VARIATIONS DES FONCTIONS
Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si lorsque les valeurs de la variable x a) Sens de variation de la fonction carré.
FONCTIONS DE REFERENCE
La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O. - Dans un repère orthogonal Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction.
Démonstration-des-variations-de-la-fonction-carré.pdf
Conclusion : la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +?[. Démonstration des variations de la fonction carré - www.bossetesmaths.com - © Corinne
I. Sens de variation dune fonction ; extréma
La fonction racine carrée est définie pour x. 0. Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante. f '(x) = 1.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les La fonction carré est décroissante sur l'intervalle.
Seconde Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2
Soit f(-x) = f(x). Page 3. Seconde. Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2. 3. II. La fonction f : x a(x - ?)² + ? a) Sens de variation. La fonction
Taux de variation dune fonction.
Soit f la fonction carré définie sur ?. = f x2 ? f x1 Le signe du taux de variation indique le sens de variation de f. 1 Théorème.
I La fonction carrée
Fonctions usuelles. Seconde 7. I La fonction carrée. I.1 définition variations et courbe. On appelle fonction carrée
Fonction carré
inverse l'ordre sur ].o ; 0]. • Tableau de variation : La fonction carré possède un minimum 0 atteint pour x = 0 (en 0)
FONCTIONS DE REFERENCE
1) Sens de variation d'une fonction. Définitions : Soit f une fonction Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 .
[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction
[PDF] I La fonction carrée
Étude des variations de la fonction carrée sur R passant au carré les inégalités changent de sens car la fonction carrée y est décroissante donc
[PDF] Seconde - Fonction carré - Parfenoff org
La fonction carré est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe son carré ² : : ? ² II) Sens de variation de la fonction carré
[PDF] Fonctions carré et fonction inverse
Définition Une fonction f définie sur un ensemble I est paire si : • I est symétrique par rapport à l'origine O du repère (donc pour tout x ? I
[PDF] Démonstration des variations de la fonction carré - Bosse Tes Maths
Démontrer que la fonction carré f est strictement croissante sur [0 ; +?[ Démonstration : Soit a et b dans [0 ; +?[ tels que a < b f (a)?
[PDF] Chapitre 4 – Améliorer ses techniques – Corrigés Mathx seconde
Méthode : on peut utiliser le sens de variation de la fonction inverse ou s'aider d'un dessin a La fonction inverse est strictement décroissante sur l'
[PDF] FONCTIONS CARRÉ ET INVERSE - Free
La fonction carré est strictement décroissante sur ] ? ?; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; +?[ Tableau de variations : x ?? 0 +? +? +? f
[PDF] I Fonction carré - My MATHS SPACE
I Fonction carré EXERCICE 1 En s'aidant éventuellement de la courbe de la fonction carrée ou de son tableau de variation compléter
[PDF] Fonction Carré
Domaine de définition toutes ces propriétés sont des conséquences directes des variations de la fonction carré Fonctions Puissance Entière Positive
[PDF] Fonction carré
Définition : on appelle fonction carré la fonction ? Tout réel admet un carré ; l'ensemble de définition de la fonction III) Sens de variation
Quel est le sens de variation de la fonction carré ?
La fonction carré est strictement décroissante sur ]?? ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +?[.Comment trouver le sens de variation d'un fonction ?
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f(a) et f(b) où a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a\\lt b. Donner le sens de variation de f sur \\left[ 1;+\\infty \\right[.Quelles sont les variations de la fonction racine carrée ?
La fonction f définie sur R telle que f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2 est appelée fonction carré.
1D est appelé l'ensemble de définition de f.2Le nombre y est appelé l'image de x par la fonction f.3Le nombre x est appelé un antécédent de y par la fonction f.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVARIATIONS D'UNE FONCTION
Tout le cours sur les variations en vidéo : https://youtu.be/i8aYSIidNlk Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes1. Définitions
On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par =5- Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite :Sur l'intervalle [0;2,5], on
monte, on dit que la fonction est croissante.Sur l'intervalle [2,5;5], on
descend, on dit que la fonction est décroissante. est décroissante sur 2,5;5Si augmente (3<4),
alors () diminue ((3)>(4)). est croissante sur 0;2,5Si augmente (1<2),
alors ()augmente ((1)<(2)).2 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction est croissante, - une fonction est décroissante, si < alors . si < alorsRemarques :
• Pour une fonction constante : on a toujours • Dire que est monotone signifie que est soit croissante, soit décroissante. • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonctionVidéo https://youtu.be/zHYaPOWi4Iw
Vidéo https://youtu.be/__KaMRG51Ts
2. Maximum et minimum
Exemple : On reprend la fonction définie dans l'exemple de la partie 1.Sur l'intervalle [0;5], on a :
2,5 =6,25. On dit que 6,25 est le maximum de la fonction . Ce maximum est atteint en 2,5.3 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction admet un maximum en , si pour tout , - une fonction admet un minimum en , si pour tout ,Remarque : Un minimum ou un maximum
s'appelle un extremum.TP avec Python :
Approcher un extremum par la méthode du balayage3. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Méthode : Déterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser le tableau de variationsVidéo https://youtu.be/yGqqoBMq8Fw
On considère la représentation graphique la fonction :4 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle la fonction est-elle définie ? b) Donner les variations de la fonction. c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. d) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.Correction
a) La fonction est définie sur [-5;7]. b) La fonction est croissante sur les intervalles [-4;0] et [5;7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5;-4] et [0;5]. c) Le maximum de est 3,5. Il est atteint en =0. Le minimum de est -4. Il est atteint en =-4 . d)Partie 2 : Cas des fonctions affines
1. Définitions
Définitions : Une fonction affine est définie sur ℝ par =+, où et sont deux nombres réels. Lorsque =0, la fonction définie par = est une fonction linéaire.Exemples :
• Fonction affine : =-+6 • Fonction linéaire :2. Variations
Propriété : Soit une fonction affine définie sur ℝparSi >0, alors est croissante.
Si <0, alors est décroissante.
Si =0, alors est constante.
Démonstration :
Soient et deux nombres réels tels que <.On sait que < donc ->0.
Le signe de
est le même que celui de .5 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - Si >0, alors > 0 soitDonc est croissante.
- Si =0, alors = 0 soitDonc est constante.
- Si <0, alors < 0 soitDonc est décroissante.
Méthode : Déterminer les variations d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/9x1mMKopdI0
Déterminer les variations des fonctions affines suivante : a) =3+2 b) =7-6 c) ℎCorrection
1)
=3+2 >0 donc est croissante.2)
=7-6=-6+7 <0 donc est décroissante.3) ℎ
=-=-1 <0 donc ℎ est décroissante.3. Représentation graphique
Propriétés :
- Une fonction affine est représentée par une droite. - Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Soit la fonction affine définie par ()=+. s'appelle le coefficient directeur s'appelle l'ordonnée à l'origine. Méthode : Déterminer graphiquement une fonction affineVidéo https://youtu.be/OnnrfqztpTY
Vidéo https://youtu.be/fq2sXpbdJQg
Vidéo https://youtu.be/q68CLk2CNik
Déterminer graphiquement l'expression des fonctions et représentées respectivement
par les droites (d) et (d').6 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
Ce nombre s'appelle le coefficient directeur.
Si on avance de 1 : on monte de .
Ce nombre s'appelle l'ordonnée à l'origine.
- se lit sur l'axe des ordonnées.Pour (d) : Le coefficient directeur est 2
L'ordonnée à l'origine est -2
L'expression de la fonction est :
=2-2Pour (d') : Le coefficient directeur est -0,5
L'ordonnée à l'origine est -1
L'expression de la fonction est :
=-0,5-1 Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ℝ par =+ et deux nombres réels distincts et .Alors : =
Démonstration :
Comme ≠, et on a : =
Remarque : Dans le calcul de ,inverser et n'a pas d'importance.En effet :
Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/ssA9Sa3yksM
Vidéo https://youtu.be/0jX7iPWCWI4
Déterminer par calcul une expression de la fonction telle que : (-2)=4 et (3)=1.7 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
est une fonction affine, donc elle s'écrit sous la forme : • Calcul de : On a (-2)=4 et (3)=1, donc d'après la propriété des accroissements :Donc :
• Calcul de b :On a par exemple : (3)=1, donc :
×3+=1
+=1 =1+ 9 5 5 5 9 5 • D'où :Partie 3 : Cas des fonctions de référence
1. Variations de la fonction carré
Vidéo https://youtu.be/B3mM6LYdsF8
Propriété :
La fonction carré est décroissante sur l'intervalle -∞;0 et croissante sur l'intervalle0;+∞
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/gu2QnY8_9xk
On pose :
- Soit et deux nombres réels quelconques positifs tels que <. Or ->0, ≥0 et ≥0 donc ≥0 ce qui prouve que est croissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue en choisissant et deux nombres réels quelconques négatifs tels que <.2. Variations de la fonction inverse
Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y
Propriété :
La fonction inverse est décroissante sur
l'intervalle -∞;0 et décroissante sur l'intervalle0;+∞
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/cZYWnLA30q0
On pose :
- Soit et deux nombres réels strictement positifs avec <. 0 0'/ 0/ Or >0, >0 et -<0. Donc f est ainsi décroissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue. Propriété : Si et sont deux nombres réels de même signe, on a alors : 1 1 En effet, la fonction inverse étant décroissante, l'ordre est renversé.9 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Résoudre une inéquation avec la fonction inverseVidéo https://youtu.be/7K0171Zj5Rw
Résoudre l'inéquation suivante pour tout strictement positif : 4 +2<5Correction
4 +2<5 4 <5-2 4 <3 1 3 4 1 4 3 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] telecharger livre de cuisine africaine gratuit pdf
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