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MAT402 : Suites et series de fonctions

HeleneEynard-Bontemps

2

Table des matieres

1 Suites de fonctions 5

I Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III Proprietes de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.2 Primitives/Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III.3 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 IV Theoremes d'approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Series de fonctions 17

I Dierents types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.1 Convergences simple et uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.2 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II Proprietes de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.2 Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.3 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.4 Etude d'un exemple celebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3 Series entieres 25

I Series entieres, rayon, disque et domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . 25
I.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.2 (Autres) methodes de determination du rayon de convergence . . . . . . . 28
I.3 Operations / comparaisons et rayon de convergence . . . . . . . . . . . . 29
II Proprietes de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.2 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.3 Regularite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.4 Application aux equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.5 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III Fonctions developpables en series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.1 Denition et contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III.2 Operations sur les developpements en series entieres . . . . . . . . . . . . 35
III.3 DSE classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Series de Fourier 37

I Theorie geometrique des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.1 Polyn^omes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.2 Coecients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.3 Structure hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II Theoremes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3

4TABLE DES MATIERES

II.A Theoreme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.B Theoreme de convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.C Formule de Parseval et convergence en normeL2. . . . . . . . . . . . . .53 III Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.A Unicite du developpement en serie trigonometrique . . . . . . . . . . . . . 55
III.B Retour sur l'equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III.C Generalisation aux fonctionsT-periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Chapitre 1

Suites de fonctions

Dans tout ce cours,KdesigneRouC.

SoitIun sous-ensemble deR. Formellement, unesuite de fonctions denies surIest une application deNdansKI(ensemble des fonctions denies surIet a valeurs dansK), qui a chaquen2Nassocie donc une fonctionfn:I!K. Comme pour les suites reelles, on note une telle suite (fn)n2N. Le but de ce chapitre est de donner un sens precis (et en fait plusieurs) a la phrase \la suite de fonctions (fn)n2Nconverge surIvers une fonctionf", et de voir, selon le type de convergence, les proprietes desfnqui sont preservees par passage a la limite.

I Convergence simple

Denition 1.1.Soit (fn)n2Nune suite de fonctions deIRdansK. On dit que la suite de fonctions (fn)n2Nconverge simplement(oupoint par point, ou encoreponctuellement) surIvers une fonctionf:I!Ksi, pour toutt2I, la suitenumerique(fn(t))n2Nconverge versf(t)2K.

On ecrit alorsfnCVS surI!n!+1f.

Remarque1.2.L'unicite de la limite d'une suite numerique convergente entra^ne que la fonction fci-dessus, si elle existe, est unique (denie parf:t2I7!limn!+1fn(t)). On l'appelle alors limite simple de la suite de fonctions(fn)n2N. Remarque1.3.On prendra soin de preciser sur quel domaine deRa lieu la convergence. Il pourra s'averer qu'une suite de fonctions converge sur un domaine strictement plus petit que le domaine de denition des fonctions en question. Mise en garde 1.4.Il est indispensable de faire des maintenant et tout au long de ce cours la dierence entre les objets suivants, outdesigne un element deI: f n(t); fn;(fn(t))n2N;(fn)n2N: Le premier est un nombre (element deK), le deuxieme une fonction (element deKI), le troisieme une suite numerique (element deKN), et le dernier une suite de fonctions (element de (KI)N). En particulier, dans ce cours, on prendra garde a ne jamais ecrire \la fonctionf(t)...", mais bien \la fonctionf". Exemple1.5.Pour toutn2N, on denitfn:x2[0;1]7!xn2R. Pour etudier l'eventuelle convergence simple surI= [0;1] de la suite de fonctions (fn)n2N, il s'agit d'etudier, pour chaque x2I, la convergence de la suite numerique (fn(x))n2N= (xn)n2N(ouxest maintenant un parametre xe). On remarque que : si x2[0;1[, la suite (xn)n2Nconverge vers 0 (suite geometrique de raison dans ]1;1[); 5

6CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS

si x= 1, la suite (xn)n2Nest constante egale a 1 donc converge vers 1.

Posons doncf: [0;1]!R

x7!(

0 six2[0;1[

1 six= 1:

On a montre que pour toutx2[0;1], (fn(x))n2Nconverge versf(x), donc la suite de fonctions (fn)n2NconvergesimplementsurIvers la fonctionf.0:20:40:60:810:20:40:60:81 f 1f 2f 3f 10f Remarque1.6.Lorsqu'on etudie une suite de fonctions (fn)n2N, on represente souvent dans un m^eme repere les graphes de plusieurs elements de la suitefn0,fn1;:::;fnk, pour des entiers n

0;:::;nkdistincts, comme ci-dessus, ainsi que le graphe de la limite simpleflorsqu'on l'a

determinee. La variable en abscisse estx(out), variable commune aux fonctions de la suite, et pasn! Remarque1.7.Toutes les fonctionsfnci-dessus sont continues (et m^emeC1) sur [0;1], mais la limite simplefne l'est pas. Intuitivement, cela vient du fait que la convergence a lieu point par point (independamment et pas a la m^eme vitesse) et ne preserve donc pas les proprietes semi-globales telles que la continuite. On va donc introduire une notion de convergence plus forte qui n'a pas ce defaut : la convergenceuniforme, qui a un caractere global justement, comme son nom l'indique. Avant cela, exprimons la convergence simple \en symboles" :

Denition equivalente 1.8(sous forme quantiee).

f nCVS surI!n!+1f, 8x2I;(fn(x))n2Nconverge dansKversf(x) ,()8x2I;8" >0;9N2N;8nN;jfn(x)f(x)j ": Remarque1.9.Dans (), le rangNa partir duquel l'inegalitejfn(x)f(x)j "a lieu depend a la fois de"et dex. C'est cette dependance enxqui emp^eche la convergence simple de transmettre

a la limite les proprietes telles que la continuite, le fait d'^etre borne... On va voir que si ce rang

Nne depend que de"(et pas dex), ces proprietes sont preservees par passage a la limite. D'ou l'importance de l'ordre des quanticateurs! Exercice1.10.Determinez leNen question en fonction dexet"dans le cas de la suite (fn)n2N etudiee precedemment. Que constatez-vous?

II Convergence uniforme

Denition 1.11.Soit (fn)n2Nune suite de fonctions deIRdansK. On dit que la suite de fonctions (fn)n2Nconverge uniformementsurIvers une fonctionf:I!Ksi ()8" >0;9N2N;8nN;8x2I;jfn(x)f(x)j ":

II. CONVERGENCE UNIFORME7

On ecrit alorsfnCVU surI!n!+1f.

Entre () et (), on a juste deplace \8x2I", mais cela fait une grosse dierence, comme on peut le voir gr^ace a l'interpretation graphique de la convergence uniforme dans le cas ouK=R.

Interpretation graphique 1.12.() se reecrit :

8" >0;9N2N;8nN;8x2I; f(x)"fn(x)f(x) +"

En mots, cela signie : pour tout" >0, a partir d'un certain rangN, les graphes de toutes les fonctionsfnsont \coinces" dans la \bande" de hauteur 2"comprise entre les graphes def" et def+".123412 f+"f"f f NCe n'etait pas le cas pour la suite de l'exemple du paragraphe precedent.

0:20:40:60:81

0:20:20:40:60:81

f 3f 10f f+"f"La convergence simple n'entra^ne donc pas la convergence uniforme. En revanche : Proposition 1.13.Si la suite(fn)n2Nconverge uniformement surIvers la fonctionf, alors elle converge aussi simplement versf. En abrege :

CVU=)CVS:

Corollaire 1.14.Si la suite(fn)n2Nconverge uniformement surIvers une fonctionf, une tellefest unique, et on l'appelle limite uniforme de(fn)n2NsurI.

8CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS

Preuve de la proposition.On suppose que (fn)n2Nconverge uniformement surIversf. Soit x2I. Soit" >0. Par denition de la convergence uniforme, il existeN2Ntel que :

8nN;8y2I;jfn(y)f(y)j ":

En particulier, pour ceNet pour toutnN, on ajfn(x)f(x)j "puisquex2I. On a donc montre :

8x2I;8" >0;9N2N;8nN;jfn(x)f(x)j "

c'est-a-dire que (fn)n2Nconverge simplement surIversf.On peut egalement caracteriser la convergence uniforme en termes denorme uniformekk1;I.

En eet, en reformulant (),

f nCVU surI!n!+1f, 8" >0;9N2N;8nN;jfnfjest majoree par"surI ,(1)8" >0;9N2N;8nN;kfnfk1;I" ,(2)9N02Nt.q.8nN0,kfnfk1;Iest ni etlimn!1kfnfk1;I= 0: La seule diculte pour justier cette derniere equivalence provient du fait qu'a priori,kfnfk1;I peut prendre la valeur +1. Mais si (1) est vrai, en prenant"= 1 par exemple, on a bien que kfnfk1;Iest ni (puisqu'inferieur a 1!) pour toutna partir du rangN1correspondant, et (1) indique alors que la suite de reels (kfnfk1;I)nN1(ainsi bien denie) converge vers 0. La reciproque est immediate par denition de la convergence d'une suite reelle vers 0. On dispose alors de la caracterisation plus maniable : Caracterisation 1.15(de la CVU en termes dek k1). f nCVU surI!n!+1f, 9(Mn)nn02RNn0convergeant vers 0 t.q.8nn0;kfnfk1;IMn: Methode 1.16.kfnfk1;IMnest equivalent a :8x2I;jfn(x)f(x)j Mn. Pour etudier la CVU d'une suite (fn)nvers une fonctionf, il s'agit donc simplement, pour chaquen2N, d'essayer de majorer au mieuxjfn(x)f(x)jpar un reelMnindependamment dex2I, et de voir si la suite (Mn)nainsi denie tend vers 0. Preuve de la caracterisation.SifnCVU surI!n!+1f, il sut de prendreMn=kfnfk1;I(pourn superieur au plus petit rang a partir duquel tous leskfnfk1;Isont nis)! Inversement, s'il existe une suite (Mn)nn0comme dans l'enonce,kfnfk1;Iest ni a partir du rangn0et la suite (kfnfk1;I)nn0converge vers 0 par comparaison de suites numeriques! On a donc bien l'equivalence.12341234Exemple 1.17 f+"f"f f 10

II. CONVERGENCE UNIFORME9

Exemple1.17.Pour toutn2N, on denitfn:R!Rparfn(t) =t+1n sin(nt). On veut savoir si la suite de fonctions (fn)n2Nconverge uniformement surRvers une certaine fonctionf. Pour commencer, il nous faut deja trouver un candidat pourf. Pour cela, on peut d'abord etudier la convergence simple (puisqu'on sait que si elle existe, la limite uniforme coincide avec la limite simple).

Soit donct2Rxe. Pour toutn1,jsin(nt)n

j 1n , donc par comparaison (sin(nt)n )ntend vers

0, donc (fn(t))n1= (t+1n

sin(nt))n1converge verst. Ainsi, si on posef= idR:t2R7!t2R, on vient de montrer que (fn)n2NconvergesimplementsurRversf.Etudions la convergence uniforme. Soitn1,

8t2R;jfn(t)f(t)j=t+1n

sin(nt)t=sin(nt)n 1n

Ainsi,

8n1;kfnfk1;R1n

et ( 1n )n1converge vers 0 donc (fn)n2Nconverge uniformement surRversf. Remarque1.18.Les \calculs" intervenant dans la preuve de la convergence simple et dans celle de la convergence uniforme sont les m^emes. Ce qui change tout, c'est la redaction, et notamment

les quanticateurs et leur ordre! Il faut y accorder la plus grande attention.12340:20:40:60:81Exemple 1.19

f 2f 4f

6Exemple1.19.Pour toutn2N, on denitfn:R+!Rparfn(x) =xenx. Montrons

que la suite de fonctions (fn)n2Nconverge uniformement surR+vers la fonction nulle (ici, fest donnee! C'est la fonction nulle). Soitn2N. Ici, pour majorerjfn(x)xj=xenx independamment dex, on n'a guere d'autre choix que de determiner le sup (et en fait le max) ce la fonction positivefnsurR+. Cette fonction estC1et pour toutx2R+,f0n(x) = (1nx)enx.

On en deduit qu'elle est croissante sur [0;1n

] et decroissante sur [1n ;+1[, donc elle atteint son max en 1n , et celui-ci vautfn(1n ) =1en . Ainsi :

8n2N;kfnfk1;R+=kfnk1;R+=1en

et ( 1en )n1converge vers 0 donc (fn)n2Nconverge uniformement surRvers la fonction nulle. Dans les exemples ci-dessus, on commencait par identier l'eventuelle limitefsi elle n'etait pas donnee, puis on prouvait la convergence uniforme. Mais comme pour les suites numeriques, il arrive qu'on ait besoin de prouver la convergence uniforme d'une suite de fonctions sans pouvoir identier sa limite. C'est notamment souvent le cas pour lesseriesde fonctions, que l'on verra au chapitre suivant. On dispose pour cela d'un outil theorique qui est l'analogue pour les suites du fonctions du critere de Cauchy pour les suites numeriques : le critere de Cauchyuniforme.

10CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS

Denition 1.20.Soit (fn)n2Nune suite de fonctions deIRdansK. On dit que la suite de fonctions (fn)n2Nest uniformement de Cauchyousatisfait le critere de Cauchy uniformesurI si

8" >0;9N2N;8p;qN;8x2I;jfp(x)fq(x)j "

i.e.

8" >0;9N2N;8p;qN;kfpfqk1;I"

Theoreme 1.21.Soit(fn)n2Nune suite de fonctions deIRdansK. Alors(fn)n2Nest uniformement convergente si et seulement si(fn)n2Nest uniformement de Cauchy. Demonstration.\)" On suppose (fn)n2Nuniformement convergente. Notonsfsa limite uni- forme. Soit maintenant" >0. Par convergence uniforme, comme"=2>0 egalement, il existe N2Ntel que, pour toutnN,8x2I,jfn(x)f(x)j "=2. Soient alorsp;qN. Alors pour toutx2I, jfp(x)fq(x)j jfp(x)f(x)j+jf(x)fq(x)j "=2 +"=2 =": On a donc montre que (fn)n2Nest uniformement de Cauchy. \(" On suppose (fn)n2Nuniformement de Cauchy. Commencons par montrer qu'elle admet alors une limite simple. En eet, soitx2I.Etant donne" >0, il existeN2Ntel que pour tousp;qN, pour touty2I,jfp(y)fq(y)j ". Cette inegalite est en particulier vraie pour y=x. On vient ainsi de montrer que la suite numerique (fn(x))n2Nest de Cauchy. Or toute suite reelle ou complexe qui est de Cauchy est convergente, donc (fn(x))n2Nadmet une limite, que l'on notef(x). Ainsi, la suite de fonctions (fn)n2Nconvergesimplementversf. Montrons que la convergence est uniforme. Soit" >0 etN2Ncomme ci-dessus. Soient x2IetnNxes. On a :

8qN;jfn(x)fq(x)j ":

On peut passer a la limite quandq!+1dans l'inegalite large ci-dessus (tout le reste est xe), et on obtient : jfn(x)f(x)j ": Ceci etant vrai pour toutx2Iet pour toutnN, on a montre :

8" >0;9N2N;8nN;8x2I;jfn(x)f(x)j ";

c'est-a-dire que (fn)n2Nconvergeuniformementversf.Outre le \critere pratique" 1.15 de majoration uniforme et le critere de Cauchy, il y a,

comme pour les suites numeriques, certaines operations autorisees sur les suites de fonctions uniformement convergentes. Mais attention! Il y en a moins que pour les suites numeriques! Proposition 1.22.Si(fn)n2Net(gn)n2Nsont des suites de fonctions deIRdansKconver- geant uniformement surIvers des fonctionsfetgrespectivement, alors pour tout(;)2R2, la suite de fonctions(fn+gn)n2Nconverge uniformement surIvers la fonctionf+g. Attention!La suite produit de deux suites de fonctions uniformement convergentes n'est pas forcement uniformement convergente. Contre-exemple : la suite (fn)n2Ndenie parfn:x2

R7!x+1n

converge uniformement surRvers idR:x7!x, mais la suite (f2n)n2Nne converge pas uniformement surRversx2R7!x2.

III. PROPRI

ETES DE LA LIMITE1112345101520

x7!x2f 2f

4Exercice1.23.Prouver les armations ci-dessus.

Exercice1.24.Quelle condition pourrait-on ajouter sur les suites dont on fait le produit pour assurer la convergence uniforme du produit?

III Proprietes de la limite

On peut montrer \facilement" (a condition de ne pas s'emm^eler entre les dierents pa- rametres) que la limite uniforme d'une suite de fonctionsborneesest elle aussi bornee (exercice!). Attention, ceci n'est pas vrai pour une limitesimple(exercice!). Quelles autres proprietes sont preservees par passage a la limite uniforme, et sous quelles conditions?

III.1 Continuite

Contrairement a la limite simple (cf. premier exemple du cours), la limite uniforme d'une suite de fonctions continues herite de la propriete de continuite : Theoreme 1.25.Soit(fn)n2Nune suite de fonctions deIRdansKqui convergeuni- formementsurIvers une fonctionf, et soitt02I. Si pour toutn2N,fnest continue ent0, alorsfl'est aussi. On peut voir ce resultat comme un theoreme d'interversion de limites : lim t!t0 lim n!+1fn(t) = lim n!+1 lim t!t0fn(t) On a deja vu un contre-exemple au theoreme dans le cas d'une convergence seulementsimple,

ce qui veut dire que sans les bonnes hypotheses, l'interversion de limites ci-dessus n'est en general

pas licite! En supposant lesfncontinuessurI(i.e. en tout pointt02I), on obtient, en version abregee : Corollaire 1.26.La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est une fonction conti- nue. Preuve du theoreme.Soit" >0. On cherche >0 tel que pour toutt2I, sijtt0j , jf(t)f(t0)j ". Or on sait que (fn)n2NCVU versfsurI, donc comme"=3 est encore strictement positif, on peut trouverN2Ntel que pour toutnN,kfnfk1;I"=3. C'est en particulier vrai pour n=N.

12CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS

Or la fonctionfNest continue ent0, donc on peut choisir >0 tel que :

8t2I;jtt0j =) jfN(t)fN(t0)j "=3:

Mais alors pour toutt2Itel quejtt0j , on a :

jf(t)f(t0)j jf(t)fN(t)j+jfN(t)fN(t0)j+jfN(t0)f(t0)j kffNk1;I|{z} "=3+"=3|{z} par choix de+kfNfk1;I|{z} "=3

ce qu'on voulait.Application1.27.On peut construire, comme limites uniformes de suites de fonctions continues,

des fonctions continues (d'apres le theoreme precedent) MAIS ayant des proprietes originales, par exemple n'etant derivables en aucun point! (cf. TD). Application1.28.La contraposee de ce theoreme sert souvent a montrer la NON-convergence uniforme d'une suite de fonctions vers une fonctionfdonnee, en observant que les fonctions de la suite sont continues alors quefne l'est pas. C'est par exemple le cas dans le premier exemple du chapitre. Exercice1.29.On a demontre graphiquement, puis gr^ace a la contraposee du theoreme ci-dessus, que la suite des fonctionsfn:x7!xnne converge pas uniformement sur [0;1] vers sa limite simple. Le montrer en utilisant la caracterisation 1.15 de la CVU en termes dek k1. Remarque1.30.Si une suite de fonctions (fn)nCVS vers une fonctionf, la continuite des f net la CVU sont a elles-deux une condition susante pour avoir la continuite def. Mais aucune des deux sous-conditions n'est necessaire. En eet, considerons la suite (fn)ndenie par f n:x2R7!0 six < n, 1 sixn. On peut montrer que (fn)ntend simplement vers la fonction nulle, qui est continue, alors que lesfnne le sont pas et que la convergence n'est pas uniforme (exercice). Le theoreme ci-dessus possede une generalisation utile : Proposition 1.31.Soit(fn)n2Nune suite de fonctionscontinuesdeIRdansKqui converge uniformementvers une fonctionfsur tout segmentJI. Alorsfest continue surI. Ce theoreme nous facilitera particulierement la vie lorsque nous etudierons les series entieres (chap. 3). Attention!On n'a pas dit \alors (fn)n2NCVU versfsurI", et c'est faux en general! Prenons par exemple la suite de fonctions denies surR+parfn(t) = (t+1n )2,n1. On a deja vu que cette suite ne convergeait pas uniformement surR+. Elle converge en revanche simplement vers la fonctionf:t7!t2(le justier), et la convergence est uniforme sur tout segment [a;b]R+. En eet, etant donne un tel segment, pour toutn1, on a :

8t2[a;b];jfn(t)f(t)j=2tn

+1n 22bn
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