[PDF] CONCOURS A TB - 2020 Lépreuve de Calcul et Raisonnement de

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CONCOURS A TB - 2020

RAPPORT DE L"´EPREUVE´ECRITE DE M´ETHODES DE CALCUL ET RAISONNEMENTL" ´epreuve de Calcul et Raisonnement de la session 2020 est compos´ee de trois exercices ind

´ependants les uns des autres, et se voulant chacun de difficult´e progressive : Alg`ebre, Analyse,

puis Probabilit ´es. Ce d´ecoupage correspond`a celui du programme, avec un cloisement net des th `emes pour cette session.

Le premier exercice

´etudie les matrices de rotations en dimension 2, de la forme M a=cos(a)sin(a) sin(a) cos(a)

Les premi

`eres questions sont´el´ementaires et demandent au candidat une connaissance mi- nimale des formules associ ´ees au cercle trigonom´etrique. Sont ensuite´etudi´es les´el´ements propres deMaet sa propri´et´e de conservation de la norme euclidienne. La formulecos2a+sin2a=

1n"´etant pas rappel´ee, quelques candidats ont puˆetre gˆen´es`a ce moment. Ignorer cette for-

mule n"emp ˆechait pas de progresser dans la suite de l"exercice : des difficult´es techniques plus g

ˆenantes pour les candidats r´esidaient dans la manipulation de nombres complexes pour factori-

ser ou d ´evelopper un polynˆome du second degr´e, puis pour en d´eterminer les racines. 1

Globalement cet exercice a

´et´e moyennement bien r´eussi comparativement aux autres ann´ees.

Outre les raisons techniques cit

´ees plus haut (nombres complexes, trigonom´etrie), une explication possible pourrait ˆetre que certains candidats connaissent leur exercice de r´eduction-type quasi- ment par coeur, mais ont peut- ˆetre parfois trop essay´e de le calquer tel quel. Cette approche ne fonctionnait pas tr `es bien avec l"´enonc´e d"alg`ebre de cette session : la d´emarche´etait un peu diff ´erente, et en particulier l"enchaˆınement des questions.

Dans l"exercice d"analyse, on

´etablit le r´esultat suivant :

8x >0 arctanx+ arctan(1x

) =2 Ce r

´esultat permet alors :

d"une par tde pr ´eciser l"´enonc´e classique :siIest un intervalle deRetuune fonction d ´efinie et d´erivable surI, telle queu0(x) = 0pour tout r´eelxdeI, alorsuest constante sur I.On manipule cet´enonc´e, puis on construit un contre-exemple dans le cas o`uIn"est plus un intervalle. d"autre par tde donner un ´equivalent de la suite de terme g´en´eral2 arctan(n).

Les premi

`eres questions, de cours, constituent une premi`ere´evaluation de la connaissance de la fonction arctangente. Elles ne sont pas incontournables pour la suite, et un candidat pouvait donc obtenir une bonne note `a cet exercice, mˆeme s"il avait oubli´e quelques valeurs remarquables de la fonctionarctan- et qu"il ne parvenait pas`a les retrouver. Ensuite viennent des calculs classiques de d

´eriv´ees :`a nouveau une s´erie de questions classiques et tr`es discriminantes. On distingue

ainsi tr `es facilement les candidats de niveau acceptable (sachant d´eriver une fonction) de ceux dont le niveau est beaucoup plus faible. Les questions suivantes sont plus difficiles, et permettent de distinguer les meilleurs candidats. Ce deuxi `eme exercice a´et´e, sans surprise, le plus s´electif des trois.

Le dernier exercice (probabilit

´es) est aussi le plus long. Il´etudie quelques cas particuliers simples d"un probl `eme classique :Etant donn´ekobjets dispos´es al´eatoirement dansnboites, quelle est la loi du nombre de boites rest

´ees vides?

Cet exercice est beaucoup plus guid

´e, et mˆeme les questions difficiles sont r´edig´ees de fac¸on a ce que chacun puisse les traiter au moins partiellement. On y rencontre de nombreuses notions de probabilit

´es discr`etes dans un cadre fini : probabilit´es d"´ev´enements, ind´ependance, incompa-

tibilit ´e deux`a deux, reconnaissance de lois classiques, esp´erance... Cela permet`a des candidats de niveaux tr `es divers de montrer leurs capacit´es en probabilit´es. Les notes y sont meilleures, mais avec de grands

´ecarts entre candidats.

Le sujet a donc permis de d

´epartager les candidats en proposant une vari´et´e de questions couvrant tout le programme, dont de nombreuses questions "d

´ej`a vues avec le professeur" qu"il

fallait (re)conna

ˆıtre puis r´esoudre.

F

´elicitons enfintousles candidats pour avoir r´eussi`a se pr´eparer`a l"´epreuve en cette ann´ee

tr

`es particuli`ere marqu´ee sous le signe de l"urgence sanitaire. Distanciation sociale, confinement

et d

´ecalage des´epreuves de concours ne les ont apparemment pas d´ecourag´es de r´eviser avec

energie et d´etermination. Nous craignions de rencontrer des copies enti`erement vides mais cela n"a pas

´et´e le cas.

Les remarques des rapports pr

´ec´edents s"appliquent encore, et les candidats sont donc invit´es a les consulter. Suit maintenant une analyse question par question du sujet. 2

Exercice d"Alg

`ebre1.Deux questions simples et tr `es largement r´eussies. Elles visent davantage`a mettre les candidats en confiance qu" `a les s´electionner. Une quinzaine de copies n"obtient n´eanmoins aucune bonne r ´eponse; ces copies s"av`ereront souvent les plus faibles par la suite. 2. Premi `eres propri´et´es. (a) Le d ´eterminant deMaest souvent bien calcul´e, mais le lien avec la bijectivit´e et le noyau pose parfois probl `eme. Moins de 40 candidats obtiennent la totalit´e des points ici. (b)

Question parf aitementbien tr ait

´ee par 50% des candidats.

(c) Prouv erque le v ecteurfa((x;y))et le vecteur(x;y)avaient la mˆeme norme, n´ecessitait de mener avec patience le calcul. Une cinquantaine de candidats y arrivent. Attention `a la tentation de conclure `a tout prix qui produit souvent des erreurs telles quepa+b=pa+pb. (d) Probab lementl"une des questions les plus difficiles du sujet, et en cons

´equence l"une

des plus mal r ´esolue. Il faut`a la fois accepter l"abstraction de l"´enonc´e (beaucoup de lettres), en d ´ecortiquer la formulation logique (d"o`u part-on, que veut-on prouver?), et mettre en oeuvre des calculs relativement complexes dans la d

´emonstration. Seules

deux copies obtiennent la totalit

´e des points ici.

3. (a) On pr ´ecisait que les coefficientsetdevaientˆetrer´eels. Le coefficient= 1est souvent rep ´er´e (deux tiers des copies), mais les candidats ne pensent pas tous`a la formule d"Euler pour simplifier= cosa.

Plusieurs candidats remarquent bien que=eia+eia2

, mais ne voient pas queest r

´eel.

(b)

Le calcul du d

´eterminant est souvent bien men´e, et la factorisation souvent bien reli´ee a la question pr´ec´edente. (c) Pr `es de 50 candidats obtiennent la totalit´e des points. Concernant les autres, un´ecueil fr ´equent`a signaler. Ils voient assez souvent le lien avec le d´eterminant (environ 80 copies); mais ils perdent apparemment de vue que les deux questions pr

´ec´edentes

(qu"ils viennent juste de traiter!) servaient `a factoriser le d´eterminant pour faciliter la r

´esolution de l"´equationdet(Ma) = 0.

(d)

On attendait l"e xplicitationla plus compl

`ete possible du lien entre "ˆetre valeur propre" et "annuler le d ´eterminant". Souvent les candidats ne reviennent pas`a la d´efinition, mais une partie des points sont accord

´es.

4.

Les candidats trouv ent,parf oistr

`es laborieusement, le spectre de la matrice5 2 04 A ce propos : beaucoup r ´esolvent l"´equation produit(5)(4) = 0enred´eveloppantau lieu d"utiliser l" ´equation produit. C"est juste mais sous-optimal. 5. La re lationMa+b=MaMbest correctement prouv´ee dans pr`es de 90 copies;`a noter qu"un candidat qui avait un doute sur certaines des formules de trigonom

´etrie pouvait´eventuellement

se r

´e-assurer ici.

6.

Question difficile pour s

´electionner entre les meilleurs des candidats. A noter que 16 copies utilisent la question pr ´ec´edente pour trouver la relationMna=Mna, et que parmi celles-ci seules 6 en d ´eduisent les solutions de l"´equation (avec un peu d"indulgence du correcteur sur la formulation du r

´esultat).

3

Exercice d"Analyse

1.

Question simple tr

`es discriminante. Une quarantaine de copies donne les bonnes r´eponses, et une quarantaine ne conna

ˆıt aucune des valeurs demand´ees.

2. M ˆeme remarque. Parmi les erreurs on lit souventlim+1arctan = +1 3.

Question souv entbien tr ait

´ee (90 copies environ). La totalit´e des points n"´etait accord´ee que lorsque la simplification1x 211 +
1x

2=11 +x2´etait effectu´ee.

4.

Questio nqui redoub lequasiment la pr

´ec´edente.

5.

La major it

´e des candidats identifient bien la fonction`a d´eriver et prouvent qu"elle est constante. Ils ne font cependant pas explicitement le lien avec l"

´enonc´e plus haut, ou ne v´erifient pas

qu"ils travaillent sur un intervalle. En effet comme l"indiquait la mentionon pr´ecisera soi- gneusement les th ´eor`emes employ´es, il fallait pr´eciser qu"on utilisait le th´eor`eme rappel´e en d ´ebut de sujet, et en v´erifier toutes les hypoth`eses.

On voit aussi

`a cette occasion l"invention de nouvelles formules telle que :arctan(a) + arctan(b) = arctan(ab) 6.

Les candidats ont bien s

ˆu intuiter la valeur2

, ce qui est d´ej`a r´ecompens´e. La justification n"est pas toujours tr `es rigoureuse cependant. 7. Question difficile .La constr uctionr igoureusedu contre-e xempler apportaittous les points , mais une remarque structur ´ee et t´emoignant d"une certaine intelligence du probl`eme en rapportait d ´ej`a la moiti´e. Une dizaine de candidats obtiennent des points`a cette question. 8. Un nombre relativ ementimpor tantde candidats (35) identifient le taux d"accroissement, et prouvent que arctan(x)arctan(0)x0!1. 9.

Question bien tr ait

´ee par une quinzaine de candidats seulement : le changement de variable a partir de la question pr´ec´edente s"est av´er´e difficile . 10.

Une quar antainede candidats par viennent

`a marquer des points sur cette question plutˆot difficile.

A noter qu"un point

´etait d´ej`a accord´e pour le simple fait d"´ecrire la relation2 arctan(n) = arctan( 1n

Exercice de Probabilit

´es1. Cas simplifi

´e o`u il n"y a que deux urnes1.Question classique de reconnaissance de loi, r

´eussie par plus de 110 candidats; attention

a bien pr´eciser lesparam`etresde la loi binomiale. 2.

On demandait d"e xprimer,

`a l"aide de la variable al´eatoire r´eelleX, l"´ev´enementL"urne aest vide. Il s"agissait de simple "traduction", et on ne demandait pas de calculer une probabilit

´e ici. Environ 120 candidats y parviennent.

3.

Donner la probabilit

´e de l"´ev´enementL"une des deux urnes est viden´ecessitait une formalisation pr

´ecise :

P(Il y a une urne vide)=P(Va[Vb)=P(Va) +P(Vb)P(Va\Vb)=212 50=12
4

On attendait enfin la simplification

22
5=116 4

2. Probabilit

´e qu"une urne donn´ee soit vide1.Cer tainscandidats conf ondentl"

´ev´enementEiavec son compl´ementaire.

2.

Question tr

`es bien r´eussie, mais les symboles d"intersection et d"union sont parfois confon- dus pour connecter les ´ev´enementsE1;E2;E3;E4etE5. Dans ce cas de figure, seule la moiti

´e des points est alors attribu´ee.

3.

La m ultiplicationdes probabilit

´es est souvent trouv´ee, mais le motind´ependancesouvent absent.

3. Calcul deP(N= 2)etP(N= 3).1.G

´en´eralement bien comprise et trait´ee correctement. Erreurs rencontr´ees : "l"´ev´enement

(N= 3)est impossible, donc on ne peut pas calculer sa probabilit´e"; "on aP(N= 3) =;". 2.

Sauf 15 copies ,les candidats par viennent

`a traduire l"´ev´enementV a\Vb\Vcen franc¸ais; par contre le calcul de sa probabilit ´e n"aboutit pas souvent (37 copies seulement), certains candidats imaginant `a tort que les´ev´enementsVa;Vb;Vcsont ind´ependants. Dans cette deuxi `eme partie de la question, nous avons choisi d"accorder tous les points lorsque la r ´eponse´etait juste, sans plus de pr´ecision. 3.

Bien tr ait

´e dans la plupart des cas (105 copies) : l"´ecriture(N= 2) = (V a\Vb\Vc)[(Va\V b\Vc)[(Va\Vb\V c), ainsi qu"un passage correct`a la probabilit´e.

Rarement bien men

´ee (23 copies seulement) : la suite des calculs. Celle-ci fait en effet appel

`a la question pr´ec´edente, et ne rapportait aucun point si le r´esultat de celle-ci´etait

fausse. Rappelons `a ce propos que les candidats devraient faire attention`a ces questions "carrefour" dont le r ´esultat d´etermine la suite de tout un exercice ou de toute une partie d"exercice.

4. Esp

´erance deN1.La loi de Ber noulliest souv entreconn ue,r appelonsqu"il f autaussi donner son par am

`etre. 2.

Expression corr ectetrouv

´ee par la moiti´e des candidats. Parmi les erreurs fr´equentes, on rencontre, ici comme ailleurs dans l"exercice, des erreurs de typage telles que :N=Za\ Z b\Zc. 3.

L "esp

´erance deNest souvent bien calcul´ee.

5. Loi deNCette partie a

´et´e correctement trait´ee par un cinquantaine de candidats. 1. Une trentaine de candidats remarquent bien que la quantit

´eP(N= 1) + 2P(N= 2)est en

fait l"esp

´erance deN.

2.

Les points n"

´etaient attribu´es que si le calcul deP(N= 2)(effectu´e lors de la question 3.3) ´etait juste. Cette question "r´ecompense" donc en grande partie les candidats ayant largement avanc

´e dans l"exercice.

3. Il s"agissait de se rendre compte que 0´etait une valeur possible pourN, et qu"il´etait n

´ecessaire de calculerP(N= 0).

La m ´ethode attendue´etait d"utiliser la relationP(N= 0) = 1P(N= 1)P(N= 2). 5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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