[PDF] TD 5 – Intervalles de confiance Exercice 1. (quantiles et loi normale

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U. Bordeaux - Collège DSPEG - Licence 3 de Science Economique - Statistique Décisionnelle - Automne 2023

TD 5 - Intervalles de confiance

Exercice 1. (quantiles et loi normale/Student/2)

Nommez, interprétez et déterminez la valeur des quantiles suivants :z0;95,t15;0;95,210;0;90.

z0;95: quantile d"ordre0;95de la loiNp0;1q; la valeur à laquelleNp0;1qest inférieure ou égale dans95%des

cas (Fig.1). On l"obtient sous R par :qnorm(0.95);z0;95vaut1;64environ. On note aussi :z0;951p0;95q.

t15;0;95: quantile d"ordre0;95de la loiT15; la valeur à laquelleT15est inférieure ou égale dans95%des cas

(Fig.2). On l"obtient sous R par :qt(0.95,15);t15;0;95vaut1;75environ.

210;0;90: quantile d"ordre0;90de la loi210; la valeur à laquelle210est inférieure ou égale dans90%des cas

(Fig.3). On l"obtient sous R par :qchisq(0.90,10);210;0;90vaut15;99environ.densité deNp0;1q 0;95z

0;951;64Fig. 1densité deT15

0;95t

15;0;951;75Fig. 2densité de210

0;90

210;0;9015;99Fig. 3

Exercice 2. (intervalle de confiance d"une moyenne basé sur un échantillon restreint)

La masse moyenne de seize américains choisis au hasard est de78kg. Déterminez un intervalle de confiance de la

masse moyenne des américains au niveau95%dans chacun des cas suivants : (a) la variance des masses de l"ensemble

des américains vaut2500kg2(b) la variance corrigée des masses des américains de l"échantillon vaut2500kg2.

Paramètres

: valeur attendue/moyenne (en kg) de la masse d"un américain.

2: variance (en kg2) de la masse d"un américain.

Statistiques

x: masse moyenne (en kg) calculée dans un échantillon denaméricains. s

12: variance corrigée (en kg2) des masses de l"échantillon.

n: taille de l"échantillon.(a)n16;x78;22500;0;05. IC

1pqxz1{2{?n781;9650{?16 r53;5;102;5s.

pq: puisque l"échantillon est de petite taille, on suppose que la population est gaussienne (les masses sont

distribuées selon une loi normale). (b)n16;x78;s122500;0;05 IC

1pqxt15;1{2s1{?n782;1350{?16 r51;4;104;6s.

pq: pour que la statistique?npxq{s1soit distribuée selon une loi de Student, on suppose les masses gaussiennes.

Exercice 3. (intervalle de confiance d"une moyenne basé sur un échantillon large)

La taille moyenne de trente-six français choisis au hasard est de175cm. Déterminez un intervalle de confiance de

la taille moyenne des français au niveau90%dans chacun des cas suivants : (a) la variance corrigée des tailles dans

l"échantillon vaut100cm2(b) la variance des taille dans la population vaut169cm2.

Paramètres

: valeur attendue/moyenne (en cm) de la taille d"un français.

2: variance (en cm2) de la taille d"un français.

Statistiques

x: taille moyenne (en cm) calculée dans un échantillon denfrançais. s

12: variance corrigée (en cm2) des tailles de l"échantillon.

n: taille de l"échantillon.(a)n36;x175;s12100;0;10. IC

1pqxz1{2s1{?n1751;6410{?36 r172;3;177;7s.

pq: la variance dans la population est inconnue mais la taille d"échantillon est grande. (b)n36;x175;2169;0;10.A. Lourme, Faculté d"économie, gestion & AES, Université de Bordeaux 1 IC

1pqxz1{2{?n1751;6413{?36 r171;4;178;6s.

pq: la variance dans la population est connue et la taille d"échantillon est grande. Exercice 4. (intervalle de confiance d"une proportion)

Il y a cent dix partisans de M. Johnson parmi deux cents anglais choisis au hasard ; déterminez un intervalle de

confiance au niveau90%du score de M. Johnson aux prochaines élections.

Paramètres

p: proportion de partisans de M. Johnson dans la population.

Statistiques

f: proportion de partisans de M. Johnson dans un échantillon denanglais n: taille de l"échantillonn200;f110{2000;55;0;10. IC

1ppq fz1{2afp1fq{n0;551;64a0;550;45{200 r0;492;0;608s.

Exercice 5. (intervalle de confiance d"une variance)

La variance corrigée des salaires de cinquante-et-un fonctionnaires suisses est de106pCHF2q. Déterminez un

intervalle de confiance au niveau90%de la variance des salaires des fonctionnaires suisses.

Paramètres

: valeur attendue/moyenne (en CHF) du salaire d"un fonctionnaire suisse.

2: variance (en CHF2) du salaire des fonctionnaires suisses.

Statistiques

x: salaire moyen (en CHF) dans un échantillon denfonctionnaires suisses. s

12: variance corrigée (en CHF2) des salaires de l"échantillon.

n: taille de l"échantillon.n51;s12106;0;10. IC

1p2q rpn1qs12{2n1;1{2;pn1qs12{2n1;{2s r50106{250;0;95;50106{250;0;05s r50106{67;6;50

10

6{34;8s r739645;1436782s.

pq: pour que la statistiquepn1qs12{2soit distribuée selon250, on suppose les salaires gaussiens. Exercice 6. (intervalle de confiance d"une proportion, d"une moyenne, d"une variance)

Table 1 donne le flux observé sur le compte de trente clients de la banque Paul & Simon ainsi que leur catégorie

de risque (A/B). client flux risque client flux risque client flux risque1 19 A 11 21 B 21 16 A

2 14 B 12 16 A 22 15 A

3 18 B 13 16 A 23 19 B

4 20 A 14 12 A 24 21 B

5 12 A 15 14 B 25 12 A

6 11 A 16 20 A 26 22 B

7 29 B 17 19 B 27 28 B

8 42 B 18 17 A 28 19 B

9 11 A 19 10 A 29 17 A

10 18 A 20 22 A 30 15 ATable 1:Flux et catégorie de risque d"un échantillon de trente clients de la banque Paul & Simon

1. Déterminez la v aleurobserv éedes statistiques suiv antes: (a) fréquence du risque A (b) moyenne des flux (c) variance des flux.

Paramètres

: valeur attendue/moyenne du flux pour l"ensemble des clients de Paul & Simon.

2: variance des flux pour l"ensemble des clients Paul & Simon.

p: proportions de clients de la classe de risque A chez Paul & Simon.

Statistiques

x: flux moyen calculé dans un échantillon denclients. s

12: variance corrigée des flux de l"échantillon.

f: proportion de clients de la classe de risque A dans l"échantillon. 2 n: taille de l"échantillon.Saisie des données sous R : client=data.frame( (a)sum(client$risque=="A")donne :18. La fréquence du risque A dans l"échantillon est18{300;6 (f0;6) ;60%des clients de l"échantillon sont dans la classe de risque A. (b)mean(client$flux)donne :18;2environ, la moyenne des flux (x18;2). (c)var(client$flux)donne :41;1environ, la variance (corrigée) des flux (s1241;1). 2. Donnez un in tervallede confiance au niv eau95%de la proportion de clients A chez Paul & Simon. n30;f0;6;0;05. IC

1ppqfz1{2afp1fq{n0;61;96a0;60;4{30 r0;42;0;78s.

pq: le paramètrepdont on détermine l"intervalle de confiance est la proportion de clients A chez Paul & Simon.

3.

Déterminez un in tervallede confiance au niv eau95%de la moyenne de l"ensemble des flux de la banque.

(a)n30;x18;2;s1241;1;0;05. IC

1pqxz1{2s1{?n18;21;96a41;1{30 r15;9;20;5s.

pq: la variance de la population est inconnue et la taille de l"échantillon est grande. 4. Déterminez un in tervallede confiance au niv eau95%de la variance des flux de la banque. n30;s1241;1;0;05. IC

1p2q rpn1qs12{2n1;1{2;pn1qs12{2n1;{2s r2941;1{229;0;975;2941;1{229;0;025s r29

41;1{45;7;2941;1{16;0s r26;1;74;5s.

Exercice 7. (taille d"échantillon, niveau de confiance et longueur de l"intervalle)

Mettez en évidence : la longeur de l"intervalle de confiance de niveau1d"une moyenne (i) diminue quand

augmente (ii) diminue quand la taillende l"échantillon augmente ; interprétez ces deux propriétés.

(i) Supposons la population gaussienne et la variance dans population connue :IC1pq xz1{2{?n. La longueur de l"intervalle de confiance est alors :2z1{2{?n. Lorsqueaugmente :1{2diminue ;z1{2diminue ; la longueur de l"intervalle de confiance diminue. Ainsi,

plus plus le niveau de confiance (1) est petit, plus la longueur de l"intervalle de confiance est petite. Pour une

taille d"échantillon fixée, l"intervalle de confiance a d"autant plus de chances de contenir la moyenne que sa longueur

et le niveau de confiance sont grands.

Lorsquenaugmente :1{?ndiminue et la longueur de l"intervalle de confiance diminue. Ainsi, plus plus la taille

de l"échantillon est grande, plus la longueur de l"intervalle de confiance est petite. Pour un niveau de confiance fixé,

la taille de l"échantillon permet d"atteindre la précision voulue.

Le même raisonnement peut être mené avec un autre intervalle de confiance de la moyenne (variance inconnue et

taille d"échantillon petite, etc.). Exercice 8. (taille d"échantillon, niveau de confiance et longueur de l"intervalle) La variance du prix de l"once d"or calculée sur un grand nombre de valeurs vaut100e2. 1. M. Ito v eutconnaître le prix de l"once d"or a vecu neprécision de 2e. : prix moyen (à estimer) de l"once d"or sur l"ensemble des places où elle s"achète.

2100: variance des prix de l"once d"or sur l"ensemble des places.

1: niveau de confiance.

x: prix moyen de l"once d"or sur un échantillon denplaces. s

12: variance corrigée des prix de l"once observés sur lesnplaces.

n: taille de l"échantillon. 3

(a)Quelle doit être la taille de l"éc hantillonp ourqu"un in tervallede confiance à 95%donne cette précision ?

10;95. En supposant gaussienne la population des prix de l"once, la longueur de l"intervalle de

z

Un échantillon de385prix d"onces d"or doit être considéré pour que la précision de l"intervalle de confiance

estimantsoit inférieure ou égale à deux euros. (b)

Quel doit être le niv eaude confiance p ourqu"un éc hantillonde taille 225lui donne cette précision ?

n225. En supposant gaussienne la population des prix de l"once, la longueur de l"intervalle de l"intervalle

z

Le niveau de confiance doit être inférieur à0;86pour que les prix de l"once d"or observés sur225places

fournissent un intervalle de confiance ded"une précision inférieure à deux euros. 2.

P ourquoil"es timationdu prix mo yende l"once par in tervallede confiance n"est-elle pas une b onnemétho de?

Les intervalles de confiance dereposent tous sur une hypothèse minimale : les observations du prix de l"once

sont indépendantes. Si les observations consistent en une série temporelle (prix de l"once sur une même place au

fil des jours), on sait qu"elles ne sont pas indépendantes ; si les observations sont des relevés du prix de l"once un

même jour sur différentes places, elles ne sont pas non plus indépendantes. Ainsi, l"hypothèse d"indépendance

est un biais de modèle connu a priori qui risque de dégrader la qualité de l"intervalle de confiance (niveau de

confiance observé différent du niveau de confiance nominal/théorique).4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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