[PDF] Université Paris-Dauphine — Mise à niveau en analyse

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Université Paris-Dauphine

Mise à niveau en analyse

Paul Pegon

2020-2021

Table des matières

1 Analyse dans les espaces métriques

2

1.1 Généralités

2

1.2 Complétude

4

1.3 Compacité

8

1.4 Exercices

12

2 Espaces vectoriels normés

13

2.1 Généralités

13

2.2 Espaces vectoriels normés de dimension finie

15

2.3 Espaces de Banach

17

2.4 Espaces de Hilbert

18

2.5 Exercices

25

3 Théorie de la mesure

27

3.1 Tribus et mesures

27

3.2 Construction et caractérisation de mesures

31

3.3 Construction de l"intégrale de Lebesgue

32

3.4 Mesures de Borel et de Radon

37

3.5 Exercices

38

4 EspacesLp40

40

4.2 Généralités

41

4.3 Convolution

45

4.4 Transformée de Fourier

53

4.5 Exercices

56

5 Calcul différentiel

57

5.1 Généralités

57

5.2 Cas réel

58

5.3 Un peu d"optimissation

59

5.4 Inversion locale et fonctions implicites

60
1

1 Analyse dans les espaces métriques

ButParler de convergence et de continuité (notions topologiques), de manière quanti- fiée et séquentielle (cadre métrique).

1.1 Généralités

Définition 1.1(Distance et espace métrique).Unedistancesur un ensembleXest une fonctiond:X×X→R+telle que pour tousx,y,z?X, (i)d(x,y) = 0??x=y(séparation), (ii)d(x,y) =d(y,x)(symétrie), Un ensemble muni d"une distance, c"est-à-dire un couple(X,d), est appelé unespace métrique. Remarque1.2 (Inégalité triangulaire renversée).Une distance vérifie automatiquement une inégalité triangulaire renversée : pour tousx,y1,y2. Exercice 1.1.Si(X,d)est un espace métrique, démontrer l"inégalité triangulaire ren- Les espaces métriques sont un bon cadre pour commencer à faire de l"analyse : convergence, limite, continuité, notions topologiques se manipulent de façon intuitive et agréable.

Vocabulaire

Dans un espace métrique(X,d)on peut parler de : Boule ouverteB(x,r) ={y?X:d(x,y)< r}pour toutx?X,r≥0. Ensemble ouvertOest ouvert si pour toutx?O, il exister >0tel queB(x,r)?O.

Exercice 1.2.Soit(X,d)un espace métrique.

1. Mon trerque si R >0ety?B(x,R), alors il existe0< r < Rtel queB(y,r)? B(x,R). En déduire qu"une boule ouverte est ouverte. 2. Mon trerqu"un ensem bleOest ouvert si et seulement si c"est une réunion de boules ouvertes. 3. Mon trerque l"in tersectiond"un nom brefini de b oulesouv ertesest ouv erte. Ensemble ferméFest fermé si son complémentaireX\Fest ouvert. 2 Intérieurxestintérieur àA?Xsi il exister >0tel queB(x,r)?A. L"ensemble des

points intérieurs àA, noté◦A, estl"intérieur deA. C"est un ouvert (le démontrer!).

Adhérence (ou fermeture)xest un point adhérent àA?Xsi pour toutr >0, B(x,r)∩A?=∅. On note¯Al"adhérence deA, c"est-à-dire l"ensemble de ses points adhérents. C"est un fermé (le démontrer!).

DensitéUne partieA?XestdensedansXsi¯A=X.

SéparabilitéL"espace(X,d)estséparables"il admet une partie dénombrable dense. FrontièreLa frontière deA?Xest∂A=¯A\◦A. Remarque1.3.Attention, dans l"espace euclidien(Rd,?·?2), on a (i)B(x,r) =Bf(x,r) (ii) ◦B f(x,r) =B(x,r) (iii)∂B(x,r) =S(x,r):={y:d(x,y) =r}, mais ces propriétés ne sont pas vraies en général dans un espace métrique quelconque. Exercice 1.3.Si(X,d)est un espace métrique, a-t-on toujoursB(x,r) =Bf(x,r)? ◦B f(x,r) =B(x,r)?∂B(x,r) =S(x,r)? Application continuef: (X,d)→(X?,d?)estcontinue enx0si ?ε >0,?δ >0,?x?X,d(x,x0)< δ=?d?(f(x0),f(x))< ε. Elle est ditecontinuesi elle est continue en tout point. Application uniformément continuef: (X,d)→(X?,d?)est uniformément continue si ?ε >0,?δ >0,?x,y?X,d(x,y)< δ=?d?(f(x),f(y))< ε. Application Lipschitziennef: (X,d)→(X?,d?)estK-lipschitzienne oùK≥0si Lorsquefest Lipschitzienne, on note Lip(f)la plus petite constanteKtelle que fsoitK-Lipschitzienne. Exercice 1.4.Donner un exemple de fonction continue mais non uniformément conti- nue, ainsi qu"un exemple de fonction uniformément continue qui n"est pas Lipschitzienne. Valeur d"adhérence?est valeur d"adhérence d"une suite(xn)si ?ε >0,?N,?n≥N,d(xn,?)< ε. 3 Limite en un pointSoitf: (X,d)→(X?,d?),x0?X,??X?etA?X. On dit quef admet?pour limite lorsquextend versx0selonA, notélimx→x0,x?Af(x) =?si ?ε >0,?r >0,?x?A,d(x,x0)< r=?d?(f(x),?)< ε. LorsqueAn"est pas précisé, on considère queA=X. Exercice 1.5.Soit(xn)une suite dans un espace métrique(X,d). Les assertions sui- vantes sont équivalentes : (i)?est valeur d"adhérence de(xn), (ii)??? n{xp:p≥n}, (iii) il existe un esous-suite (xφ(n))telle quelimxφ(n)=?.

Caractérisations séquentielles

Dans un espace métrique, la plupart de ces définitions admettent des caractérisations séquentielles (en terme de suites). Proposition 1.4(Caractérisations séquentielles).Dans un espace métrique(X,d): un p ointx?Xest adhérent àA?Xsi et seulement s"il existe une suite(xn)?A telle quexn→x, une p artieA?Xest fermée si et seulement pour toute suite(xn)?Aconvergeant vers une limite?, nécessairement??A, -limxn→x?,xn?Af(x) =?si et seulement si pour toute suite(xn)?Atendant vers x ?,limnf(xn) =?, -fest continue enx?si et seulement pour toute suite(xn)tendant versx?,limf(xn) = f(x?), -fest uniformément continue si et seulement si pour toutes suites(xn),(yn)telles quelimnd(xn,yn) = 0, on alimnd?(f(xn),f(yn)) = 0.

1.2 Complétude

IntérêtAssurer l"existence de limite sans la connaître a priori. Obtenir des théorèmes

d"existence en analyse, de solutions d"équations différentielles notamment, par exemple par le théorème du point fixe de Picard. Également, comme on le verra, la complétude est un " morceau » de compacité. Définition 1.5(Suite de Cauchy, espace complet).Soit(X,d)un espace métrique. Une suite(xn)?Xestde Cauchysi Si toute suite de Cauchy dans(X,d)est convergente, on dit que l"espace métrique(X,d) estcomplet. 4

Exemple1.6.Les espaces suivantes sont complets :

-Rmuni de la distance absolued(x,y) =|y-x|, les espaces v ectorielsnormés de dimension finie (par exemple Rd), comme on le verra, l"espace C([0,1],R)des fonctions continues sur[0,1]muni de la distance uniforme d(f,g) = supx|f(x)-g(x)|, l"espace ?p(N,R):={u= (un)n?N?RN:? n|un|p<+∞}muni de la distance d p(u,v) = (? n|un-vn|p)1p Exercice 1.6.SoitEun ensemble et(X,d)un espace métrique. On noteYl"espace des fonctions deEdansX. Construire une distanceδsurYqui métrise la convergence uniforme, i.e. telle quefn→funiformément si et seulement siδ(fn,f)→0. Exemple1.7.Les espaces suivants ne sont pas complets : -Qmuni de la distance absolue : par exemple(1+1n )ntend versedansReten"est pas rationnel, -X=]0,1[: par exemplexn= 1-1n converge dansRvers1donc est de Cauchy dansRdonc dans]0,1[, mais1??Xdoncxnne converge pas dansX, par unicité de la limite éventuelle dansX, l"espace R[X]des polynômes réels muni de la distanced(f,g) =?f-g?induite par n"importe quelle norme?·?(on le verra plus loin), -C([0,1],R)muni de la distanceL1:d1(f,g) =?1

0|f-g|.

Proposition 1.8.Soit(un)une suite dans un espace métrique(X,d). On a (un)converge=?(un)est de Cauchy=?(un)est bornée. Évidemment, en général les sens réciproques sont faux. Remarque1.9.La notion de suite de Cauchy, et donc de complétude, est une notion métrique (ou plus généralementuniforme), et non purement topologique : il nous faut une distance pour pouvoir la définir. Quelques théorèmes importants dans les espaces complets

Théorème 1.10(Théorème des fermés emboîtés).Soit(Fn)une suite de parties fermées

non vides d"un espace métrique complet(X,d)tels que (i)Fq?Fppour toutq≥p, (ii)diamFn→0.

Dans ce cas, l"intersection

n?NFnest réduite à un singleton. Remarque1.11.Cette propriété caractérise la complétude. 5 Démonstration.Choisissons pour chaquenun pointxn?Fn. Montrons que la suite(xn) Par conséquent, l"espace étant complet,(xn)tend vers une limtex?. Étant donnén?N, x p?Fnpour toutp≥n, orFnest fermé doncx?= limxp?Fn. Ceci étant vrai pour toutn,x??? nFn.

Enfin,diam?

nFn= 0, de sorte que? nFn contient au plus un point (sinon, deux point sont à distance strictement postive, donc le diamètre est aussi strictement positif). Au final nF n=x?.Exercice 1.7(Théorème de Baire).Il s"agit de montrer que toute intersection dénom- brables d"ouverts denses dans un espace métrique complet est encore dense. Soit donc (X,d)un espace complet et(On)n?Nune suite d"ouverts denses. 1. tels queBf(x1,r1)?

B(x0,r0)∩O0.

2. Construire des suites (xn)n,(rn)ntelles queBf(xn+1,rn+1)?B(xn,rn)∩Onet 3. En déduire l"existence d"un élémen tx??B(x,r0)∩? nOn. 4.

Conclure.

5. Application : Mon trerque (R[X],?·?)n"est jamais complet, peu importe la norme. Remarque1.12.Ce théorème permet de démontrer le théorème de Banach-Steinhaus dans le cadre des espaces vectoriels normés, source de beaucoup de contre-exemples en analyse (sur l"approximation des applications continues par des polynômes ou polynômes trigonométriques notamment). Théorème 1.13(Prolongement des appplications uniformément continues).Soitf: A?(X,d)→(X?,d?)définie sur une partie denseAdeX" à valeurs dans un espace completX?. Sifest uniformément continue surA, alors elle admet un unique prolon- gement continu sur toutX, et ce prolongement est uniformément continu. Démonstration.Soitx?Xet(xn)?Aune suite tendant versx(une telle suite existe par caractérisation séquentielle d"un point adhérent). Puisque(xn)est convergente, elle est de Cauchy. Commefest uniformément continue, la suite(f(xn))est également de Cauchy. En effet, soitε >0. Prenonsδ >0tel que pour toutx,y,d(x,y)< δ=? d ?(f(x),f(y))< ε, qui existe par définition de la continuité uniforme. Puisque(xn)est de Cauchy, il existe un rangNtel que pour tousp,q≥N, on aitd(xp,xq)< δ, de sorte qued(f(xp),f(xq))< εpour tousp,q≥N. L"espace(X?,d?)étant complet, la suite(f(xn))converge vers une limite?, qui dépend a priori de la suite(xn). Montrons qu"elle n"en dépend en fait pas. Si(yn)est une autre 6 suite tendant versx, le même raisonnement conduit à ce que(f(yn))converge vers une par caractérisation séquentielle de la continuité uniforme,limd(f(xn),f(yn)) = 0. Or par l"inégalité triangulaire renversée, la fonction distance est continue, donc lim nd(f(xn),f(yn)) =d(?,??), d"où?=??par l"axiome de séparation de la distance. On a ainsi montré que pour tout x?X, il existe?x?X?tel que ?(xn)?AN,limnxn=x=?limnf(xn) =?x. On pose alors pour toutx?X,¯f(x) =?x. Par construction, six?Aalorsf(x) =¯f(x) (prendre la suite constante égale àx), de sorte que¯fprolongef. Montrons que¯fest uniformément continue. Soitε >0. Prenonsδ >0tel que pour toutx,y?A,d(x,y)< δ=?d?(f(x),f(y))< ε. Soit alorsx,y?Xtels que d(x,y)< δ/2. Par définition de¯f, il existe des suites(xn),(yn)d"éléments deAtendant respectivement versx,yet tels quelimf(xn) =¯f(x),limf(yn) =¯f(y). Pournassez grand,d(xn,yn)< δ, de sorte qued?(f(xn),f(yn))< ε. En passant à la limite dans cette L"unicité d"un prolongement continu se déduit immédiatement de la continuité d"un

prolongement et de la densité deA.Exercice 1.8(" Prolongement de la limite »).Soit(fn)une suite de fonctions de(X,d)

dans(X?,d?)où(X?,d?)est complet. On suppose que cette suite est uniformément équi- continue, au sens où : ?ε >0,?δ >0,?n,?x,?X,d(x,y)< δ=?d?(f(xn),f(yn))< ε. Montrer que si(fn)converge simplement sur une partie denseA?X, alors elle converge simplement sur toutX, et que la limitefest uniformément continue. Théorème 1.14(Théorème du point fixe de Picard).Soitf: (X,d)→(X,d)où(X,d) est complet. On suppose quefestk-contractante : Alors -fadmet un unique point fixex?, la su ite(xn)définie par? ????x 0?X x n+1=f(xn)converge à vitesse linéaire versx?. Plus précisément : 7

Démonstration.Par récurrence immédiate

d(xn+1,xn) =d(f(xn),f(xn-1)

Pour toutn,p≥0, on a donc

(n+p-1? i=nki) d(x1,x0) i≥nki) d(x1,x0) kn1-kd(x1,x0). Par conséquence,xnest de Cauchy, donc elle est convergente vers une certaine limite? par complétude de(X,d). Par continuité def, en passant à la limite dans la relation x n+1=f(xn)on trouve?=f(?)et?est un point fixe def. Si??est un autre point fixe, on a ork <1donc nécessairement?=??. La fonctionfadmet donc un unique point fixe ce qui conclut.Remarque1.15.Il existe nombre de variantes du théorème de point fixe de Picard. Dans certaines,fdépend en plus d"un paramètre supplémentaireλ, et sous certaines hypothèses le point fixex?λest régulier par rapport au paramètre.

1.3 Compacité

IntérêtTrouver des sous-suites convergentes, obtenir des théorèmes d"existence (équa- tions aux dérivées partielles d"origine variationnelle par exemple).

Généralités

Dans cette partie(X,d)désigne un espace métrique quelconque. Un recouvrement d"une partieA?Xest une famille de parties(Ci)i?IdeXtelles queA?? iCi. 8 Définition 1.16(Compacité, précompacité, compacité relative).-(X,d)estcom- pactsi de tout recouvrement d"ouverts, on peut en extraire un recouvrement fini (c"est lapropriété de Borel-Lebesgue). -(X,d)estprécompactsi pour toutε >0,Xpeut-être recouvert par un nombre fini de boules ouvertes de rayonε. Une partie A?Xest relativement compact si¯Aest compact. Remarque1.17.La compacité (resp. précompacité) est une notion intrinsèque, relative àquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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