[PDF] Statistique inférentielle Intervalles de confiance

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Statistique inf

´erentielle

Intervalles de confiance

A. Godichon-Baggioni

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

I. Intervalles de confiance

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

INTERVALLES DE CONFIANCE

SoientX1;:::;Xndes variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu

´ees.

Soit2(0;1), un intervalle de confiance pour le param`etre au niveau de confiance 1est un intervalle de la forme IC

1() = [a(X1;:::;Xn);b(X1;:::;Xn)]

avec

P[2[a(X1;:::;Xn);b(X1;:::;Xn)]] =1:

Attention!Cela ne signifie pas que2IC1().

Attention!On ne peut pas dire que la probabilit´e que appartienne `a la r´ealisation deIC1()est de 1. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

EXEMPLES

Exemple 1 :On consid`ere des variables al´eatoires i.i.d X

1;:::;Xnde densit´e

f (x) =x 21x2
avec >0. Soit2(0;1), un intervalle de confiance de niveau

1pourest donn´e par

IC

1() =h

X (1)1=n;X(1)i Exemple 2 : loi uniforme.On consid`ere des variables al ´eatoires i.i.dX1;:::;XnavecX1 U([0;])et >0. Soit

2(0;1), un intervalle de confiance de niveau 1pourest

donn

´e par

IC

1() =h

X (n);X(n)1=ni Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

REMARQUE

Souvent, on cherche des intervalles tels que

P[a(X1;:::;Xn)] =P[b(X1;:::;Xn)] ==2:

Exemple 1 :On obtient un intervalle de la forme (si <1=2) IC 1() = X (1)2

1=n;X(1)

12 1=n Exemple 2 :On obtient un intervalle de la forme (si <1=2) IC 1() = X (n) 12

1=n;X(n)2

1=n Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

REMARQUE

Un intervalle de confiance pour le param

`etreau niveau de confiance au moins 1est un intervalle de la forme IC

1() = [a(X1;:::;Xn);b(X1;:::;Xn)]

avec

P[2[a(X1;:::;Xn);b(X1;:::;Xn)]]1:

Exemple : loi de Bernoulli.SoitX1;:::;Xndes variables al ´eatoires i.i.d avecX1 B()et2(0;1). Un intervalle de confiance de niveau au moins 1est donn´e par IC

1() =X

n12 pn;X n+12 pn Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

BILAT`EREVSUNILAT`ERE

Remarque :Pour les intervalles pr´ec´edents, on parle d"intervalles de confiances bilat `eres. Remarque :On peut´egalement construire des intervalles de confiances de la forme ]1;b(X1;:::;Xn)]et[a(X1;:::;Xn);+1[:

On parle alors d"intervalles de confiance unilat

`eres. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

QUANTILES

On consid

`ere une variable al´eatoireXet on noteFsa fonction de r

´epartition.D

´efinition

Pour tout2(0;1), on appelle quantile d"ordrele r´eel qtel que q = inffx2R;F(x)g:Si la fonction de r ´epartitionFest strictement croissante, elle est inversible et on a alors

F(q) =,q=F1():

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

EXEMPLES

Exemple 1 : la loi uniforme.SoitX U([a;b]). Soit2(0;1), le quantileqd"ordredeXest donn´e par q =a+(ba): Exemple 2 : la loi exponentielle.SoitX E(1). Soit2(0;1), le quantileqd"ordredeXest donn´e par q =ln(1):

Exemple 3 : la loi de Bernoulli.SoitX B(). On a

q =0 si2(0;1]

1 sinon(1)

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

II. Rappels sur la loi normale

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

RAPPELS SUR LA LOI NORMALE

SoientX1;:::;Xndes variables al´eatoires suivant des lois normales de moyennes1;:::;net de variances21;:::;2n. On rappelle que la fonction caract

´eristique deXiest d´efinie pour

toutt2Rpar

Xi(t) = exp

iitt22i2 Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

RAPPELS SUR LA LOI NORMALEProposition

Soient X

1;:::;Xndes variables al´eatoires ind´ependantes suivant des

lois normales de moyennes1;:::;net de variances21;:::;2n.

Alors toute combinaison lin´eaire des X

isuit une loi normale. Plus pr´ecis´ement, soient1;:::;n2R, alors n X i=1 iXi N;2 avec =nX i=1 ii 2=nX i=1 2i2i Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DUCHI-DEUXD

´efinition

Soient X

1;:::;Xndes variables al´eatoires ind´ependantes suivant une

loi normale centr´ee r´eduite. Alors la variable al´eatoire Z n=nX i=1X 2i suit une loi du Chi-deux `a n degr´es de libert´e 2n. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DUCHI-DEUX05101520

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n=2 n=5 n=10FIGURE-Densit ´e d"une chi deux`an=2;5;10 degr´es de libert´e Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DESTUDENTD

´efinition

Soient Z;U deux variables al´eatoires ind´ependantes telles que

Z N(0;1)et U2n, alors

ZpU=nTn

o`u T nsuit une loi de Student `a n degr´es de libert´e. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DESTUDENT-4-2024

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n=5 n=15 n=30FIGURE-Densit ´e d"une loi de Student`an=5;15;30 degr´es de libert´e. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DESTUDENTProposition

Soit T

nune variable al´eatoire suivant une loi de Student `a n degr´es de libert´e. Si n2, alors : I

Tnadmet un moment d"ordre1

I

E[Tn] =0.

I

La loi de Student est sym´etrique en0.

I

On a la convergence en loi

T nL!n!+1N(0;1): Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

III. Cas Gaussien

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

CAS GAUSSIEN

SoientX1;:::;Xndes variables al´eatoires ind´ependantes suivant une loi normale d"esp

´eranceet de variance2.Proposition

On aX n N ;2n Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

CAS OU LA VARIANCE EST CONNUEProposition

Pour tout2(0;1),

P X nq1=2pn X n+q1=2pn =1; o`u q

1=2est le quantile d"ordre1=2de la loi normale centr´ee

r´eduite, i.e si Z N(0;1), P Zq1=2=1=2:On obtient donc l"intervalle de confiance de niveau 1 IC

1() =X

nq1=2pn ;X n+q1=2pn Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

INTERVALLES UNILAT`ERES

On peut

´egalement obtenir les intervalles de confiances unilat `eres suivants : IC 1() = 1;X n+q1pn IC

1() =X

nq1pn ;+1 Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

CAS O`U LA VARIANCE EST INCONNUEProposition

SoientX

n=1n P n i=1Xiet S2n=1n1P n i=1XiX n

2, alors

1. n1

2S2n2n1.

2.SnetX

nsont ind´ependants.Corollaire

On apnX

nS nTn1; o`u T n1suit une loi de Student `a n1degr´es de libert´e. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques CAS O`U LA VARIANCE EST INCONNUECorollaire (Intervalles de confiance)

Soit2(0;1), alors

P X ntn1;1=2S npn X n+tn1;1=2S npn =1 o`u t n1;1=2est le quantile d"ordre1=2de la loi de Student `a n1degr´es de libert´e, i.e si TTn1, P Ttn1;1=2=1=2:On obtient donc l"intervalle de confiance au niveau 1 IC

1() =X

ntn1;1=2S npn ;X n+tn1;1=2S npn Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

INTERVALLES UNILAT`ERES

On peut

´egalement obtenir les intervalles de confiances unilat `eres suivants : IC 1() = 1;X n+tn1;1Snpn IC

1() =X

ntn1;1Snpn ;+1 Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

ESTIMATION DE LA VARIANCEProposition

Soit2(0;1), alors

P (n1)S2nk

1=22(n1)S2nk

=2 =1 o`u k =2et k1=2sont les quantiles d"ordre=2et1=2d"une loi du Chi-deux `a n1degr´es de libert´e, i.e si Z2n1, P Zk=2==2PZk1=2=1=2:On obtient donc l"intervalle de confiance au niveau 1 IC

12=(n1)S2nk

1=2;(n1)S2nk

=2 Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

IV. Intervalles de confiance asymptotiques

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

INTERVALLES DE CONFIANCE ASYMPTOTIQUES

On s"int

´eresse`a l"estimation d"une caract´eristique ou d"un param `etred"une variable al´eatoireX. On dispose d"un estimateur ^nasymptotiquement normal, i.e il existe2>0 tel quepn ^nL!n!+1N0;2:

On supposera

´egalement que l"on a un estimateur consistant^2nde2. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

INTERVALLES DE CONFIANCE ASYMPTOTIQUESProposition

Soit2(0;1),

P ^nq1=2^npn ^n+q1=2^npn n!+11; o`u q

1=2est le quantile d"ordre1=2de la loi normale centr´ee

r´eduite.On obtient donc l"intervalle de confiance asymptotique de niveau 1 IC 1() = ^nq1=2^npn ;^n+q1=2^npn Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

EXEMPLES

Exemple 1 : le lancer de pi`ece.On consid`ere une variable al ´eatoireXsuivant une loi de Bernoulli de param`etre2(0;1). Pour tout2(0;1), un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1de IC

1() =2

6

64^nq1=2r^

n 1^npn ;^n+q1=2r^ n 1^npn 3 7 75:
Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

EXEMPLES

Exemple 2 : la loi exponentielle.On consid`ere une variable al ´eatoireXsuivant une loi exponentielle de param`etre >0. Pour tout2(0;1), un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1de IC

1() ="

nq1=2^npn ;^n+q1=2^npn Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

EXEMPLES

Exemple 2bis : la loi exponentielle.En r´ealit´e, pour la loi exponentielle, on peut

ˆetre malin et obtenir un intervalle de

confiance asymptotique de niveau 1de IC

1() ="^n1+q1=2pn

;^n1q1=2pnquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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