[PDF] Mathématiques Rappels sur les fonctions usuelles 1. Logarithme f





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La fonction Arctangente

Pour le calcul la calculatrice utilise l'algorithme CORDIC. Page 3. 5°) Valeurs remarquables. On utilise une lecture inverse du tableau des 



Chapitre V Fonctions arcsin arccos

http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf



Les-nombres-complexes.pdf

la tangente: Soit z=a+ib non nul. Si a>0. Alors de tan(?)=b/a avec la calculatrice ou le tableau des valeurs remarquables



Mathématiques Rappels sur les fonctions usuelles 1. Logarithme f

Valeurs remarquables : ? ln(1) = 0. ? ln(e) = 1 Autres propriétés remarquables : ... ?x ? R+ Arctan(x) ? x (comparaison à la tangente en 0).



Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

2 arctan (. 1. 3. ) Correction exercice 2. 1. 0 <. 1. 3. < 1 ? arctan(0) < arctan (. 1. 3. ) < arctan(1). Car arctan est strictement croissante donc.



CONCOURS A TB - 2020 Lépreuve de Calcul et Raisonnement de

fonction arctangente. même s'il avait oublié quelques valeurs remarquables de la fonction arctan – et qu'il ne parvenait pas `a les retrouver.



Fonctions trigonométriques inverses

Si ? est la valeur principale des fonction trigonométriques inverses impliquée alors arcsin(sin(?)) = ? arccos(cos(?)) = ? arctan(tan(?)) = ?.



Devoir de Mathématiques 2 : corrigé Exercice 1. Valeurs

Valeurs remarquables de cosinus sinus et tangente 2. f est la composée de arctan et g donnée par g(t) = sin(t). 1 ? cos(t). : f = arctan ?g.



Fonctions circulaires et applications r´eciproques

Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus cosinus et tangente Il faut prendre garde au fait que l'expression Arctan(tan?) est définie pour tout ...



fonctions-usuelles.pdf

f(x)=arcsin(x) g(x)=arccos(x) h(x)=arctan(x)?? a) Fonctions hyperboliques f(x)=sinh(x)g(x)=cosh(x) h(x)=tanh(x)? Sinus et cosinus : valeurs remarquables.



[PDF] La fonction Arctangente

On utilise une lecture inverse du tableau des valeurs remarquables Nous pouvons également obtenir les valeurs des arctangentes de (cf voir V) x 0 6



[PDF] Chapitre V Fonctions arcsin arccos arctan 1 Définitions 2 Propriétés

1 mar 2017 · On note arctan : R ? [??/2 ?/2] la fonction réciproque i e si x ? R alors y = arctanx ? tany = x ET ? ?/2



[PDF] Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

1 + tan2( ) = 2sin( ) cos( ) × cos2( ) = 2sin( )cos( ) = sin(2 ) 3 sin(2arctan( 1 3 )) = 2tan(arctan ( 1 3))



[PDF] Formulaire de trigonométrie 1 Fonctions trigonométriques - LPSM

On peut donner explicitement quelques valeurs remarquables : cos(0) = 1 ; cos (?6) = ?3 2; cos (?4) = ?2 2; cos (?3) = 1 2; cos (?2) = 0 On en déduit



[PDF] Les fonctions de référence

La fonction Arctan est impaire La démonstration de ce théorème est identique à la démonstration du théorème 14 page 21 Valeurs usuelles de la fonction 



[PDF] Chapitre bonus 1 : Trigonométrie - Julian Tugaut

Fonctions tangente et arctangente 4 Formules trigonométriques 5 Angles remarquables Elle est `a valeurs dans l'intervalle [?1; 1] Julian Tugaut



[PDF] Rappels de trigonométrie - Normale Sup

I 1 Valeurs particulières III 2 Les fonctions arccos arcsin arctan Dérivée : la fonction arcsin est dérivable sur ] ? 11[ et



[PDF] Les fonctions circulaires réciproques - MPSI - Camille Guerin

Remarquons que Arctan réciproque d'une fonction impaire est elle aussi impaire Voici quelques valeurs remarquables de la fonction Arctan x 0 ? 3 3



[PDF] Fonctions trigonométriques réciproques

[ arctan[tan(y)] = y 2) On a aussi : ?x?[-1 ;1] arcsin(-x) = -arcsin(x) et ?x 

  • Quel est la valeur de arctan ?

    La règle de la fonction arc tangente de base est f(x)=arctan(x). f ( x ) = arctan ? On note aussi cette fonction f(x)=tan?1(x). f ( x ) = tan ? 1 ?

  • Comment montrer que la fonction arctangente est impaire ?

    tan y x = - - . Arctan x y - = - . Arctan Arctan y y - = - . Il en résulte que la fonction Arctan est impaire.

  • Comment calculer les limites de arctan ?

    - Si ab < 1 alors cos(Arctan a + Arctan b) > 0 et donc (Arctan a + Arctanb )est compris entre -pi/2 et pi/2 .
  • Nous pouvons alors définir la fonction arctangente de la façon suivante. les asymptotes horizontales. En posant l'angle y=arctan(x), on cherche donc à simplifier l'expression cos(arctan(x))=cos(y). Ainsi, cos(arctan(x))=cos(y)=1?x2+1.

Lycée La Bruyère, Versailles2012/2013

ECS 2- Mathématiques

Rappels sur les fonctions usuelles

1.Logarithmef:xlnx

Définition :primitive dex1xsur]0,+[s"annulant en1

Domaine de définition :

]0,+[. Attention,ln(0)n"existe pas! En particulier,xlnxn"est pas définie, et encore moins continue en0: premez garde par exemple lors de la recherche des impropriétés d"une intégrale.

Dérivation :

fest de classe+sur]0,+[, xR, f(x) =1 x,xR,nN, f(n)(x) =(1)n+1xn.

Variations et limites :

x f (x) f(x)0

Propriétés de convexité :

lnestconcavesurR+

Inégalité de convexité classique

(comparaison à la tangente en1) : xR+,lnx?x1 Souvent réexprimée après changement de variable :x]1,[,ln(1 +x)?x

Courbe :

11

Valeurs remarquables :

ln(1) = 0 ln(e) = 1 limx0+ln(x) = limx+ln(x) = +.

Autres propriétés remarquables :

ln(ab) = ln(a) + ln(b),lnab= ln(a)ln(b)sia,b >0. ln(ax) =xln(a) ln(ex) =x,elnx=x

Comparaisons :

(lnx)α=o+(xβ),β >0 (lnx)α=o0 1 xβ ,β >0 lnx1x1, souvent réexpriméln(1 +x)0x.

DL en 0 :

ln(1 +x) =n k=1(1)k+1kxk+o(xn).

Développement en série (HP) :

x]1,1],ln(1 +x) =+ n=1(1)nnxn. 1

2.Exponentiellef:xexp(x) = ex

Définition :Réciproque deln.

Domaine de définition :

R.

Dérivation :

fest de classe+surR, xR, f(x) = ex,xR,nN, f(n)(x) = ex.

Variations et limites :

x f (x) f(x)+ 0

Propriétés de convexité :

expestconvexesurR+

Inégalité de convexité classique

(comparaison à la tangente en0) : xR,ex?x+ 1

Courbe :

11

Valeurs remarquables :

e0= 1 limxex= 0 limx+ex= +.

Autres propriétés remarquables :

ea+b= eaeb (ea)b= eab ln(ex) =x,elnx=x

Comparaisons :

xb=o+(ex),βR,(ln(x))b=o(ex). ex10x.

DL en 0 :

ex=nk=1x kk!+o(xn).

Développement en série :

xR,ex=+ n=0x nn!. 2

3.Sinusf:xsin(x)

Définition :Définition géométrique, ou par l"exponentielle complexe.

Domaine de définition :

R.

Dérivation :

fest de classe+surR, xR, f(x) = cos(x),xR,nN,f (2n)(x) = (1)nsin(x) f (2n+1)(x) = (1)ncos(x).

Symétries

:sinest2π-périodique et impaire.

Variations et limites :

(sur une période[π,π])sinn"admet pas de limite en+. x f (x) f(x)ππ

2π2π

0 11 0

Propriétés de convexité :

sinestconvexesur les intervalles[π,0] + 2kπetconcavesur les intervalles[0,π] + 2kπ

Inégalité de convexité classique

xR+,sinx?x(comparaison à la tangente en0par concavité sur[0,1], majoration dusinsix?1) xR,sinx?x(version symétrique) x[0,π

2],sinx?2xπ(comparaison à la corde).

Courbe :

1ππ2ππ21

Valeurs remarquables :

sin(0) = 0 sinπ

6= sin5π6=12;sinπ6= sin5π6=12

sinπ

4= sin3π4=

2

2;sinπ4= sin3π4=

2 2 sinπ

3= sin2π3=

3

2;sinπ3= sin2π3=

3 2 sinπ

2= sinπ2= 0

Autres propriétés remarquables :

1?sin(x)?1

Toutes les formules de trigonométrie(non rappelées ici)

Comparaisons :

sinest bornée sinx0x.

DL en 0 :

sin(x) =nk=0(1)kx2k+1(2k+ 1)!+o(x2n+2).

Développement en série (HP) :

xR,sin(x) =+ n=0(1)nx2n+1(2n+ 1)!xn. 3

4.Cosinusf:xcos(x)

Définition :Définition géométrique, ou par l"exponentielle complexe.

Domaine de définition :

R.

Dérivation :

fest de classe+surR, xR, f(x) =sin(x),xR,nN,f (2n)(x) = (1)ncos(x) f (2n+1)(x) = (1)n+1sin(x).

Symétries

:cosest2π-périodique et paire.

Variations et limites :

(sur une période[π,π]);cosn"admet pas de limite en+. x f (x) f(x)π0π 11 1

Propriétés de convexité :

cosestconvexesur les intervalles[π2,3π2] + 2kπetconcavesur les intervalles[π2,π2] + 2kπ

Inégalité de convexité classique

x[0,π

2],cosx?12xπ(comparaison à la corde)

Courbe :

1ππ2ππ21

Valeurs remarquables :

cos(0) = 1 cosπ

6= cosπ6=

3

2;cos5π6= cos5π6=

3 2 cosπ

4= cosπ4=

2

2;cos3π4= cos3π4=

2 2 cosπ

3= cosπ3=12;cos2π3= cos2π3=12

cosπ

2= 1;cosπ2=1

Autres propriétés remarquables :

1?cos(x)?1

Toutes les formules de trigonométrie(non rappelées ici)

Comparaisons :

cosest bornée cosx10x2 2.

DL en 0 :

cos(x) =n k=0(1)kx2k(2k)!+o(x2n+1).

Développement en série (HP) :

xR,cos(x) =+ n=0(1)nx2n(2n)!xn. 4

5.Tangentef:xtan(x)

Définition :Définition géométrique, ou par l"exponentielle complexe.

Domaine de définition :

R π2+kπ,kZ.

Dérivation :

fest de classe+surR, xR, f(x) =frac1cos2(x) = 1 + tan2(x)

Primitive :xlncosx.

Symétries

:tanestπ-périodique et impaire.

Variations et limites :

(sur une période[π2,π2]) x f (x) f(x)ππ

Propriétés de convexité :

tanestconvexesur les intervalles[0,π2] +kπetconcavesur les intervalles[π2,0] +kπ

Inégalité de convexité classique

x[0,π

2[,tan(x)?x(comparaison à la tangente en0)

x]π

2,0],tan(x)?x.

Courbe :

1π2π21

Valeurs remarquables :

tan(0) = 1 tanπ

6=tanπ6=13tanπ

4=tanπ4= 1

tanπ

3=cosπ3=3

lim x(π

2)+=,lim

x(π2)-= +

Autres propriétés remarquables :

Toutes les formules de trigonométrie(non rappelées ici)

Comparaisons :

tanx0x.

DL en 0 :

tan(x) =x+x33+215x5+o(x5)(pas de description générale) 5

6.Arctangentef:xArctan(x)

Définition :Réciproque detansur]π2,π2[.

Domaine de définition :

R.

Dérivation :

fest de classe+surR, xR, f(x) =1

1 +x2.

Symétries

:Arctanest impaire.

Variations et limites :

x f (x) f(x) 0+ 20+ 2

Propriétés de convexité :

ArctanestconvexesurRetconcavesurR+

Inégalité de convexité classique

xR+,Arctan(x)?x(comparaison à la tangente en0) xR,Arctan(x)?x.

Courbe :

1 2π 2 1

Valeurs remarquables :

limxArctan(x) =π2; limx+Arctan(x) =π2

Arctan(0) = 0

Arctan1

3 =π6; Arctan 13 =π6

Arctan(1) =π

4; Arctan(1) =π4

Arctan(

3) =π3Arctan(3) =π3Autres propriétés remarquables :

Arctanx+ Arctan1x=ε(x)π2.

xR,tan(Arctan(x)) =x x]π

2,π2[,Arctan(tan(x)) =x

x]π

2+kπ,π2+kπ[,Arctan(tan(x)) =xkπ.

Comparaisons :

Arctanest bornée

Arctanx0x.

DL en 0 (HP) :

Arctan(x) =nk=0(1)kx2k+12k+ 1+o(x2n+2).

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