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Continuité uniforme

Samuel Rochetin

Jeudi 20 octobre 2016

Résumé

Le but de ce document est de présenter la notion de continuité uniforme à l"aide d"exemples classiques, dans le cadre des fonctions réelles d"une variable réelle. Ainsi,Idésignera un intervalle réel etfune fonction définie surIà valeurs réelles.

1 Définition

Définition 1.On dit quefest uniformément continue surIsi8" >

0;9 >0;8(x;y)2I2;jxyj =) jf(x)f(y)j ":

Remarque 1.funiformément continue surI=)fcontinue surI. C"est immédiat mais la réciproque est fausse, comme le montre l"exemple 4. La continuité uniforme est une notion plus forte que la continuité puisque la fonction a la même régularité partout :"ne dépend pas du couple(x;y). Remarque 2(Interprétation graphique).Autrement dit, pour"fixé, on peut trouvertel qu"en avançant au plus deen abscisses, la fonction monte ou descend au plus de"en ordonnées, et ce partout sur la courbe.

La courbe ne peut donc pas être trop abrupte.

2 Exemples

Exemple 1.x7!sinxest uniformément continue surR.

Démonstration.Soit" >0.

8(x;y)2R2;jsinxsinyj= 2cosx+y2

sinxy2

2sinxy2

jxyj Nous avons utilisé une formule de trigonométrie (transformation de somme en produit) et les majorations8t2R;jcostj 1puis8t2R;jsintj jtj.

Posons:=". Ainsi :

8(x;y)2R2;jxyj =) jsinxsinyj jxyj

1 Exemple 2.x7!sinpxest uniformément continue sur[1;+1[. Démonstration.La majoration de l"exemple 1, l"utilisation de la quantité conjuguée, la croissance de la fonction carré et le fait que l"intervalle soit minoré par1donnent :

8(x;y)2[1;+1[2;sinpxsinpy

pxpy jxyjpx+py jxyj2 Il suffit de poser:= 2"pour conclure.Exemple 3.x7!pxest uniformément continue surR+.

Démonstration.Le quotientjxyjpx+py

n"est pas défini en(0;0)donc la méthode de l"exemple 2 ne s"applique pas. Cependant, une autre iden- tité remarquable donne8(x;y)2(R+)2;pxpy

2=x+y2pxy.

Supposons quexy. Il vient :

pxpy ()xpxy () 2pxy 2x pxpy 2yx pxpy

2 jxyj

Or, les expressions

pxpy

2etjxyjsont invariantes si on échange

xetydonc cette dernière inégalité est vraie pour tout(x;y)2(R+)2.

Enfin,8t2R;pt

2=jtjdonc8(x;y)2(R+)2;pxpy

pjxyj. Il suffit de poser:="2pour conclure.Exemple 4.x7!x2n"est pas uniformément continue surR. Démonstration.Supposons que la fonction carrée soit uniformément conti- nue surR. Soit"= 1. Il existe donc >0tel que pour tout(x;y)2 R

2;jxyj =)x2y21. En particulier, pour toutx2Ret

y=x+, nous avonsjxyj etx2y2=j+ 2xj !x!+1+1.

Contradiction.Exemple 5.x7!1x

n"est pas uniformément continue sur]0;1]. Solution.Supposons que la fonction inverse soit uniformément continue sur]0;1]. Soit"= 1. Il existe >0tel que pour tout(x;y)2]0;1]2;jx yj =)1x 1y

1. En particulier, pour toutx2]0;1]ety=x+2

]0;1], nous avonsjxyj et1x 1y =jxyjxy =xy x !x!0+1.

Contradiction.2

3 Exercices

Exercice 1.Soitf: [0;1[!Runiformément continue. Montrer quef est bornée. Solution.Soit" >0. Il existe donc >0tel que pour tout(x;y)2 [0;1[

2;jxyj =) jf(x)f(y)j ". Puisquefest uniformément

continue sur[0;1]donc continue sur un segment,fest bornée par un certainM >0sur[0;1]. Soitx2]1;1[. Nous avonsjx(1)j= x1 +doncjf(x)j jf(1)j jf(x)f(1)j ", donc jf(x)j "+jf(1)j. Doncfest bornée par"+jf(1)jsur]1;1[.

Doncfest bornée parmaxfM;"+jf(1)jgsur[0;1[.Exercice 2.Soitf:R+!Runiformément continue. Montrer qu"il

existe deux réels positifsa;btels que pour toutx2R+;jf(x)j ax+b. Solution.Soit" >0. Il existe donc >0tel que pour tout(x;y)2 (R+)2;jxyj =) jf(x)f(y)j ". Il existe un entiern >

0tel que(n1)xn(il suffit de posern=x

+ 1). Nous avonsjf(x)j jf(0)j jf(x)f(0)j=n P k=1fkxn f(k1)xn n P k=1 fkxn f(k1)xn nP k=1"=n". En effet, pour tout entier k2J1;nK;kxn (k1)xn =xn . Or,(n1)x()n x +1()n"" x+". Donc pour toutx2R+;jf(x)j " x+"+jf(0)j.

Il suffit de posera="

etb="+jf(0)j.Exercice 3.Soitf:R+!Runiformément continue, telle que8x >

0;f(nx)!n!+10. Montrer quefconverge vers0en+1.

Solution n

1.funiformément continue donc8 >0;9 >0;8(x;y)2

(R+)2;jxyj =) jf(x)f(y)j . Tout segment de longueurx0>0 se partage enx0 segments de longueuret9k2N;kx0 k+ 1. Soit " >0. Nous choisissonsx0suffisamment petit pour obtenirk+ 1"2.

Nous avonsf(nx0)!n!+10donc9N2N;nN=) jf(nx0)j "2

SoitxNx0. Nous avons l"existence d"un entierqtel queNx0qx0 x(q+ 1)x0. Le nombre de bonds depour rejoindrexdepuisqx0est majoré park+1, doncjf(x)j jf(qx0)j+(k+1)"(c"est un peu l"idée de l"exercice 2 : en faisant des bonds de, les variations de la fonction restent contrôlées).Solution n

2.Nous pouvons améliorer la solution précédente en choisis-

sant dès le départx0=: les bonds denous amènent suffisamment près de n"importe quelxvia la suite(n). Nous avonsfuniformément conti- nue donc8" >0;9;8(x;y)2(R+)2;jxyj =) jf(x)f(y)j "2 3

Nous avonsf(n)!n!+10donc9N2N;nN=) jf(n)j "2

. Soit xN. Soitm=x . Nous avonsNmx(m+ 1)donc jxmj doncjf(x)j=jf(m) +f(x)f(m)j jf(m)j+jf(x) f(m)j "2 +"2 =".Remarque 3.La condition8x >0de l"exercice 3 est extrêmement forte et joue un rôle important. En effet, considérons la fonction sinus, qui ne converge pas. D"après l"exemple 1, nous savons qu"elle est uniformément continue surR. Pourx0=, nous avonssin(nx0) = 0!n!+10, mais pourx1=2 , le termesin(nx1)ne tend pas vers0.

4 Caractérisation séquentielle

Proposition 1(Critère séquentiel).fest uniformément continue si et seulement si pour toutes suitesun;vn,unvn!+10 =)f(un) f(vn)!+10. Démonstration.Supposonsfuniformément continue. Soit" >0. Il existe >0;junvnj =) jf(un)f(vn)j ". Soientun;vndeux suites telles queunvn!+10. Alors8 >0;9N0;nN=) junvnj . En particulier pour=. Donc il existeN0tel que jf(un)f(vn)j ". Doncf(un)f(vn)!+10. Par contraposée, supposons fnon uniformément continue. Donc9" >0;8 >0;9(x;y)2I2;jxyj etjf(x)f(y)j> ". En particulier, pour=1n , oùn2N. Nous construisons ainsi deux suitesun;vntelles que8n2N;junvnj 1n (doncunvn!+10) etjf(un)f(vn)j> "(doncf(un)f(vn)6! +10).Remarque 4.Une utilité de la proposition 1 est le calcul de certaines limites de suites, comme le montre l"exemple 6.

Exemple 6.Soitun=plnnoùn1. On aun+1un!+10.

Solution.Posonsvn:= lnn. Nous avonsvn+1vn= ln

1 +1n +10. D"après l"exemple 3, la fonction racine carrée est uniformément continue surR+etvn0doncun+1un=pv n+1pv n!+10.Remarque 5.En pratique, la proposition 1 permet de montrer simple- ment qu"une fonction n"est pas uniformément continue (de même que le critère séquentiel des limites de fonctions permet de montrer qu"une fonc- tion n"admet pas de limite). Exemple 7.x7!x2n"est pas uniformément continue surR. 4

Solution.Posonsun:=n+1n

;vn:=n. Alorsjunvnj=1n !+10mais u2nv2n= 2+1n

2>2doncu2nv2n6!

+10. D"après la proposition 1, la

fonction carrée n"est pas uniformément continue surR.Remarque 6.Graphiquement, la proposition 1 traduit le fait que si deux

points quelconques sont proches, leurs images par une fonction uniformé- ment continue le sont aussi. Ainsi, une fonction qui oscille trop vite ne peut pas être uniformément continue, comme le montre l"exercice 4. Exercice 4.Montrer que la fonctionx7!sinx2n"est pas uniformément continue surR. Solution.La représentation graphique de la fonction montre que sa fré- quence d"oscillation devient de plus en plus élevée loin de l"origine. Il semble donc naturel que la fonction ne soit pas uniformément continue.Posonsun:=p2n;vn:=r 2 + 2n. junvnj=2p2n+r 2 + 2n! +10maissinu2nsinv2n= 1donc sinu2nsinv2n6! +10. D"après la proposition 1, la fonctionx7!sinx2

n"est pas uniformément continue surR.Exercice 5.Montrer quex7!lnxn"est pas uniformément continue sur

R

Solution n

1.Supposons que la fonction logarithme népérien soit uni-

formément continue surR+. Soit"= 1. Il existe donc >0tel que 5 pour tout(x;y)2(R+)2;jxyj =) jlnxlnyj 1. En par- ticulier, pour touty2R+etx=y+, nous avonsjxyj et jlnxlnyj= ln 1 +y y!0+1. Contradiction.Solution n

2.Si nous cherchons deux suitesun;vnde même limitel6= 0, il

vientjlnunlnvnj=lnunv n !+10et cela n"apporte pas la contradiction souhaitée. Nous cherchons donc deux suites de limite nulle. Posonsun=1n +1n

2;vn=1n

2. Nous avonsjunvnj=1n

!+10maisjlnunlnvnj= jln(n+ 1)j 6! +10.5 Lien avec les fonctions lipschitziennes Définition 2.On dit quefestk-lipschitzienne surIsi9k >0;8(x;y)2 I

2;jf(x)f(y)j kjxyj.

Remarque 7(Interprétation graphique).Autrement dit, le coefficient directeur de toute sécante coupant deux fois la courbe est compris entre ketk; on peut donc déplacer le long de la courbe un cône qui ne coupe la courbe qu"en son sommet. Pluskest petit, plus le demi-angle au sommet du cône s"élargit et moins la fonction peut être abrupte. C"est donc une notion plus restrictive que la continuité uniforme en termes de régularité. Exercice 6.Montrer quex7!arctanxest lipschitzienne surR. Solution.8(x;y)2R2;x < y;x7!arctanxest continue sur[x;y]et dérivable sur]x;y[donc d"après le théorème des accroissements finis,9c2 ]x;y[;jarctanxarctanyj=11 +c2jxyj jxyj. Doncx7!arctanx

est1-lipschitzienne surR.Exercice 7.Montrer que la fonction racine carrée n"est pas lipschitzienne

surR+. Solution.Supposons qu"il existek >0telle que la fonction racine carrée soitk-lipschitzienne surR+. Alors8(x;y)2I2;jf(x)f(y)j kjxyj.

En particulier, pourx=1n

2, oùn2N, ety= 0, il vientnkpour tout

n2N. Contradiction.Proposition 2.flipschitzienne=)funiformément continue. Démonstration.Supposons quefsoitk-lipschitzienne. Soit" >0. Posons ="k . Soit(x;y)2I2. Nous avonsjxyj =) jf(x)f(y)j kjxyj k=".Remarque 8.La réciproque est fausse, comme le montrent l"exemple 3 et l"exercice 7. 6

6 Théorème de Heine

Remarque 9.En traitant l"exemple 4, l"exemple 5 et l"exercice 5, nous remarquons que l"uniforme continuité est mise en défaut aux bornes ex- clues du domaine de définition. Cela nous donne l"intuition que sur un segment, une fonction suffisamment régulière est uniformément continue. Théorème 1(Heine).Toute fonction continue sur un segment y est uni- formément continue. Démonstration.Soitfcontinue sur[a;b]. Supposonsfnon uniformément continue. Donc9" >0;8 >0;9(x;y)2[a;b]2;jxyj etjf(x) f(y)j> ". En particulier pour=1n , oùn2N. Nous construisons ainsi deux suitesun;vntelles que8n2N;junvnj 1n etjf(un)f(vn)j>

". D"après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suiteu'(n)convergeant versl2[a;b]. Or,v'(n)converge aussi versl. En ef-

et nous avons lu'(n)!+10etu'(n)v'(n)1'(n)!+10car'(n) n, donclv'(n)!+10. Puisquefest continue, les suitesfu'(n)et fv'(n)convergent versf(l). Doncfu'(n)fv'(n)!+10. Contra- diction.Exercice 8.Montrer quex7!xlnxest uniformément continue sur]0;1]. Solution.L"expressionjxlnxylnyjne se majore pas simplement en fonction dexy, mais par croissance comparée, la fonction se prolonge par continuité en0. Soitfla fonction prolongeantx7!xlnx(nous avons f(0) = 0). Puisquefest continue sur[0;1], d"après le théorème de Heine fest uniformément continue sur[0;1]donc sur]0;1]. Or, sur]0;1],f coïncide avecx7!xlnx, doncx7!xlnxest uniformément continue sur ]0;1].Proposition 3.La composée de deux fonctions uniformément continues est uniformément continue.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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