[PDF] Fonctions trigonométriques inverses

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Chapitre 10

Fonctions trigonométriques inverses

10.1 Définition géométrique des f onctionstrigonométriques

inversesLes fonctions trigonométriques inverses sont les fonctions réciproques des fonctions trigono-

métriques. Elles permettent de résoudre des équations comportant des fonctions trigonomé-

triques.

Par exemple, si on veut résoudre

sin()=1 on trouve une infinité de solution : =2 ;2 +2;2 +4;::: Toutes ces solutions correspondent au même point dans le cercle trigo carP2 =P32 P52 =P92 =:::.P 2 1 La fonction arcsinus nous donne un de ces solutions, un des anglestels quesin()=1. Ce choix d"une solutions particulière parmis toutes les solutions possibles est nécessaire pour que arcsinus soit une fonction, car une fonction associe une seule valeur à une valeur donnée. On appelle cette valeur la"valeur principale». Ainsi, on peut dire qu"on peut résoudre l"équation initiale avec la fonction arcsinus : =arcsin(1)=2 Cette valeur principale est toujours choisie pour donner une solution utile quand on résout des équations dans un contexte géométrique, où les angles cherchés sont souvent dans l"intervalleh0;2 i. Afin de pouvoir évaluer une fonction trigonométrique inverse, il faut restreindre leur domaine aux valeurs obtenue en appliquant les fonctions trigonométriques correspondantes. Par exemple, comme1sin(x)1, la fonctionarcsin(x)ne peut pas être définie pour des valeurs hors de l"intervalle [1;1]. De plus, si on connait la valeur d"une fonction trigonométrique, il y a plusieurs angles diérent qui correspondent à cette valeur. Pour que la fonction trigonométrique inverse soit 193

une fonction, il faut choisir un seul de ces angles. Dans les définitions qui suivent, le choix de

cet angles est toujours fait dans la partie du cercle trigonométrique indiquée en"traitillés».

Pour que les solutions soient géométriquement utiles, ce choix inclue toujours les angles dans le premier quadrant, c"est à dire tels que02et est prolongé de manière avoir une une valeur principale unique.Définition 10.1. Les fonctions trigonométriques inverses sont définies par les équiva- lences suivantes. Les valeurs de ces fonctions sont choisies dans l"intervalle donné pour ; on appelle cette valeur lavaleur principale. a) arcsin (y)=()sin()=y, avec=2=2,1y1y b) arccos( x)=()cos()=x, avec 0et1x1x c) arctan (s)=()sec()=s, avec0,,=2ets1 ous 1.s=sec()f)arccosec (c)=()csc()=c,avec=2=2,,0y=csc()194 Remarque 10.1.Ne pas confondre les fonction trigonométriques inverses et les inverses de ces fonctions! Par exemple, arcsin(x),1sin(x)=csc(x): Cette confusion est fréquente pour deux raisons : 1. l"expression"fonction inverse»est synonyme de"fonction réciproque». En général, la fonction réciproque de la fonctionf(x) n"est pas1f(x). 2. l"utilisation de la notationsin1(x), notamment sur certaines calculatrices, peut laisser penser que sin

1(x)=1sin(x)(Faux!)

mais ce n"est pas le cas. Cette notation est utilisée pour dénoter"la fonction

réciproque de sin»qui est arcsin et non pas"l"inverse de sin(x) qui est1sin(x).Exemple 10.1.Déteminer arccos12

Par définition

arccos 12 =()cos()=12 Commecos()=12, la coordonnée enxdu pointP()doit être12. On se trouve donc dans la situation suivante : il y a deux anglessatisfaisant cette relation, angle correspodant aux pointsAetBde la figure suivante.A B1 2 Comme l"anglecorrespondant au pointBn"est pas la valeur principale conventionnelle pourarccos, la solution est l"angle correspondant au pointA. Comme le côté de longueur 12 correspond au côté d"un des triangles remarquables, ont doit avoir=3 .Proposition 10.1. sin(arcsin(y))=y cos(arccos(x))=x tan(arctan(p))=p ::195 Siest la valeur principale des fonction trigonométriques inverses impliquée, alors arcsin(sin())= arccos(cos())= arctan(tan())= ::Exemple 10.2. sin arcsin 12 =sin6 =12 arcsin sin6 =arcsin 12 =6 arcsin sin 23 =arcsin0BBBB@p3 2 1

CCCCA=3Onpeutvoirpourquoiarcsinsin23

,23danslecercletrigo.Commesin23 =sin3 p3 2 , la valeur de arcsin p3 2 est la valeur principale et est 3 .P 3 P 23

Ansi, on a que arcsin

sin23 ,23 .Exemple 10.3. Sachant que=arccos(1=2), trouver les valeurs de toutes les fonctions trigonométriques. Solution : commecos()doit être1=2, on peut supposer queest un angle dans le triangle suivant (car les valeurs des fonctions trigonométriques restent les même si on change l"échelle d"un triangle.)12 Comme le triangle est rectangle, on peut trouver la mesure du côté manquant à l"aide du théorème de Pythagore.1p32 À l"aide de ce triangle, on trouve les valeurs des autres fonction trigonométriques : 196

ˆsin()=p3

2 =p3

ˆtan()=p3

1 =p3

ˆsec()=21

=2

ˆcsc()=2p3

ˆcot()=1p3

10.2 Graphe des f onctionstrigonométriques in verses 11 2 2 xarcsin(x)11 2 xarccos(x) 2 2 xarctan(x) 2 xarccotan(x)11 2 xarcsec(x)11 2 xarccosec(x)10.3Limites des f onctionstrigonométriques in verses Hypothèse 10.1.Les fonctions trigonométriques inverses sont continues partout où elles sont définies. Les deux limites suivantes sont souvent utilisés en pratique.Proposition 10.2. lim x!1arctan(x)=2 lim x!1arctan(x)=2 197

10.4Déri vationdes f onctionstrigonométriques in verses

Proposition 10.3.Dérivée des fonctions trigonométriques inverses. (a) arcsin(x)

0=1p1x2

(b)arccos(x)

0=1p1x2

(c)arctan(x) 0=1x

2+1(d)

arcctg(x) 0=1x 2+1 (e)asec(x) 0=1x px 21
(f)arccosec(x) 0=1x px

21Démonstration.Toutes ces preuves se font en utilisant la dérivation implicite et des identités trigonométriques

et la proposition 10.1. On suppose quexest dans le domaine des fonctions impliquées. On utilise aussi les identités de Pythagore suivantes : sin

2(x)+cos2(x)=1 sec2(x)=tan2(x)+1 csc2(x)=cotan2(x)+1:

(a) Preuve de arcsin(x)

0=1p1x2:

sin arcsin(x)=xsinarcsin(x)0=(x)0 cos arcsin(x)arcsin(x) 0=1 arcsin(x)

0=1cos(arcsin(x))arcsin(x)

0=1q

1sin2(arcsin(x))

arcsin(x) 0=1q

1(sin(arcsin(x)))2

arcsin(x)

0=1p1x2

(c) Preuve de arctan(x) 0=1x 2+1: tan arctan(x)=xtanarctan(x)0=(x)0 sec

2arctan(x)asec(x)

0=1 arctan(x)

0=1sec

2(arctan(x))arctan(x)

0=11+tan2(arctan(x))arctan(x)

0=11+x2

198
(e) Preuve de asec(x) 0=1x px 21:
sec asec(x)=xsecasec(x)0=(x)0 sec asec(x)tanasec(x)asec(x) 0=1 asec(x)

0=1sec(asec(x))tan(asec(x))asec(x)

0=1x psec

2(asec(x))1

asec(x) 0=1x px

21Les autres preuves sont laissées en exercice. On utilise la dérivation implicite et les identités

de Pythagore de manière similaire aux trois preuves données.

Note 10.1.

Dans les preuves qui précèdent, on utilise les identités liant les fonctions trigono- métriques inverses avec leur fonction trigonométriques correspondantes : sin(arcsin(x))=xtan(arctan(x))=x Si ont met au carré chaque membre de ces identités, on obtient : sin

2(arcsin(x))=(sin(arcsin(x)))2=x2tan2(arctan(x))=x2Exemple 10.4.

arcsin(2x)

0=1p1(2x)2)2x

0

2p14x2Exemple 10.5.

arccosx30=1p1(x3)2x30

1p1(x3)23x2

=3x2p1x6199

Exemple 10.6.

arctan(sin(x))

0=1sin

2(x)+1sin(x)

0 1sin

2(x)+1cos(x)

cos(x)sin

2(x)+1Exemple 10.7.

arctan(x)130=13arctan(x)121x

2+1=13arctan(x)12x

2+1

Note : arctan(x)13=arctan(x)

13et non pas"arctanx13.»Exemple 10.8.

arcsec(x=2)0=10

BBBBB@x2

1

CCCCCA2

vt0

BBBBB@x2

1

CCCCCA2

1= 2x qx 22
1=8x px

21Exemple 10.9.

parctan(x)0=12 parctan(x)arctan(x) 0 12 parctan(x)11+x2Exemple 10.10.Trouvons les extrémums def(x)=arctan(x312x).

La dérivée defest

f

0(x)=1(x312x)2+1(3x212)=3(x24)(x312x)2+1=3(x2)(x+2)(x312x)2+1:La dérivée s"annule quandx=2oux=2. Le numérateur(x312x)2+1étant toujours

plus grand que 1, il ne s"annule jamais,

Les valeurs critiques sont donc 2 et2.

On peut faire un tableau de signe de la dérivée x-2 2 f

0(x)+0 - 0+

f(x)%MAX&MIN% On conclue donc quefa un maximum enx=2 et un minimum enx=2.

Note : on choisit ici de faire un tableau de signe plutôt que d"utiliser le test de la dérivée

seconde, car la simplification de dérivée seconde plus complexe que la détermination des200 signes de la dérivée!

Exemple 10.11.Analyser la fonctionf(x)=arcsin(x).

La dérivée première est

f

0(x)=1p1x2

La dérivée seconde est

f

00(x)=xp(1x2)3Valeurs critiques def0:f0(x)non défini pourx1oux 1.f0(x)n"est jamais nul (car

la fonction racine carrée, si elle est définie, donne toujours un résultat positif.) Comme il y a division par0possible dans la dérivée enx=1, on vérifie si la dérivée tend vers1pour déterminer s"il y a un tangente verticale. lim x!1+f0(x)=limx!1+1p1x2=10 +=1 lim x!1f0(x)=limx!11p1x2=10 +=1

Valeurs critiques def00:

f

00(x)=0 six=0.f00(x) est non-défini pourx1 oux 1.

Tableau de variation :

x-1 0 1 f

0(x)1+ + +1

f

00(x)@- 0+@

f(x)TVINFTV

Graphe de la fonctionf(x)=arcsin(x).11

2 2 xarcsin(x)201quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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