=x . Propriété : La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Eléments de démonstration : f(x)= -xsur-∞;0 xsur0;+∞

Sur chacun des intervalles

-∞;0 et

0;+∞

, la fonction f est une fonction affine. Représentation graphique : x -∞

0 +∞

x!x

0 Remarque : Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. IV. Positions relatives de courbes Propriété : - Si

, alors x 2 - Si x≥1 , alors 2 . Démonstration : Dans un repère O;i ;j , on appelle C f C g et C h les courbes représentatives respectives des fonctions f, g et h telles que : f(x)=x g(x)=x et h(x)=x 2 f(0)=g(0)=h(0)=0 et f(1)=g(1)=h(1)=1 . Les courbes C f C g et C h sont donc sécantes au point O et au point A(1 ; 1)

6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr- Si 0 < x < 1 : On a alors :

00 0 0 soit encore : 0 0 donc : 0Sur l'intervalle 0;1 , la courbe C g est strictement au dessus de la courbe C h et strictement en dessous de la courbe C f . - Si x > 1 : On a alors : 11×x x 0 soit encore : x 2 0 donc : xSur l'intervalle

1;+∞

, la courbe C g est strictement au dessus de la courbe C f et strictement en dessous de la courbe C h . Propriété : - Sur l'intervalle 0;1 , la droite d'équation y=x

est au dessus de la courbe de la fonction carré et en dessous de la courbe de la fonction racine carrée. - Sur l'intervalle

1;+∞

, les position de ces trois courbes sont inversées.

7 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Etudier la position de deux courbes Vidéo https://youtu.be/EyxP5HIfyF4 Soit f et g deux fonctions définies sur

par : f(x)=-x 2 +8x-11 et g(x)=x-1 . Etudier la position relative des courbes représentatives C f et C g . On va étudier le signe de la différence f(x)-g(x) f(x)-g(x)=-x 2 +8x-11-x+1=-x 2 +7x-10 . Le discriminant du trinôme -x 2 +7x-10 est Δ = 72 - 4 x (-1) x (-10) = 9 Le trinôme possède deux racines distinctes : x 1 -7-9

2×(-1)

=5 et x 2 -7+9

2×(-1)

=2 . On dresse le tableau de signes du trinôme -x 2 +7x-10 : x -∞

2 5 +∞

f(x)-g(x) - O + O - On conclut : La courbe C f est en dessous de la courbe C g pour tout x de -∞;2 ∪5;+∞ . La courbe C f est en dessus de la courbe C g pour tout x de 2;5

. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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