[PDF] Statistique inférentielle Intervalles de confiance





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Estimations et intervalles de confiance

mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne qui ne suit plus une loi normale mais une loi dite de Student à n ? 1 degrés.



Quelques rappels sur les intervalles de confiance

Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon Remarque : quand n ? ?



1 Loi de Student 2 Intervalles de confiance

Intervalles de confiance avec Maple7. 1 Loi de Student. La loi de Student `a n degrés de liberté est connue par maple sous le nom de studentst[n].



Calcul dun intervalle de confiance pour la moyenne dans une

moyenne µ et de variance ?2. – IC : est un acronyme pour Intervalle de Confiance. – ICts : est un IC déduit `a partir de la distribution de Student.





TD 5 – Intervalles de confiance Exercice 1. (quantiles et loi normale

np¯x´µq{s1 soit distribuée selon une loi de Student on suppose les masses gaussiennes. Exercice 3. (intervalle de confiance d'une moyenne basé sur un 



Procdure de tlchargement du logiciel R

a) Test bilatéral et intervalle de confiance…………………….3 b) Tests unilatéraux……………………………………………4 c) Quantiles et probabilités de la loi de Student……………….5.



: tdr27 ————— Intervalles de Confiance —————

975 sont respectivement les quantiles 2.5% et 97.5% de la loi de. Student `a n ? 1 degrés de liberté (cf tdr21). Prenons le cas d'un échantillon de taille n = 



TABLES DE PROBABILIT?S ET STATISTIQUE

Lois de Student Student `a ? degrés de liberté. ... de l'intervalle de confiance approximatif comme les abscisses des points d'intersection de la.



Fonctionnement des menus TESTS et Intervalle de confiance des

suit la loi de Student à (n – 1) degrés de liberté. Ce sont les fractiles de cette loi qui permettent de d'écrire la marge d'erreur de l'estimation : n.



[PDF] Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Résumé Cette vignette introduit la notion d'estimateur et ses propriétés : convergence biais erreur quadratique 



[PDF] Quelques rappels sur les intervalles de confiance - Cedric-Cnam

Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon Remarque : quand n ? ? on approxime la loi de Student par la loi normale 



[PDF] : tdr27 ————— Intervalles de Confiance —————

L'objectif est de représenter les intervalles de confiance d'une moyenne d'une proportion Table des mati`eres 1 Intervalle de confiance de la moyenne



[PDF] 1 Loi de Student 2 Intervalles de confiance

Pour déterminer des intervalles de confiance pour une espérance on a besoin des nombres t? tels que P(X > t?) = ? o`u X suit soit une loi normale soit une 



[PDF] Estimation par intervalle de confiance

Intervalle de confiance pour une proportion Estimation et intervalle de confiance dans le cas d'une population d'effectif fini



[PDF] Calcul dun intervalle de confiance pour la moyenne dans une

– ii) La distribution F de la variable aléatoire X n'est pas normale et la taille d'échantillon n est grande Pour ce faire nous avons besoin de la loi Student 



[PDF] Intervalle de confiance standard

Intervalle de confiance de Student Gosset (1908) ? = µ C? = X C? 2 = ? Var(C?) C? ? ? C? · ? tn?1 IC de Student de 100 · (1 ? 2?) pour ? = µ



[PDF] Intervalles de confiance - Université de Rennes

Voici `a présent la définition mathématique d'un intervalle de confiance telle qu'on peut la n ? 1 suit une loi de Student `a n ? 1 degrés de liberté



[PDF] TD6: Intervalles de confiance tests

Le calcul numérique donne Iobs = [1888 ; 2112] 2 On utilise l'équivalence entre l'intervalle de Student et le test de Student Ici 1850 n' 



[PDF] TP N° 54 Estimation dun intervalle de confiance - CAB INNOVATION

le quantile d'ordre 1 ? 2 de la loi de Student à ?1 degrés de liberté Dans le cas unilatéral les intervalles deviennent : é ? ? ? ? é 

:

Statistique inf

´erentielle

Intervalles de confiance

A. Godichon-Baggioni

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

I. Intervalles de confiance

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

INTERVALLES DE CONFIANCE

SoientX1;:::;Xndes variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu

´ees.

Soit2(0;1), un intervalle de confiance pour le param`etre au niveau de confiance 1est un intervalle de la forme IC

1() = [a(X1;:::;Xn);b(X1;:::;Xn)]

avec

P[2[a(X1;:::;Xn);b(X1;:::;Xn)]] =1:

Attention!Cela ne signifie pas que2IC1().

Attention!On ne peut pas dire que la probabilit´e que appartienne `a la r´ealisation deIC1()est de 1. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

EXEMPLES

Exemple 1 :On consid`ere des variables al´eatoires i.i.d X

1;:::;Xnde densit´e

f (x) =x 21x2
avec >0. Soit2(0;1), un intervalle de confiance de niveau

1pourest donn´e par

IC

1() =h

X (1)1=n;X(1)i Exemple 2 : loi uniforme.On consid`ere des variables al ´eatoires i.i.dX1;:::;XnavecX1 U([0;])et >0. Soit

2(0;1), un intervalle de confiance de niveau 1pourest

donn

´e par

IC

1() =h

X (n);X(n)1=ni Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

REMARQUE

Souvent, on cherche des intervalles tels que

P[a(X1;:::;Xn)] =P[b(X1;:::;Xn)] ==2:

Exemple 1 :On obtient un intervalle de la forme (si <1=2) IC 1() = X (1)2

1=n;X(1)

12 1=n Exemple 2 :On obtient un intervalle de la forme (si <1=2) IC 1() = X (n) 12

1=n;X(n)2

1=n Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

REMARQUE

Un intervalle de confiance pour le param

`etreau niveau de confiance au moins 1est un intervalle de la forme IC

1() = [a(X1;:::;Xn);b(X1;:::;Xn)]

avec

P[2[a(X1;:::;Xn);b(X1;:::;Xn)]]1:

Exemple : loi de Bernoulli.SoitX1;:::;Xndes variables al ´eatoires i.i.d avecX1 B()et2(0;1). Un intervalle de confiance de niveau au moins 1est donn´e par IC

1() =X

n12 pn;X n+12 pn Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

BILAT`EREVSUNILAT`ERE

Remarque :Pour les intervalles pr´ec´edents, on parle d"intervalles de confiances bilat `eres. Remarque :On peut´egalement construire des intervalles de confiances de la forme ]1;b(X1;:::;Xn)]et[a(X1;:::;Xn);+1[:

On parle alors d"intervalles de confiance unilat

`eres. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

QUANTILES

On consid

`ere une variable al´eatoireXet on noteFsa fonction de r

´epartition.D

´efinition

Pour tout2(0;1), on appelle quantile d"ordrele r´eel qtel que q = inffx2R;F(x)g:Si la fonction de r ´epartitionFest strictement croissante, elle est inversible et on a alors

F(q) =,q=F1():

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

EXEMPLES

Exemple 1 : la loi uniforme.SoitX U([a;b]). Soit2(0;1), le quantileqd"ordredeXest donn´e par q =a+(ba): Exemple 2 : la loi exponentielle.SoitX E(1). Soit2(0;1), le quantileqd"ordredeXest donn´e par q =ln(1):

Exemple 3 : la loi de Bernoulli.SoitX B(). On a

q =0 si2(0;1]

1 sinon(1)

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

II. Rappels sur la loi normale

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

RAPPELS SUR LA LOI NORMALE

SoientX1;:::;Xndes variables al´eatoires suivant des lois normales de moyennes1;:::;net de variances21;:::;2n. On rappelle que la fonction caract

´eristique deXiest d´efinie pour

toutt2Rpar

Xi(t) = exp

iitt22i2 Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

RAPPELS SUR LA LOI NORMALEProposition

Soient X

1;:::;Xndes variables al´eatoires ind´ependantes suivant des

lois normales de moyennes1;:::;net de variances21;:::;2n.

Alors toute combinaison lin´eaire des X

isuit une loi normale. Plus pr´ecis´ement, soient1;:::;n2R, alors n X i=1 iXi N;2 avec =nX i=1 ii 2=nX i=1 2i2i Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DUCHI-DEUXD

´efinition

Soient X

1;:::;Xndes variables al´eatoires ind´ependantes suivant une

loi normale centr´ee r´eduite. Alors la variable al´eatoire Z n=nX i=1X 2i suit une loi du Chi-deux `a n degr´es de libert´e 2n. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DUCHI-DEUX05101520

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n=2 n=5 n=10FIGURE-Densit ´e d"une chi deux`an=2;5;10 degr´es de libert´e Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DESTUDENTD

´efinition

Soient Z;U deux variables al´eatoires ind´ependantes telles que

Z N(0;1)et U2n, alors

ZpU=nTn

o`u T nsuit une loi de Student `a n degr´es de libert´e. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DESTUDENT-4-2024

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n=5 n=15 n=30FIGURE-Densit ´e d"une loi de Student`an=5;15;30 degr´es de libert´e. Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

LOI DESTUDENTProposition

Soit T

nune variable al´eatoire suivant une loi de Student `a n degr´es de libert´e. Si n2, alors : I

Tnadmet un moment d"ordre1

I

E[Tn] =0.

I

La loi de Student est sym´etrique en0.

I

On a la convergence en loi

T nL!n!+1N(0;1): Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

III. Cas Gaussien

Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

CAS GAUSSIEN

SoientX1;:::;Xndes variables al´eatoires ind´ependantes suivant une loi normale d"esp

´eranceet de variance2.Proposition

On aX n N ;2n Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

CAS OU LA VARIANCE EST CONNUEProposition

Pour tout2(0;1),

P X nq1=2pn X n+q1=2pn =1; o`u q

1=2est le quantile d"ordre1=2de la loi normale centr´ee

r´eduite, i.e si Z N(0;1), P Zq1=2=1=2:On obtient donc l"intervalle de confiance de niveau 1 IC

1() =X

nq1=2pn ;X n+q1=2pn Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

INTERVALLES UNILAT`ERES

On peut

´egalement obtenir les intervalles de confiances unilat `eres suivants : IC 1() = 1;X n+q1pn IC

1() =X

nq1pn ;+1 Intervalles de confianceRappels sur la loi normaleCas GaussienIntervalles de confiance asymptotiques

CAS O`U LA VARIANCE EST INCONNUEProposition

SoientX

n=1n P n i=1Xiet S2n=1n1P n i=1XiX n

2, alors

1. n1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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