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  • Comment montrer que f est uniformément continue ?

    f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.

  • Comment savoir si une courbe est continue ?

    Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon". Propriétés : 1) Les fonctions x xn (n ?N ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R .

  • Quand Dit-on qu'une fonction est uniformément continue ?

    Définition : Soit f une fonction entre deux espaces métriques E et F. On dit que f est uniformément continue si pour tout ?>0, il existe ??>0 vérifiant que pour tout a?E, B(a,??)?f?1(B(f(a);?)).
  • La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
1

CONTINUITÉ DES FONCTIONS

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9SSEUoyHh2s

Partie 1 : Notion de continuité

Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction.

1) Définition

Définition intuitive :

Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon. Méthode : Reconnaître graphiquement une fonction continue

Vidéo https://youtu.be/XpjKserte6o

Étudier graphiquement la continuité des fonctions et définies et représentées ci-dessous

sur l'intervalle -2;2

Correction

La courbe de la fonction peut se tracer sans lever le crayon, elle semble donc continue sur l'intervalle -2;2 La courbe de la fonction ne peut pas se tracer sans lever le crayon, elle n'est donc pas continue sur l'intervalle -2;2

Cependant, elle semble continue sur

-2;1 et sur 1;2

Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle contenant un réel .

- est continue en si : lim - est continue sur si est continue en tout point de .

Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle , alors elle est continue sur cet

intervalle. - Admis - 2

Exemples et contre-exemples :

est continue en a est continue en a est continue en a n'est pas continue en a n'est pas continue en a

2) Cas des fonctions de référence

Les fonctions suivantes sont continues sur l'intervalle donné.

Fonction Intervalle

Polynôme ℝ

0;+∞

1 -∞;0 et

0;+∞

sin ℝ cos ℝ

3) Opérations sur les fonctions continues :

Propriétés :

et sont deux fonctions continues sur un intervalle . (∈ℕ) et sont continues sur . Si ne s'annule pas sur , alors est continue sur . Si est positive sur , alors B est continue sur . Remarque : Dans la pratique, les flèches obliques d'un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. 3 Méthode : Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux

Vidéo https://youtu.be/03WMLyc7rLE

On considère la fonction définie sur ℝ par =C

La fonction est-elle continue sur ℝ ?

Correction

Les fonctions ⟼-+2, ⟼-4 et ⟼-2+13 sont des fonctions polynômes

donc continues sur ℝ.

Ainsi la fonction est continue sur

-∞;3 , sur 3;5 et sur

5;+∞

Étudions alors la continuité de en 3 et en 5 : - lim =lim -+2=-3+2=-1 lim =lim -4=3-4=-1

Donc : lim

=lim =(3)

Et donc la fonction est continue en 3.

- lim =lim -4=5-4=1 lim =lim -2+13=-2×5+13=3

La limite de en 5 n'existe pas. On parle de limite à gauche de 5 et de limite à droite de 5.

La fonction n'est donc pas continue en 5.

La fonction est continue sur

-∞;5 et sur

5;+∞

En représentant la fonction , on peut

observer graphiquement le résultat précédent. Partie 2 : Théorème des valeurs intermédiaires

Exemple :

On donne le tableau de variations de la

fonction . 4 Il est possible de lire dans le tableau, le nombre de solutions éventuelles pour des équations du type L'équation =18 possède 1 solution comprise dans l'intervalle -1;1 L'équation =0 possède 3 solutions chacune comprise dans un des intervalles -4;-3 -3;-1 et -1;1 L'équation =-3 ne possède pas de solution. L'équation =3possède 2 solutions : l'une égale à -3, l'autre comprise dans l'intervalle -1;1

Théorème des valeurs intermédiaires :

On considère la fonction continue sur l'intervalle [;]. Pour tout réel compris entre ()et (), l'équation = admet au moins une solution comprise entre et . Dans le cas où la fonction est strictement monotone sur l'intervalle , alors la solution est unique. - Admis - 5

Dans la pratique :

Pour démontrer que l'équation

=0 admet une unique solution sur l'intervalle [;], on démontre que :

1. est continue sur [;],

2. change de signe sur [;],

3. est strictement monotone sur [;],

Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent. Avec la condition 3 en plus, nous savons que la solution est unique. Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (1)

Vidéo https://youtu.be/fkd7c3IAc3Y

On considère la fonction définie sur ℝ par -1.

1) Démontrer que l'équation

=0 admet une unique solution sur l'intervalle 1;2

2) À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement au centième de la solution .

Correction

1) • La fonction est continue sur l'intervalle

1;2 , car une fonction polynôme est continue sur ℝ. 1 =1 -1 -1=-1<0 2 =2 -2 -1=3>0 Donc la fonction change de signe sur l'intervalle 1;2 =3 -2=(3-2)

Donc, pour tout de

1;2 >0. La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle 1;2 ➡ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation =0 admet alors une unique solution sur l'intervalle 1;2

2) A l'aide de la calculatrice, il est possible d'effectuer des

" balayages » successifs en augmentant la précision.

Vidéo TI https://youtu.be/MEkh0fxPakk

Vidéo Casio https://youtu.be/XEZ5D19FpDQ

Vidéo HP https://youtu.be/93mBoNOpEWg

La solution est comprise entre 1,4 et 1,5.

En effet :

1,4 ≈-0,216<0 1,5 ≈0,125>0 6 La solution est comprise entre 1,46 et 1,47.

En effet :

1,46 ≈-0,019<0 1,47 ≈0,0156>0

On en déduit que : 1,46<<1,47.

Remarque :

Une autre méthode consiste à déterminer un encadrement par dichotomie : Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (2)

Vidéo https://youtu.be/UmGQf7gkvLg

On considère la fonction définie sur ℝ par -4 +6.

Démontrer que l'équation

=2 admet au moins une solution sur [-1 ; 4].

Correction

est continue sur [-1 ; 4] car une fonction polynôme est continue sur ℝ. -1 -1 -4 -1 +6=1 4 =4 -4×4 +6=6

Donc 2 est compris entre

et

➡ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l'équation

2 admet au moins une solution sur l'intervalle [-1 ; 4].

Remarque : Ici, on n'a pas la stricte monotonie de , donc on n'a pas l'unicité de la solution.

Partie 3 : Application à l'étude de suites

Théorème :

Soit une fonction continue sur un intervalle et soit une suite ( ) telle que pour tout , on a : ∈ et

Si (

) converge vers alors - Admis - Méthode : Étudier une suite définie par une relation de récurrence du type

Vidéo https://youtu.be/L7bBL4z-r90

Vidéo https://youtu.be/LDRx7aS9JsA

7

Soit (

) la suite définie par =8 et pour tout entier naturel , =0,85 +1,8.

1) Dans un repère orthonormé, on considère la fonction définie par

=0,85+1,8. a) Tracer les droites d'équations respectives =0,85+1,8 et =. b) Dans ce repère, placer sur l'axe des abscisses, puis en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe et . On laissera apparent les traits de construction. c) À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (

2) En supposant que la suite (

) est convergente, démontrer le résultat conjecturé dans la question 1.c.

Correction

1) a) b) - On place le premier terme

sur l'axe des abscisses. On trace l'image de par pour obtenir sur l'axe des ordonnées - On reporte sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation =. - On fait de même pour obtenir puis c) En continuant le tracé en escalier, celui-ci se rapprocherait de plus en plus de l'intersection des deux droites. On conjecture que la limite de la suite ( ) est 12. 8

2) La suite (

) converge et la fonction est continue sur ℝ. La limite de la suite ( ) est donc solution de l'équation

Soit : 0,85+1,8=

-0,85=1,8

0,15=1,8

La suite (

) converge vers 12. Afficher la représentation graphique en escalier sur la calculatrice :

Vidéo TI https://youtu.be/bRlvVs9KZuk

Vidéo Casio https://youtu.be/9iDvDn3iWqQ

Vidéo HP https://youtu.be/wML003kdLRo

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