Fonctions continues et uniformement continues
ƒ non u-continue sur I ? ƒ non lipschitzienne sur I. Exercice : Comportement global d'une fonction uniformément continue. Soit ƒ : + ? une application
Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1. (extrait capes 2012
19 janv. 2012 uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R? (6) On considère les fonctions définies sur R+ par h1( ...
Problème 1 : continuité uniforme
Donc la fonction f est 1-lipschitzienne sur R et en particulier f est uniformément continue sur R d'après la question 2.
I) Auto-test : Continuité
SAVOIR REFAIRE : Montrer que toute fonction lipschitzienne est continue. Donner 3 exemples de fonction non uniformément continue mais continues.
Chapitre 7 : Fonctions continues et dérivables Convexité
?x est uniformément continue mais non lipschitzienne sur [0 1]. • Si f : R ?? R est une fonction continue admettant des limites finies en ±?
CAPES externe 2012 de Mathématiques
Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I. uniformément continue sur R+ et donc pas non plus sur R.
Université Paris-Dauphine — Mise à niveau en analyse
Donner un exemple de fonction continue mais non uniformément conti- nue ainsi qu'un exemple de fonction uniformément continue qui n'est pas Lipschitzienne.
Chapitre 2 Fonctions Continues
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Preuve. Exercice 2.10. Vérifiez les points non démontrés dans le point 1.2.5. Exercice 2.8.
Chapitre 2 Espaces métriques
Donner des exemples de normes sur l'espaces des fonctions continues sur un intervalle : traité Une application lipschitzienne est uniformément continue.
Devoir non surveillé
En déduire que la fonction cosinus est lipschitzienne. A.8 Montrer que toute application lipschitzienne est uniformément continue. Donner en justifiant sa
[PDF] Fonctions continues et uniformement continues
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Raisonnons par contraposition et montrons : non (i) ? non (ii)
[PDF] Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1 (extrait capes 2012
(1) Écrire à l'aide de quantificateurs la proposition f n'est pas uniformément continue sur I (2) On rappelle qu'une fonction est lipschitzienne sur I de
[PDF] Problème 1 : continuité uniforme
Donc la fonction f est 1-lipschitzienne sur R et en particulier f est uniformément continue sur R d'après la question 2
[PDF] 43 Continuité
Exercices 4 3 24 à 4 3 26 La notion d'application lipschitzienne est plus facile à appréhender que celle d'application uniformément continue car
[PDF] Limites et continuité chapitre 113 - cpge paradise
Une fonction uniformément continue n'est pas nécessairement lipschitzienne En effet il suffit de considérer la fonction de [01] dans [01] f : x ?? ?
[PDF] Fonctions continues entre espaces métriques
Toute fonction uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse Exercice 2 3 Montrer que la fonction x ?? x2 n'est pas uniformément
[PDF] [PDF] MPSI 1 - Tourbillon
— Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue (Heine) Exemple des fonctions lipschitziennes Enfin en quelle couleur
Fonctions uniformément continues sur un intervalle - Unisciel
Une famille importante de fonctions uniformément continues sur un intervalle est celle des fonctions lipschitziennes sur cet intervalle
[PDF] Devoir non surveillé - Booleanopera
En déduire que la fonction cosinus est lipschitzienne A 8 Montrer que toute application lipschitzienne est uniformément continue Donner en justifiant sa
[PDF] Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
Exercice 1 Uniforme continuité 1 Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1] 2 Soit ?? < a < b < +?
Comment montrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.Comment montrer qu'une fonction n'est pas lipschitzienne ?
parmi les fonctions à une variable, définies et continues sur un intervalle I?R, les fonctions non lipschitziennes sont celles qui ont au moins une tangente verticale quelque part sur I.Est-ce que toute fonction continue est lipschitzienne ?
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.- En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. Tout d'abord, une fonction f est continue si à des variations infinitésimales de la variable x correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
Chapitre 2
Fonctions Continues
Semaine 1 :Etude des sous-paragraphes 1.1 et 1.2. Faire les exercices d"appren- tissage 2.1-2.9. Semaine 2 :Etude des sous-paragraphes 1.3, 1.4 et 1.5. Faire les exercices d"ap- prentissage 2.10-2.12 et les exercices d"approfondissement 2.20-2.23. Semaine 3 :Etude du sous-paragraphe 1.6 et du paragraphe 2. Faire les exercices d"apprentissage 2.13-2.15 et les exercices d"approfondissement 2.24-2.29.1. Continuit´e.
1.1. Fonctions continues.
?1.1.1. D´efinition.Soient (E,d) et (E?,d?) deux espaces m´etriques. Soitf:E→F une application etx0?E. On dit quefest continue enx0si et seulement si ?ε >0,?α >0,?x?E, d(x,x0)< α?d?(f(x),f(x0))< ε. On dit quefestcontinue surEsi et seulement sifest continue en tout point x 0?E. SiAest une partie deEet sif:A→Fest une application, dire quefest continue enx0?Aest ´equivalent `a dire quefest continue enx0,A´etant munie de la m´etrique induite.1.1.2. Remarques et propri´et´es.
fest continue enx0si et seulement si
?V? V(f(x0)),?V?? V(x0), f(V?)?V. fest continue enx0si et seulement si, pour tout voisinageVdef(x0),f-1(V)est un voisinage dex0.70Chapitre 2.
IdEest continue ainsi que toute fonction constante. Six0est un point isol´e deE, alors toute fonctionf:E→Fest continue enx0. En particulier, siEest discret, toute fonctionf:E→Fest continue. La compos´ee de deux fonctions continues est continue. SiA?Eet sif:E→Fest continue, alorsf|A→Fest continue. La r´eciproque est fausse.Preuve.Exercice 2.1
1.1.3. Proposition.SiAest voisinage dex0alorsf|Aest continue enx0si et seulement
sifest continue enx0.Preuve.Exercice 2.2
En conclusion, la continuit´e et une propri´et´e locale. Les deux propositions suivantessont particuli`erement importantes, car ce seront g´en´eralement les crit`eres utilis´es (avec
la d´efinition bien sˆur) pour montrer la continuit´e d"une fonction. ?1.1.4. Proposition.fest continue enasi et seulement si, pour toute suite(xn)nqui converge versa, la suite(f(xn))nconverge versf(a).Preuve.Exercice 2.3.
?1.1.5. Proposition.Soitf:E→Fune application, alors les trois assertions suivantes sont ´equivalentes: (i)fest continue surE. (ii)pour tout ouvertUdeF,f-1(U)est ouvert dansE. (iii)pour tout ferm´eGdeF,f-1(G)est ferm´e dansE.Preuve.Exercice 2.4.
1.1.6. Remarques.f:E→Fest continue si et seulement si, pour toutA?E,
f(¯A)? f(A). Enfin, sifest continue, alors l"image directe d"un ouvert deEn"est pas forc´ement un ouvert deFet l"image directe d"un ferm´e n"est pas forc´ement un ferm´e de F.Preuve.Exercice 2.5.
1.2. Limites de fonctions.
La notion de limite de fonction en un point est une notion assez voisine de la notion de continuit´e mais est plus souple car le point peut ne pas appartenir au domaine de d´efinition de la fonction. Nous donnons tout d"abord la d´efinition et nous l"illustrons par la notion de limite `a droite et `a gauche pour les fonctions d´efinies sur des sous-ensembles deR.Fonctions continues.71
?1.2.1. D´efinition.Soient (E,d) et (E?,d?) deux espaces m´etriques. Soitf:D?E→ E ?. SoitA?D,x0?Aet??F. On dit quef(x)tend vers?quandxtend versx0
selonA, et on note limx→x0x?Af(x) =?si et seulement si ?ε >0,?α >0,?x?A, d(x,x0)< α?d?(f(x),?)< ε.1.2.2. Propri´et´e.
La d´efinition ci-dessus se r´e´ecrit aussi ?W? V(?),?V? V(x0), f(A∩V)?W.Si?existe,?est unique et on a??
f(A).?est alors appel´ee la limite defenx0 selonA.Preuve.Exercice 2.6.
1.2.3. Limite usuelle.Six0est un point d"accumulation deDet, siA=D\{a}, limx→x0x?Aest not´ee lim
x→x0x?=x0.1.2.4. Limites `a gauche et `a droite.Soitfune fonction de la variable r´eellexd´efinie
sur un intervalleIdeR. Soitx0? I. LorsqueA=]- ∞,a[∩I, la limite limx→a x?Af(x), si elle existe, est encore not´ee lim x→a x1 +|x|six?R, ?(+∞) = 1, ?(-∞) =-1.
On v´erifie en exercice (cf.Exercice 2.7.) qued(x,y) =|?(x)-?(y)|d´efinit une distance sur R. Cette distance fait deRun espace m´etrique et nous autorise `a parler de limite en +∞ou en-∞. Evidemment, il n"est pas tr`es commode de mani`ere pratique de caract´eriser la limite en±∞`a l"aide de la distance surR. On v´erifiera en exercice (cf.
Exercice 2.7) que, sifest d´efinie sur un intervalle [c,+∞[, lim Notons que l"on peut caract´eriser de la mˆeme mani`ere la limite d"une suite en +∞. - Limite infinie.Lorsqu"une fonctionfest `a valeurs r´eelles, il est possible de caract´eriser simplement les limites infinies defen raisonnant comme sif´etait `a valeurs dans R. Par exemple,ftend vers +∞lorsquextend versx0selonAsi et seulement si ?C >0,?α >0,?x?A, d(x0,x)< α?f(x)> C.72Chapitre 2.
On note alors lim
x→x0x?Af(x) = +∞. (cf.Exercice 2.7) - Vous pourrez v´erifier en exercice (2.7) que l"on peut caract´eriser simplement une limite infinie prise `a l"infini. ?1.2.6. Composition des limites.Soientf:D1?(E,d)→(E?,d?)etg:D2? (E?,d?)→(E??,d??)telles quef(D1)?D2. SoientA?D1,x0?A,B?D2ety0?B.
On suppose que
f(A)?B,limx→x0x?Af(x) =y0etlimy→y0y?Bg(y) =? o`u??E??. Alors l"application compos´eeh=g◦fv´erifie lim x→x0x?Ah(x) =?.Preuve.Exercice 2.8.
?1.2.7. limite et continuit´e en un point.Soientf:D?(E,d)→(E?,d?)et x0?Dun point d"accumulation deE. L"applicationfest continue enx0si et seulement
lim x→x0x?=x0f(x) =f(x0).Preuve.Exercice 2.9
?1.2.8. Remarque.Lorsquefn"est pas d´efinie enx0et lorsquelimx→x0x?=x0f(x) =?, la fonctiongd´efinie surD?{x0}parg(x) =f(x)surDetg(x0) =?est continue enx0et est appel´ee prolongement par continuit´e defenx0. ?1.2.9. Th´eor`eme.Soient(E,d)et(F,d?)deux espaces m´etriques ,Aune partie de E,a? Aetf:D?E→Fune application avecAinclus dansD.fadmet une limite au pointaselon la partieAsi et seulement si, quelle que soit la suite(un)deAde limite a, la suitef(un)converge. Dans ce cas, la limite def(un)estlimx→af(x). Preuve.En premier lieu, sifposs`ede la limite?ena, alors pour toute suite (un) qui converge versa, la suitef(un) converge vers?. R´eciproquement, il n"est pas dit que toutes les suites (un) qui convergent versa, les suites (f(un)) doivent converger vers la mˆeme limite !! Nous commencerons donc par montrer cela. Soient donc (un) et (vn) deux suites deAqui convergent versa. Les suites (f(un)) et (f(vn)) sont alors convergentes par hypoth`ese, de limites respectives mettons betb?. Introduisons la suite (wn) d´efinie pourn?Npar w2n=unetw2n+1=vn.
Il est clair que (wn) converge versa; `a nouveau, (f(wn)) converge mettons versb??, mais comme les suites (f(un)) et (f(vn)) sont extraites de (f(wn)), on ab=b?=b??. Soit d´esormais?la limite commune des suites (f(un)) lorsque (un) converge versa. On raisonne maintenant par l"absurde, supposant que?n"est pas limite defena.Par les quantificateurs, ceci se traduit par
?ε >0,?δ >0,?x?B(a,δ)∩Aetf(x)??B(?,ε).Fonctions continues.73
On prendδ=1
npourn?N?pour construire une suite (un) deAde limiteatelle que la suite (f(un)) ne converge pas vers?. Ceci est contradictoire, d"o`u le r´esultat.1.3. Hom´eomorphismes.
?1.3.1. D´efinition.Soient (E,d) et (F,d?) deux espaces m´etriques. Soitf:E→F. On dit quefest unhom´eomorphismesi et seulement sifest continue, bijective etf-1 est continue.1.3.2. Remarque.Une fonction peut ˆetre bijective et continue sans quef-1le soit
n´ecessairement. Par exemple, si on prendE= [0,1[?{2}muni de la distance usuelle, F= [0,1]muni de la distance usuelle, si on d´efinitf(x) =xsix?[0,1[etf(1) = 2, alorsfest bijective continue deEdansF, maisf-1n"est pas continue en1. En effet, lim x→1 x<1f-1(x) = 1?=f-1(1) = 2. N´eanmoins, nous avons la proposition suivante :1.3.3. Proposition.SiIest un intervalle deRet sif:I→Rest continue strictement
monotone, alorsfest un hom´eomorphisme deIdansf(I). Preuve.Rappelons queIest un intervalle si et seulement si pour tousx,y,zdansRtels quex < y < z, sixetzsont dansI, alorsyest dansI. Supposonsfstrictement croissante par exemple. Soity0dansf(I) etx0dansItel quef(x0) =y0. On va montrer quef-1est continue eny0. Pour cela, soitε >0. On va montrer qu"il existeα >0 tel que On va supposer quex0est un point int´erieur `aI(le cas o`ux0est un point fronti`ere de Isera analogue). On prend alorsε?>0 inf´erieur ou ´egal `aεsuffisamment petit pour que ]x0-ε?,x0+ε?[?I. Commefest strictement croissante, on af(x0-ε?)< f(x0) = y0< f(x0+ε?). Posonsα= min(y0-f(x0-ε?),f(x0+ε?)-y0). Clairement,α >0.
x x,x ?sont dansIet v´erifienty=f(x),y?=f(x?), alorsx≥x?impliquef(x)≥f(x?) soit y≥y?ce qui est absurde).1.4. Fonctions uniform´ement continues et lipschitziennes.
?1.4.1. D´efinition.Soient (E,d) et (E?,d?) deux espaces m´etriques. On dit que f:E→E?estuniform´ement continuesi et seulement si ?ε >0,?α >0,?x,y, d(x,y)< α?d?(f(x),f(y))< ε.74Chapitre 2.
On dit quef:E→E?estk-lipschitzienneaveck≥0 si et seulement si ?1.4.2. Remarque.Quelle est la diff´erence entre continuit´e et continuit´e uniforme ? la voici : dans la d´efinition de la continuit´e en un pointx0, leαd´epend dex0. Dans lad´efinition de la continuit´e uniforme, ceαne d´epend plus dex0. Il est le mˆeme quel que
soitx0dansE. Cette uniformit´e fait des fonctions uniform´ement continues des fonctions plus souples d"utilisation que les fonctions continues. ?1.4.3. Proposition. Sifest uniform´ement continue alorsfest continue. Sifetgsont uniform´ement continues, alorsf◦gaussi.IdEest uniform´ement continue.
Toute fonction lipschitzienne est uniform´ement continue.Preuve.Exercice 2.10.
?1.4.4. Proposition. SiAest un sous-ensemble deE, alorsdAla fonction distance `aAest1-lipschit- zienne.Toute fonctionf:I→Rd´efinie sur un intervalle deR, d´erivable et `a d´eriv´ee born´ee
est lipschitzienne.Preuve.Exercice 2.11.
1.4.5. D´efinition.Soitf: (E,d)→(E?,d?) une bijection. On dit quefest un
hom´eomorphisme uniforme si et seulement sifetf-1sont uniform´ement continues.1.5. Distances ´equivalentes.
1.5.1. D´efinition.SoitEun espace m´etrique.
?On dit que deux distancesd1etd2sonttopologiquement ´equivalenteset on note d1t≂d2si et seulement siId: (E,d1)→(E,d2) est un hom´eomorphisme.
On dit que deux distancesd1etd2sontuniform´ement ´equivalenteset on noted1u≂d2 si et seulement siId: (E,d1)→(E,d2) est un hom´eomorphisme uniforme. Enfin, on dit que deux distancesd1etd2sont´equivalenteset on noted1≂d2si et ?De mˆeme, siEest un espace vectoriel, deux normesN1etN2sont dites´equivalentes1.5.2. Proposition.
Deux normes ´equivalentes induisent deux distances ´equivalentes.Fonctions continues.75
Deux distances ´equivalentes sont topologiquement ´equivalentes. Il est donc in- diff´erent, topologiquement parlant, de travailler avec l"une ou l"autre des distances. On verra plus loin (cf. chapitre sur la compacit´e) que dans tous les espaces vectoriels norm´es de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes. Deux distances ´equivalentes sont uniform´ement ´equivalentes. Deux distances uni- form´ement ´equivalentes sont topologiquement ´equivalentes. ?d1≂td2si et seulement siId: (E,d1)→(E,d2)est continue etId: (E,d2)→(E,d1) est continue, soit si et seulement si tout ouvert pourd2est ouvert pourd1et si tout ouvert pourd1est ouvert pourd2. En particulier, deux distances sont topologiquement ´equivalentes si et seulement si toute suite convergente pour une distance est convergente vers la mˆeme limite pour l"autre distance. d1u≂d2si et seulement si pour toutε >0, il existeα1, α2>0tels que, pour toutPreuve.Exercice 2.12.
1.6. Applications lin´eaires continues, normes ´equivalentes.
Dans ce paragraphe, nous nous pla¸cons dans le cas o`u (E,?· ?E) et (F,?· ?F) sont deux espaces vectoriels norm´es surK=RouC. On noteraL(E,F) l"espace vectoriel des applications lin´eaires deEdansF,L(E,F) l"espace vectoriel des applications lin´eaires continues deEdansF. Nous avons le th´eor`eme suivant : ?1.6.1. Th´eor`eme.Soitf?L(E,F). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (1)f? L(E,F) (2)fest continue en un point au moins (3)fest continue en 0 (5)fest born´ee sur la boule unit´e ferm´ee (6)fest born´ee sur la sph`ere unit´e (7)fest uniform´ement continue. Preuve.Nous allons montrer que (1)?(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?(7)?(1). Il est clair que (1)?(2), (4)?(5)?(6) et que (7)?(1). Montrons que (2)?(3) : Soitflin´eaire deEdansF, continue enx0. On a donc f(x0+h)-→h→0f(x0). Or, f(h) =f(x0+h)-f(x0)-→h→00 et doncfest continue en 0. Montrons que (3)?(4) : Supposonsfcontinue en 0. Soitε >0. Il existe doncα >0En particulier, six?Eest non nul,???
αx ?x?E??? f? x?x?E?α?x?E.
76Chapitre 2.
Il reste `a v´erifier que (6)?(7). Soitflin´eaire deEdansFborn´ee sur la sph`ere unit´e parM. On va montrer quefestM-lipschitzienne. Pour cela, soientxetydans z=(x-y) ?1.6.2. Th´eor`eme et d´efinition.Soient(E,?·?E)et(F,?·?F)deux espaces vectoriels norm´es. Lorsquef? L(E,F), on pose ?f?= sup x?B?(0,1)?f(x)?F. Alors? ·?est une norme surL(E,F)dite associ´ee ou subordonn´ee aux normes?·?EetFsurE.
Preuve.En effet, si?f?= 0,fest nulle sur la boule unit´e, donc surEtout entier par homoth´etie. Pour le reste, on observe simplement qu"il s"agit de la norme sup sur un espace de fonctions born´ees. ?1.6.3. Caract´erisation.?f?est le plus petit nombrek≥0tel que, pour toutxdeE, on ait
Preuve.Revoyons la preuve du th´eor`eme 1.6.1 : il est clair que,k=?f?v´erife la ?1.6.4. Proposition.SoientE,FetGtrois espaces vectoriels norm´es. Sif? L(E,F) Preuve.En effet, pour toutx?E, on a, par applications successives de la d´efinition6.6.2 :
La caract´erisation donn´ee ci-dessus de?g◦f?comme "plus petit nombre tel que..." ?1.6.5. Th´eor`eme.SoitEun espace vectoriel,N1etN2deux normes etd1etd2les distances associ´ees. On a l"´equivalence : (i)N1etN2sont ´equivalentes (ii)d1etd2sont uniform´ement ´equivalentes (iii)d1etd2sont topologiquement ´equivalentes Preuve.On a vu que (i)?(ii)?(iii). (cf.remarque 6.5.2). Il reste `a v´erifier que (iii)?(i). Ord1etd2sont topologiquement ´equivalentes si et seulement si Id: (E,N1)→(E,N2) est un hom´eomorphisme. CommeIdest lin´eaire, on aIdqui estFonctions continues.77
mˆeme,Idest continue de (E,N2) dans (E,N1) si et seulement si il existeβ >0 tel que N2. Approximation.
?2.1. D´efinition.SoitXun ensemble, (E,d) un espace m´etrique. Soit (fn)nune suite d"applications deXdansE, etf:X→E. On dit que la suite (fn)converge simplement versfsi et seulement, pour toutx?X, la suite (fn(x))nconverge versf(x), soit si et seulement si On dit que la suite (fn)converge uniform´ement versfsi et seulement, ?2.2. Remarque. La diff´erence entre convergence simple et uniforme, est quele rangn0est ind´ependant dexdans le cadre de la convergence uniforme, ce qui n"est pas le cas pour la convergence simple. Si une suite de fonctions converge uniform´ement vers une autre fonction, alors il y a aussi convergence simple.Preuve.Exercice 2.13.
?2.3. Th´eor`eme.Soit(E,d)un espace m´etrique,Xun ensemble. SurB(X,E) l"ensemble des fonctions born´ees deXdansE, la convergence uniforme est d´efinie par la distanceD(f,g) = sup
x?Xd(f(x),g(x)). En d"autres termes, une suite(fn)converge uniform´ement versfsi et seulement siD(fn,f)→n→+∞0.
Preuve.Exercice 2.14.
?2.4. Th´eor`eme.Soient(E,d)et(E?,d?)deux espaces m´etriques. Soit(fn)une suite de fonctions deEdansE?qui converge uniform´ement versf:E→E?. Si, pour toutn?N,fnest continue, alorsfest continue. Si, pour toutn?N,fnest uniform´ement continue, alorsfest uniform´ement continue.Preuve.Exercice 2.15.
?2.5. Remarque.Attention ! Une limite simple de fonctions continues n"est pas forc´ement continue. Par exemple, sifn: [0,1]?x?→xn, alorsfnconverge simplement vers la fonctiong: [0,1]→Rqui `ax?[0,1[associe 0 et qui `a 1 associe 1. Cette fonction n"est pas continue.78Chapitre 2.
Exercices.
Exercices d"apprentissage.
Exercice 2.1.Montrez la proposition 1.1.2
Exercice 2.2.Montrez la proposition 1.1.3
Exercice 2.3.Montrez la proposition 1.1.4
Exercice 2.4.Montrez la proposition 1.1.5
Exercice 2.5.Montrez la proposition 1.1.6
Exercice 2.6.Montrez la proposition 1.2.2
Exercice 2.7.V´erifiez les points non d´emontr´es dans le point 1.2.5.Exercice 2.8.Montrez la proposition 1.2.6
Exercice 2.9.Montrez la proposition 1.2.7
Exercice 2.10.Montrez la proposition 1.4.3
Exercice 2.11.Montrez la proposition 1.4.4
Exercice 2.12.Montrez la proposition 1.5.2 (sauf le trois`eme point).Exercice 2.13.Montrez la remarque 2.2.
Exercice 2.14.Montrez la th´eor`eme 2.3.
Exercice 2.15.Montrez la th´eor`eme 2.4.
Exercices d"approfondissement.
Exercice 2.16.Soient (E,d) et (F,d?) deux espaces m´etriques etf:E→Fune application continue surjective etAune partie dense deE. Montrer quef(A) est dense dansF. Exercice 2.17.Soit (E,d) un espace m´etrique. Montrer les propri´et´es suivantes : i. La diagonale Δ ={(x,x) :x?E}est ferm´ee dansE×E. ii. Pour toutx?E, l"intersection des voisinages de ferm´es dexest ´egale `a{x}. iii. Les singletons sont ferm´es dansEet tout ensemble fini est ferm´eFonctions continues.79
iv. Sif,g:E→Fsont deux applications continues deEvers un espace m´etriqueF, alors l"ensembleA={x?E:f(x) =g(x)}est ferm´e dansE.Exercice 2.18.Soit (E,d) un espace m´etrique.
1.Pour toute partieAnon vide deE, montrer que l"application
dA:x?→dA(x) =d(x,A)
est continue deEdansR.2.SoientFetGdeux ferm´es disjoints deE. En utilisant les fonctionsdFetdG,
construire une fonction continuefdeEdans [0,1] qui vaut 0 surFet 1 surG.3.En d´eduire qu"il existe deux suites d"ouverts disjoints (O1n)net (O2n)net deux suites
de ferm´es disjoints (F1n)net (F2n)ntelles que :F?O11?F11?O12?...?O1n?F1n?O1n+1?...
etG?O21?F21?O22?...?O2n?F2n?O2n+1?... Exercice 2.19.Soient (E1,d1) et (E2,d2) deux espaces m´etriques et soit (E,d) l"espace m´etrique produit muni de la distanced((x1,x2),(y1,y2)) =d1(x1,y1) +d2(x2,y2).1.Montrer que les projections canoniquesπi:E→Ei,i= 1,2 sont ouvertes, c"est-`a-dire
qu"elles envoient tout ouvert deEen un ouvert deEi.2.Montrer sur un exemple que la projection d"un ferm´e peut ne pas ˆetre un ferm´e.
3.SoientA1etA2deux parties deE1etE2respectivement. Montrer que
A1×A2=¯A1ׯA2.
Exercice 2.20.Continuit´e uniforme.
1.Soitf: (E,d)→(F,d?) une application. Montrez que, si il existe deux suites (xn) et
(yn) telles que limn→+∞d(xn,yn) = 0 et limn→+∞d?(f(xn),f(yn))>0, alorsfn"est pas uniform´ement continue.2.´Etudier la continuit´e uniforme des applications suivantes :f1:R?x?→sinx?R,
f x?R. Exercice 2.21.Distance discr`ete.SoitEun ensemble etδla distance d´efinie parδ(x,y) = 0 six=yetδ(x,y) = 1 six?=y.
1.Montrer que toute applicationf: (E,δ)→(F,d) o`u (F,d) est un espace m´etrique
quelconque est continue.2.Soitd2la distance euclidienne surRn.
2.1.Montrer quex?→xde (Rn,δ)→(Rn,d) est uniform´ement continue.
2.2.Montrer qu"une bijection de (Rn,d)→(Rn,δ) n"est continue en aucun point.
Exercice 2.22.
Soitf:R→R, uniform´ement continue. Montrer qu"il existe des constantesa,b positives telles queA-t-on la r´eciproque ?
80Chapitre 2.
Exercice 2.23.SoitIun intervalle deRetfune application deIdansRtelle que1.Siα >1, montrer quefest constante.
non lipschitzienne avecα <1.3.Trouverfuniform´ement continue ne v´erifiant aucune des conditionsHα. (on admettra
qu"une fonction continue sur un compact est uniform´ement continue).Exercice 2.24.L"espace
R.On rappelle queR=R? {+∞,-∞}. Soitf:R→R d´efinie parquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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