[PDF] TABLES DE PROBABILIT?S ET STATISTIQUE

View - Download TABLES DE PROBABILIT?S ET STATISTIQUE

Previous PDF

Next PDF

TABLES DE PROBABILIT´ES ET STATISTIQUE

A.Tables des lois associ´ees `a la loi Normale

A.1.Loi normaleN

?0,1?

1oFonction de r´epartition de la loi Normale.- La

fonction de r´epartition Φ de la loi NormaleN ?0,1?est d´efinie par Φ ?z?? ?z ??e ?u2?2du ?2π,z??. Pour tout z ??, on a Φ?z??1?Φ??z?.

Φ(z)

z0 1 Exemples. - Φ?0,25??0,5987, Φ??0,32??1?Φ?0,32??1?0,6255?0,3745.

2Tables de Probabilit´es et Statistique

2 oQuantiles de la loi Normale.- Pourα ??0,1?, le quantile d"ordreαde la loi Normale estzα ?1

Pour toutα

??0,1?, on a Φ ?1 ?1 ?1?α?. zα0 1 ?1 ?1

Exemples. - On a Φ

?1 ?0,75??0,6745, Φ ?1 ?0,995??2,5758, Φ ?1 ?0,9995??3,2905; ainsi que Φ ?1 ?0,25???0,6745, Φ ?1 ?0,005???2,5758, Φ ?1 ?0,0005???3,2905. 3 oQuantiles de la loi Normale (bis).- SiZest une va- riable al´eatoire suivant la loi normaleN ?0,1?, la table donne, pourαfix´e, la valeurz1 ?α?2telle que ???Z??z1 ?α?2

Ainsi,z1

?α?2est le quantile d"ordre 1 ?α?2 de la loi normaleN ?0,1?.z1-α/2zα/20α/2α/2

α10

?310 ?410 ?510 ?610 ?710 ?810 ?9 z1 Exemples. - Pourα?0,5, on trouvez?0,6745; pourα?0,25, on trouvez?1,1503; pour ?10 ?6, on trouvez ?4,8916.

20 d´ecembre 20133

A.2.Lois de Pearson

SiXest une variable al´eatoire suivant la loi duχ2, ou de Pearson, `aνdegr´es de libert´e, la table donne, pourαfix´e, la valeurk1 ?αtelle que ??X?k1

Ainsi,k1

?αest le quantile d"ordre 1 ?αde la loi duχ2 `aνdegr´es de libert´e. k1-α0α Lorsque le degr´e de libert´eνest tel queν?30, la variable al´eatoire Z ?2X? ?2ν?1 suit approximativement la loi normale centr´ee r´eduite.

4Tables de Probabilit´es et Statistique

A.3.Lois de Student

SiTest une variable al´eatoire suivant la loi de Stu- dent `aνdegr´es de libert´e, la table donne, pourαfix´e, la valeurt1 ?α?2telle que ???T??t1 ?α?2

Ainsi,t1

?α?2est le quantile d"ordre 1 ?α?2 de la loi de

Student `aνdegr´es de libert´e.

t1-α/2tα/20α/2α/2

Lorsqueν??,t1

?α?2est le quantile d"ordre 1 ?α?2 de la loi normaleN?0,1?.

20 d´ecembre 20135

A.4.Lois de Fisher-Snedecor (α

?0,05) SiFest une variable al´eatoire suivant la loi de

Fisher-Snedecor `a

?ν1,ν2?degr´es de libert´e, la table donne la valeurf1 ?αtelle que ??F?f1 ??α?0,05.

Ainsi,f1

?αest le quantile d"ordre 1 ?α?0,95 de la loi de Fisher-Snedecor `a ?ν1,ν2?degr´es de libert´e.f1-α0α

ν2ν1123456810152030?

1161200216225230234239242246248250254

6Tables de Probabilit´es et Statistique

A.5.Lois de Fisher-Snedecor (α

?0,025) SiFest une variable al´eatoire suivant la loi de

Fisher-Snedecor `a

?ν1,ν2?degr´es de libert´e, la table donne la valeurf1 ?αtelle que ??F?f1 ??α?0,025.

Ainsi,f1

?αest le quantile d"ordre 1 ?α?0,975 de la loi de Fisher-Snedecor `a ?ν1,ν2?degr´es de libert´e.f1-α0α

ν2ν1123456810152030?

164880086490092293795796998599310011018

20 d´ecembre 20137

B.Estimation d"une proportion par intervalle de confiance

B.1.Abaque (α

?0,05) L"abaque suivant a ´et´e construit pour un niveau de confiance 1 ?α?0,95. Pour une taille d"´echantillonn ?25, elle donne l"intervalle de confiance"exact»(m´ethode de Clopper-

Pearson) pour la proportion, et, pourn

?25, un intervalle de confiance asymptotique - moins lourd `a calculer - d´etermin´e `a l"aide d"une approximation normale. n= 2 n= 2 n= 3 n= 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 12 12 15 15 20 20 25
25
25
25
30
30
50
50
100
100
500
500

20002000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,10,20,30,40,50,60,70,80,910

Proportion observ´ee sur l"´echantillon

Proportion dans la population

En ordonn´ee, on place la proportion observ´eepet on obtient les bornes inf´erieure et sup´erieure

de l"intervalle de confiance approximatif comme les abscisses des points d"intersection de la droite horizontaley ?pavec les deux courbes correspondant `a la taillende l"´echantillon.

8Tables de Probabilit´es et Statistique

B.2.Table (α

?0,05) La table suivante donne les bornes inf´erieures des intervalles de confiance de niveau 1

0,95 pour une proportion, o`unest la taille de l"´echantillon etp?k?nla proportion observ´ee.

La d´etermination de l"intervalle suit la m´ethode de Clopper-Pearson. L"intervalle de confiance

est alors ?pmin?k,n?,1?pmin?n?k,n? o`u lespmin?k,n?sont les valeurs lues dans le tableau etpmin?0,n??0. nk12345678910

20,01260,1581

30,00840,09430,2924

40,00630,06760,19410,3976

50,00500,05270,14660,28360,4782

60,00420,04330,11810,22280,35880,5407

nk11121314151617181920

110,7151

120,61520,7353

130,54550,63970,7529

140,49200,57190,66130,7684

150,44900,51910,59540,68050,7820

160,41340,47620,54350,61650,69770,7941

Exemples. -a) Une biologiste a relev´ee 3 mutants sur une port´ee de 12 souris. Au niveau de confiance 95%, la probabilit´e d"obtenir une souris mutante est estim´ee par ?0,0549; 1?

0,4281???0,0549; 0,5719?.

b) Deux ´etudiants sur 20 ont su r´epondre `a une question de cours. Au seuilα ?5%, la pro- babilit´e qu"un ´etudiant soit studieux est estim´ee par ?0,0123; 1?0,6830???0,0123; 0,3170?.

20 d´ecembre 20139

B.3.Intervalle de confiance du param`etre d"une loi de Poisson

La table suivante donne l"intervalle de confiance

?λmin?k,α?,λmax?k,α??du param`etreλ d"une loi de de Poisson pour une observation unique ´egale `ak ??. La d´etermination de l"intervalle suit le mˆeme principe que la m´ethode de Clopper-Pearson pour une proportion. Pourk ?0, l"intervalle donn´e est l"intervalle"bilat´eral»?0,?ln?α?2??.

αk0123456

αk78910111213

αk14151617181920

αk21222324252627

αk28293031323334

αk35363738394041

´Etant donn´e un ´echantillon observ´e ?k1,...,kn?d"une loi de Poisson de param`etreλ, en posantk ?k1?????kn, l"intervalle de confiance deλest?1 nλmin ?k,α?,1nλmax ?k,α??.

10Tables de Probabilit´es et Statistique

Pour estimer une proportionp`a partir d"un grand ´echantillon (n ?50) et une proportion observ´eek ?nfaible (k?n?10), on prendra?1 nλmin ?k,α?,1nλmax ?k,α??pour intervalle de confiance asymptotique dep.`A l"oppos´ee, lorsquen ?kest petit, on utilise cette table pour estimer 1 ?paveck ??n?k, pour en d´eduire l"estimation dep. Exemples. -a) Dans un scrutin, sur 100 bulletins d´epouill´es, 4 bulletins sont nuls ou blancs. Pourα ?0,05, l"intervalle de confiance asymptotique de la proportionde bulletins nuls ou blancs est ?0,0109; 0,1024?, soit plus raisonnablement?0,01; 0,10?. b) Deux ´etudiants sur 20 ont su r´epondre `a une question de cours. Au seuilα ?0,05, la probabilit´e qu"un ´etudiant soit studieux est estim´ee par ?0,24?20;7,22?20???0,012; 0,361?.

C.Tests de Kolmogorov-Smirnov

C.1.Table de quantiles de la statistique de Kolmogorov-Smirnov La statistique de Kolmogorov-Smirnov apparaˆıt lors d"un test d"ad´equation d"une loi observ´ee avec une loi de probabilit´e sur ?sans partie discr`ete, c"est-`a-dire de fonction de r´epartitionF: ???0,1?continue. Elle est ´egale `a k ?sup x ?F?x??Fn?x???maxni ?1 ?F?x ?i? ???i?1??n ?i?n?F?x ?i? o`u?x ?i? ?ni ?1est l"´echantillon ordonn´e, eta ?b?max?a,b?. Au seuilαdonn´e, on accepte l"hypoth`ese d"´egalit´e des lois sik ?kn,1 ?α, cette derni`ere valeur ´etant donn´ee par la table qui suit.

αn0123456789

αn10111213141516171819

αn20212223242526272829

20 d´ecembre 201311

αn30313233343536373839

αn40424446485052545658

αn6065707580859095100105

αn110120130140150160170180190200

Dudley (1964) a montr´e que pour toutu?0,

lim n ?Kn?u? ?n ??1?2 k?1 ??1?ke?2k2u3, formule qui permet d"approcher lesp-valeurs 1 ?FKn?k??1???Kn?k?du test de

Kolmogorov-Smirnov pournassez grand.

C.2.Table de quantiles de la statistique unilat´erale de Kolmogorov-Smirnov Les statistiques suivantes apparaissent dans les tests d"ad´equation unilat´eraux, ou de com- paraison, de Kolmogorov-Smirnov : k ?n ?sup x ?F?x??Fn?x? ??max1 ?i?n ?i n ?F ?x ?i? ou k ?n ?sup x ?Fn?x??F?x? ??max1 ?i?n F ?x ?i? ?i?1 n

La table suivante donne

?n?F ?1 K ?n ?1?α?, les quantiles multipli´es par le facteur d"´echelle ?n (se reporter`aKnuth(D. E.),The Art of Computer Programming, vol. 2., p. 51).

12Tables de Probabilit´es et Statistique

n?30yp?1 6n ?1?2 ?O?1?n?, avecy2p?1 2ln ?1??1?p??

D.Autres tables

D.1.Coefficients binomiaux

Les coefficients binomiaux sont

C kn ?n k ??n! k!?n?k?!pourn ??,k??0,1,...,n?1,n?.

Ils satisfont la relationCkn

?Ck ?1n ?1 ?Ckn ?1qui m`ene `a la construction du triangle de Pascal

20 d´ecembre 201313

ci-dessous.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

01 1 1 1 2 1 2 1 3

1 3 3 1

4

1 4 6 4 1

5

1 5 10 10 5 1

6

1 6 15 20 15 6 1

7

1 7 21 35 35 21 7 1

8

1 8 28 56 70 56 28 8 1

9

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

11

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

12

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

13

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

14

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

15

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

16

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560120 16 1

D.2.Nombres premiers

Liste des nombres premiers ant´erieurs `a 2013.- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107,109, 113, 127, 131, 137, 139,

149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241,

251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359,

367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467,

479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601,

607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727,

733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857,

859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991,

997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093,

1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213,

1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303,

1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439,

1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543,

1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627,

1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753,

1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877,

1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999,

2003, 2011.

Remarque. - Les tables et illustrations de ce document ne sont soumises `a aucun copyright,

elles sontcopyleft. Elles ont ´et´e r´ealis´ees `a l"aide des langages C, MetaPost et TEX.

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] intervalle de confiance d'une moyenne excel

[PDF] unité commerciale définition

[PDF] climat définition cycle 3

[PDF] definition de meteorologie

[PDF] unité commerciale physique et virtuelle complémentaire

[PDF] definition meteo

[PDF] dispense cap petite enfance

[PDF] deaes

[PDF] formule variance

[PDF] problème du second degré seconde

[PDF] bpjeps

[PDF] moyenne nationale bac francais 2017

[PDF] moyenne nationale math bac s

[PDF] moyenne nationale bac philo 2015

[PDF] moyenne nationale bac physique 2016