[PDF] Chapitre 7 : Fonctions continues et dérivables Convexité

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Chapitre 7 :

Fonctions continues

et dérivables

Convexité

Table des matières

1 Premières notions3

1.1 Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Point adhérent à une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .3

1.3 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .3

1.4 Fonctions et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .4

1.5 Caractérisation séquentielle de la limite ou de la continuité . . . . . . . .5

1.6 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .5

2 Théorèmes fondamentaux de la continuité 6

2.1 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

6

2.2 Théorème des bornes atteintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .6

2.3 Théorème d"encadrement ou théorème des gendarmes . . . . .. . . . . . .6

2.4 Théorème des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .7

3 Uniforme continuité7

3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.2 Théorème de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.3 Fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .8

4 Fonctions dérivables, premières propriétés 8

4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.2 Dérivation et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .9

5 Théorèmes fondamentaux de la dérivabilité 9

5.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

5.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .9

5.2.1 FonctionsC1et fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . .10

5.2.2 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

5.2.3 Théorème du prolongement de la dérivée . . . . . . . . . . . . .11

6 Extrema et extrema locaux11

6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

6.2 Recherche d"un extrémum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .11

7 Convexité11

7.1 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

11

7.1.1 Familles de points pondérés, barycentres . . . . . . . . . .. . .11

7.1.2 Définition de la convexité des ensembles . . . . . . . . . . . .. .13

7.1.3 Enveloppe convexe d"une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.2 Fonctions convexes d"une variable réelle . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .13

7.2.1 Mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.2.2 Propriétés des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . ..14

7.2.3 Applications de la convexité des fonctions . . . . . . . . .. . .14

2

1 Premières notions1.1 Intervalles de

R Définition 1SoitAune partie non vide deR. On dit queAest unintervallesi : ?(x,y)?A2,?α?R, x < α < y=?α?A. Exemple 1Il existe plusieurs types d"intervalles : •lessegmentsou les intervalles fermés :[a,b], où(a,b)?R2 les intervallessemi-ouverts:[a,b[,]a,b],[a,+∞[ou]- ∞,b] les intervallesouverts:]a,b[,]a,+∞[,]- ∞,b[ouR=]- ∞,+∞[

Exemple 2SoitAune partie non vide deRtelle que :

?(a,b)?A2,a+b2?A.

1. L"ensembleAest-il un intervalle?2. L"ensemble

Aest-il dense dans

infA,supA? ?1.2 Point adhérent à une partie

Définition 2SoitAune partie deR, puisaun nombre réel. On dit queaest unpoint adhérent àAsipour tout

ε >0, l"ensemble]a-ε,a+ε[∩Aest non vide.Autrement dit, le point aest adhérent àAsi et seulement si il existe une suiteud"éléments dansAtelle que : a= limn-→+∞un. Exemple 3•SiIest un intervalle deR, quels sont les points adhérents àI?

•SiA=??

1-1n? n ;n?N??, quels sont les points adhérents àA? •SoientAune partie non vide deReta?R.On a équivalence entre les deux points suivants : •le nombreaest la borne inférieure (respectivement supérieure) deA

le nombreaminore (respectivement majore)Aet le pointaest adhérent àA.1.3 Limites et continuité

Définition 3Soientf:I-→Rune fonction définie sur un intervalle,x0un point adhérent àI, puis??R.On dit que

f(x)tend vers?quandxtend versx0si : ?ε >0,?α >0,?x?I,|x-x0|?α=? |f(x)-?|?ε. 3

Proposition 1Lorsqu"il existe, le nombre?est unique et est appelé lalimite de la fonctionfenx0.Celle-ci est notée

limx-→x0f(x). Définition 4Soitf:I-→Rune fonction. Soitx0?I. On dit que la fonctionfest continue enx0si

limx-→x0f(x) =f(x0)(autrement dit :?ε >0,?α >0,?x?I,|x-x0|?α=? |f(x)-f(x0)|?ε).On dit que la fonction

festcontinuesi elle est continue en tout pointx0deI(autrement dit :?x?I, limξ-→xf(ξ) =f(x)).Remarque 1

•On parle également de limite à droite (resp. à gauche), de continuité à droite (resp. à gauche) enremplaçant dans les définitions précédentes la condition

|x-x0|?αpar |x-x0|?α etx > x0?(resp. |x-x0|?α

etx < x0?. On adopte les notations suivantes pour désigner les limites à droite et à gauche :lim

x-→x+0f(x)etlim x-→x-0f(x).

•On parle également de limites en±+∞et on note par exemplelimx-→+∞f(x) =?, lorsque :

?ε >0,?x0?R,?x?x0,|f(x)-?|?ε.

On parle enfin de limites égales à±∞et on note par exemplelimx-→x0f(x) = +∞, lorsque :

?M?R,?α >0,?x?I,|x-x0|?α=?f(x)?M. Exemple 4Comment traduire avec les quantificateurs le fait que :

•limx-→-∞f(x) =-∞?

•limx-→1-f(x) = +∞?

Exemple 5La fonction caractéristique deQdéfinie par1Q:??????R-→ {0,1} x?-→?1, six?Q 0 , sinon est discontinue entout point de

R. Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition.1.4 Fonctions et inégalités

Définition 5Soitf:I-→Rune fonction définie sur un intervalle.

•On dit quefestminoréesi?m?R,?x?I,m?f(x). L"ensemblef(I)est dans ce cas non vide,minoré et inclus dans

Ret admet par conséquent une borne inférieure. On la note alors :infx?If(x) = inff(I).Si l"ensemble

f(I)admet un plus petit élément, on noteminx?If(x)ce plus petit élement : c"est le minimum dela fonction

fsur l"intervalleI.

•On dit quefestmajoréesi?M?R,?x?I,f(x)?M. L"ensemblef(I)est dans ce cas non vide,majoré et inclus dans

Ret admet par conséquent une borne supérieure. On la note alors :sup x?If(x) = supf(I).Si l"ensemble

f(I)admet un plus grand élément, on notemaxx?If(x)ce plus grand élement : c"est le maximumde la fonction

fsur l"intervalleI.

•On dit quefestbornéesi?M?0,?x?I,|f(x)|?M. Dans ce cas, la fonctionfest bornée parM.Une fonction est bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée.

•On dit quefest une fonctioncroissante(resp.décroissante) si?(x,y)?I2,x?y=?f(x)?f(y)

(resp.x?y=?f(x)?f(y)). On parle alors de fonctionmonotonepour désigner une fonction soit tout letemps croissante, soit tout le temps décroissante.

4 •On dit quefest une fonctionstrictement croissante(resp.strictement décroissante) si?(x,y)? I 2

,x < y=?f(x)< f(y)(resp.x < y=?f(x)> f(y)). On parle alors de fonctionstrictement monotonepour désigner une fonction soit partout sur

Istrictement croissante, soit partout surIstrictement décroissante. Exemple 6•La fonctionf= arctanest strictement croissante surRetsupx?Rf(x) =π2. En fait f(R) =? -π2,π2?.

•La fonctionf= sinest continue, n"est pas monotone et le minimum de la fonctionfqui vaut-1estatteint en tous les points de l"ensemble

-π2+ 2πZ.

•La fonctionpartie entièrenotéex?-→ ?x?ou bienx?-→E(x), qui à tout nombre réelxassocie le plusgrand entier inférieur ou égal à

x(le nombre?x?est l"unique entier vérifiant?x??x Z.

Exemple 7•Quelle est la partie entière du nombre0,999999···? Quelles sont les limites à gauche et àdroite de la fonction

x?-→ ?x?en ce point?

•Montrer que pour tout réelx, on a?x+ 1?=?x?+ 1. En déduire que pour tout réelxet tout entierp,

?x+p?=?x?+p.1.5 Caractérisation séquentielle de la limite ou de la continuité

Proposition 2Soitf:I-→Rune fonction.Soit

aun point adhérent àI, le pointapouvant éventuellement être égal à±∞.

•Soit?un nombre réel ou?=±∞. Alors, on a équivalence entre les deux assertions suivantes :

-→limx-→af(x) =?

pour toute suiteu?INà valeurs dansItelle quelimn-→+∞un=a, alorslimn-→+∞f(un) =?.

•On a équivalence entre les deux assertions suivantes : -→la fonctionfest continue ena?I pour toute suiteu?INconvergente de limitea, la suite(f(un))n?Nconverge de limitef(a). Exemple 8Déterminer toutes les fonctions continuesf:R-→Rtelles que : ?(x,y)?R2, f(x+y) =f(x) +f(y)[équation fonctionnelle]1.6 Opérations sur les limites

Proposition 3•La somme, la multiplication, la composée de deux fonctions continues l"est encore.

•La fonction réciproque d"une fonction bijective continue est encore continue. 5

2 Théorèmes fondamentaux de la continuité2.1 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 1Soitf:I-→Rune fonction continue sur un intervalleI. Alors l"ensemble imagef(I)estencore un intervalle.Un autre énoncé équivalent est :" si

f:I-→Rest une fonction continue sur un intervalle, siα=f(a)< β=f(b)sont deux valeurs prisespar la fonction

f, alors pour toutγ?[α,β], il existecentreaetbtel quef(c) =γ. » Méthode : Comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires? Ce théorème sert surtout à fournir l"existence de solutions à des équations : ?pour connaître le nombre de solutions à l"équationf(x) =g(x):

•mettre lesxd"un seul bord

•faire l"étude de la fonctionh=f-gpar exemple ?pour avoir des informations sur une valeur d"annulation d"une fonction continuef calculerf(a)etf(b) constater quef(a)etf(b)sont de signes contraires •conclure que l"équationf(x) = 0a au moins une solution entreaetb. ?pour connaître le signe d"une expression en fonction dex, utiliser le résultat suivant : •une fonction continue qui ne s"annule pas sur un intervalle garde un signe constant. Exemple 9•Soitf:R-→Zune fonction continue. Que peut-on dire de la fonctionf?

•Soitf:I-→Rune bijection continue sur un intervalle. Alors la fonctionfest strictement monotonesur l"intervalle

I.

•Sif: [a,b]-→Rest une fonction monotone, alors on a équivalence entre les deux points suivants :

-→la fonctionfest continue -→l"ensemblef([a,b])est un intervalle.2.2 Théorème des bornes atteintes

Théorème 2Soitf: [a,b]-→Rune fonction continue sur le segment[a,b]. Alors, l"ensemble imagef([a,b])

est encore un segment. Méthode : Comment utiliser le théorème des bornes atteintes?

Sa principale utilisation est :

?une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Exemple 10•Soitf:R-→Rune fonction continue telle que la fonctionftend vers+∞en±∞. Montrerque la fonction

fadmet un minimum global.

•Montrer que toute fonction continue et périodique surRest bornée surR.2.3 Théorème d"encadrement ou théorème des gendarmes

6

Théorème 3Soientf,gethtrois fonctions définies sur un même intervalleIetaun point adhérent àI

tels que :

•pour toutx?I,f(x)?g(x)?h(x)

• ???R

,limx-→af(x) = limx-→ah(x) =?.Alors, g(x)tend vers?quandxtend versa.

Proposition 4Soientfetgdeux fonctions définies sur un intervalleItelles quef?g(c"est-à-dire :?x?I,

f(x)?g(x)). Soitaun point adhérent àI,apouvant éventuellement être égal à±∞.

•Silimx-→af(x) =?etlimx-→ag(x) =??, alors????. •Silimx-→af(x) = +∞, alorslimx-→ag(x) = +∞

Silimx-→ag(x) =-∞, alorslimx-→af(x) =-∞.2.4 Théorème des fonctions monotones

Théorème 4Soitf:I-→Rune fonction croissante sur un intervalleI= (a,b)(les extrémitésaetbdel"intervalle

Ipeuvent on non appartenir à l"ensembleI).

•Si la fonctionfest majorée surI, alors la limitelimx-→b-f(x)existe et est finie. •Si la fonctionfn"est pas majorée surI, alorslimx-→b-f(x) = +∞. •Si la fonctionfest minorée surI, alors la limitelimx-→a+f(x)existe et est finie.

•Si la fonctionfn"est pas minorée surI, alorslimx-→a+f(x) =-∞.Remarque 2On dispose d"un résultat analogue pour les fonctions décroissantes.3 Uniforme continuité3.1 Définition

Définition 6Soitf:I-→Rune fonction définie sur un intervalleI. On dit que la fonctionfestunifor-mément continue sur

Isi : ?ε >0,?α >0,?(x,x?)?I2,|x-x?|?α=?[f(x)-f(x?)|?ε.

Remarque 3La différence majeure avec la définition de la continuité defest que le nombreαest iciindépendant du

x?I. Par conséquent, toute fonction uniformément continue surIest continue surI.

Exemple 11•Montrer qu"une fonctionf:R-→Rest uniformément continue si et seulement si pour toutessuites réelles

uetv, limn-→+∞(un-vn) = 0 =?limn-→+∞(f(un)-f(vn)) = 0.

Les fonctionsx?-→x2etx?-→sin(x3)sont continues surR. Sont-elles uniformément continues?3.2 Théorème de Heine

Proposition 5Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue. 7

3.3 Fonctions lipschitziennes

Définition 7Soitf:I-→Rune fonction définie sur un intervalleI. On dit que la fonctionfestlipschit-ziennes"il existe

k >0tel que : ?(x,x?)?I2,|f(x)-f(x?)|?k· |x-x'|.

Si une telle constantekconvient, on dira alors que la fonctionfestk-lipschitzienne.Remarque 4Une fonction

f:I-→Rest lipschitzienne si et seulement si l"ensemble : A=? ?f(x)-f(x?)x-x????? ?R|(x?=x?)?I2?est majoré. Proposition 6Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle est uniformément continue. Exemple 12•La fonctionx?-→ |x|est1-lipschitzienne donc est continue. surR. •La fonctionx?-→⎷xest uniformément continue mais non lipschitzienne sur[0,1].

•Sif:R-→Rest une fonction continue admettant des limites finies en±∞, alors la fonctionfestuniformément continue sur

R.4 Fonctions dérivables, premières propriétés

4.1 Définitions

Définition 8Soitf:I-→Rune fonction définie sur un intervalleIdeR. Soitx0?R. On dit que lafonction

festdérivableenx0si la limitelimx-→x0f(x)-f(x0)x-x0existe et est finie. Cette limite est appeléenombre dérivé de

fenx0et notéf?(x0). On dit qu"une fonctionf:I-→Restdérivablesi elle estdérivable en tout point

x0deI.Remarque 5On parle également de dérivabilité à droite ou à gauche en x0lorsque les limites suivantes existent etsont finies : lim x-→x+0f(x)-f(x0)x-x0etlim x-→x-0f(x)-f(x0)x-x0. Le cas échéant, elles sont notées respectivementf?d(x0)et f?g(x0).

Exemple 13La fonctionx?-→ |x|est dérivable à droite et à gauche surRtout entier mais elle n"est pasdérivable en

0.

Définition 9Soitf:I-→Rune fonction. Soitnun entier supérieur ou égal à2. On dit que la fonctionf

estn-fois dérivablesi la fonctionfest(n-1)-fois dérivable et que sa dérivée(n-1)`emeest encore dérivable.On note

f(n)sa dérivéen`eme. La dérivée seconde est notéef??.Soit

n?N. On dit que la fonctionfestde classeCnsi la fonctionfestn-fois dérivable et que la dérivée

n`emef(n)est continue.On dit que la fonction festclasseC∞si la fonctionfest indéfiniment dérivable.On note Cn(I,R)l"ensemble des fonctionsf:I-→Rde classeCn, puisC∞(I,R)l"ensemble des fonctions f:I-→Rde classeC∞. 8 Remarque 6L"ensembleC0(I,R)désigne l"ensemble des fonctionsf:I-→Rcontinues. Proposition 7On a les propriétés suivantes :

•pour toutn?N, on aCn+1(I,R)?Cn(I,R)

pour toutn?N?, pour toutf?Cn(I,R), on a :f??Cn-1(I,R)

•C∞(I,R) =?

n?NC n(I,R) x?-→???exp? -1x?sur]0,+∞[ 0 , sur]- ∞,0] est de classeC∞surR.4.2 Dérivation et opérations

Proposition 8La somme, le produit, la composée de deux fonctions dérivables l"est encore, avec les formules :

•(f+g)?=f?+g?

•(f×g)?=f?×g+f×g?

•(g◦f)?=g?◦f×f?

•(f·g)(n)=n?k=0?

n k? ·f(k)·g(n-k)[formule de dérivation de Leibniz pourfetg n-fois dérivables]

Proposition 9La fonction réciproque d"une bijection dérivable dont la dérivée ne s"annule pas est encoredérivable selon la formule :

•?f-1??=1f?◦f-1.5 Théorèmes fondamentaux de la dérivabilité

5.1 Théorème de Rolle

Théorème 5Soitf: [a,b]-→Rune fonction continue sur le segment[a,b], dérivable sur l"intervalle ouvert

]a,b[et vérifiant :f(a) =f(b). Alors, il existec?]a,b[tel que : f?(c) = 0.

5.2 Théorème des accroissements finis

Théorème 6Soitf: [a,b]-→Rune fonction continue sur le segment[a,b]et dérivable sur l"intervalleouvert

]a,b[. Alors : ?c?]a,b[, f?(c) =f(b)-f(a)b-a. 9 Méthode : Comment appliquer le théorème des accroissements finis? Ce théorème sert à étudier le sens de variations de fonctions ?une fonctionfdérivable sur un intervalle telle quef??0est une fonction croissante ?une fonctionfdérivable sur un intervalle telle quef?>0est une fonction strictement croissante ?une fonctionfdérivable sur un intervalle telle quef?= 0est une fonction constante

?une fonctionf: [a,b]-→Rdérivable telle quef?<0réalise une bijection strictementdécroissante de

[a,b]vers[f(b),f(a)][théorème de la bijection].

Exemple 15•Montrer que pour toutx?R,ex?1 +x.

•Montrer que pour toutx?R,|sinx|?|x|.5.2.1 Fonctions

C1et fonctions lipschitziennes

Proposition 10Toute fonction de classeC1sur un segment deRy est lipschitzienne et donc uniformémentcontinue.

Exemple 16•Montrer que la suiteudéfinie par : ?u0= 1 ?n?N, un+1= argsh(un) est convergente de limitenulle.

•Montrer que la suiteudéfinie par :

?u0= 1 ?n?N, un+1= cos(un) est convergente.

•Montrer que la suiteudéfinie par :

?u 0?R ?n?N, un+1=1

1 +u2n

converge vers un nombre irrationnel.5.2.2 Formule de Taylor-Lagrange

Proposition 11Soientn?Netf: [a,b]-→Rune fonction de classeCnsur[a,b]et(n+ 1)-fois dérivablesur

]a,b[. Alors, il existec?]a,b[tel que : f(b) =n? k=0f (k)(a)k!·(b-a)k+f(n+1)(c)(n+ 1)!·(b-a)n+1.

Exemple 17•Montrer que :

e= limn-→+∞n k=01k!.

Montrer que :

ln2 = limn-→+∞n k=1(-1)k-1k= limn-→+∞n k=11k·2k.

Montrer que :

4= limn-→+∞n

k=0(-1)k2k+ 1. 10

5.2.3 Théorème du prolongement de la dérivée

Proposition 12Soitf:]a,b]-→Rune fonction de classeC1. On suppose qu"il existe??Rtel que g:??????[a,b]-→R f(x) , six > a soit de classeC1sur[a,b].6 Extrema et extrema locaux

6.1 Définitions

Définition 10Soitf:I-→Rune fonction. Soitx0?I. •On dit que la fonctionfadmet un maximum enx0(resp. unminimum enx0) si :?x?I, f(x)?f(x0)(resp.?x?I,f(x)?f(x0)). •On dit que la fonctionfadmet un extrémum enx0sifadmet un maximum on un minimum enx0. •On dit que la fonctionfadmet un maximum local enx0(resp. unminimum local enx0) si : ?α >0,?x?I,|x-x0|?α=?f(x)?f(x0)(resp.?α >0,?x?I,|x-x0|?α=?f(x)?f(x0)).

•On dit que la fonctionfadmet un extrémum local enx0sifadmet un maximum local on unminimum local en

x0.

Exemple 18Combien la fonctionf:x?-→x3-2x2-2x+ 1admet-elle d"extréma locaux ou globaux surl"intervalle

[-1,3[?6.2 Recherche d"un extrémum local Méthode : Comment rechercher les extréma locaux d"une fonction? Soitf:I-→Rune fonction. Pour rechercer ses extréma locaux : ?s"assurer quefest définie sur un ouvert ?s"assurer quefest de classeC2 résoudre l"équationf?(x) = 0(équation (E)) ?pour chaque solutionx0de (E), calculerf??(x0):

•sif??(x0)>0,x0est un minimum local

•sif??(x0)<0,x0est un maximum local

•sif??(x0) = 0, on ne peut rien dire pour l"instant : faire un développement limité enx0.

Exemple 19•Quels sont les rectangles du plan de périmètre fixé et délimitant une aire maximale?

•SoitDun disque du plan, de rayon strictement positif. Quels sont les triangles à sommets dansDetd"aire maximale?7 Convexité

7.1 Ensembles convexes7.1.1 Familles de points pondérés, barycentres

11 Définition 11On appellefamille de points pondérés (M1,λ1),···,(Mn,λn)? du plan, la donnée de

npointsM1,···,Mndu planR2et la donnée depoids, c"est-à-dire de scalairesλ1,···,λn, dont la sommen?k=1λ

k n"est pas nulle. Proposition 13Étant donnée une famille de points pondérés (M1,λ1),···,(Mn,λn)? du plan, il existe unseul point G?R2vérifiant les propriétés équivalentes suivantes :

•--→OG=1n?k=1λ

kn k=1λ k·---→OMk pour tout pointMdeE, on a : n?k=1λ k·---→MMk=? n? k=1λ k? MG n?k=1λ k·---→MkG=?0 .Le point Gainsi défini s"appelle lebarycentre de la famille de points pondérés (M1,λ1),···,(Mn,λn)? .Lorsque tous les points λ1,···,λnsont égaux, le barycentreGs"appelle l"isobarycentre de la famille (M1,···,Mn).

Exemple 20•SiAetBsont deux points du plan, le milieu du segment[A,B]est exactement l"isobarycentredes points

AetB.

•Si

(z1,λ1),···,(zn,λn)?

est une famille de points pondérés de points dans le plan complexeC, lebarycentre de cette famille admet pour affixe :

g=1n?k=1λ kn k=1λ k·zk.

De plus, si la somme des points

n?k=1λ k est égale à1, la formule devient : g=n?k=1λ k·zk.

Siz1,···,znsont des complexes, prendre l"isobarycentre de la famille(z1,···,zn)revient à prendre lebarycentre de la famille de points pondérés??

z 1,1 n? z n,1n??, l"avantage de cette écriture étant quela somme des poids vaut

1et donc, l"isobarycentre de la famille(z1,···,zn)est d"affixe :

g=z1+···+znn. Lorsquen?2, l"isobarycentre des points de l"ensembleUn=? z?C|zn= 1? e2ikπ/n;k? {0,···,n-1}? est l"origine0deC, alors que lorsquen= 1, on aU1={1}d"isobarycentred"affixe 1. •Dans un triangle, les trois médianes se coupent en l"isobarycentre du triangle. 12

Proposition 14Voici les principales propriétés liées aux barycentres. On considère une famille?

(M1,λ1),···,(Mn,λn)? de points pondérés du plan. •Pour touta?R?, les barycentres des familles de points pondérés (M1,λ1),···,(Mn,λn)? et? (M1,aλ1),···,(Mn,aλn)? sont identiques.

•associativité du barycentre

Soit(Ui)1?i?sune partition de l"ensemble des indices?1,n?, de telle sorte que pour tout paquetUi d"indices, le poids totalΛi=? k?Uiλ kdu paquet de pointsMkd"indices dansUisoit non nul. Onpeut alors définir le barycentre

Gide la famille de points pondérés

(Mk,λk)? k?Ui . Le barycentrede la famille de points pondérés? (G1,Λ1),···,(Gs,Λs)? est exactement le barycentre de la famille? (M1,λ1),···,(Mn,λn)? •SiAetBsont deux points du plan, l"ensemble des barycentres des familles (A,λ),(B,1-λ)? , lorsque λdécritRest exactement la droite(AB)et l"ensemble des barycentres des familles (A,λ),(B,1-λ)? ,lorsque

λdécrit[0,1]est exactement le segment[A,B].7.1.2 Définition de la convexité des ensembles

Définition 12SoitCune partie du planR2.On dit que la partie Cestconvexesi pour tous pointsAetBdansC, le segment[A,B]est toujours inclusdans C. Exemple 21•Toute droite du plan est convexe. Tout disque ouvert ou fermé est convexe. •Les ensembles convexes deRsont exactement les intervalles.

•Toute partie finie comportant au moins deux éléments n"est pas convexe; Tout cercle de rayon strictementpositif n"est pas convexe. Toute partie du plan égale au complémentaire d"un ensemble borné n"est pas convexe.7.1.3 Enveloppe convexe d"une partie

Proposition 15•L"intersection quelconque de parties convexes du plan reste un ensemble convexe.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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