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X. Oudot

Avec la participation de H. Cerf-Danon & de V. Lods MATHS

MP/MP*

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PROGRAMME

MATHS

VUIBERTSOMMAIRE

1. Groupes - 2. Anneaux et corps - 3. Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée

- 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées - 5. Convexité - 6. Espaces vectoriels normés

- 7. Topologie des espaces vectoriels normés - 8. Espaces préhilbertiens réels - 9. Endomorphismes

des espaces euclidiens - 10. Séries numériques et vectorielles - 11. Familles sommables de nombres

réels - 12. Suites et séries de fonctions - 13. Séries entières - 14. Fonctions vectorielles Arcs paramétrés

- 15. Intégration sur un intervalle quelconque - 16. Probabilités sur un univers au plus dénombrable

- 17. Variables aléatoires discrètes - 18. Équations différentielles linéaires - 19. Calcul différentiel

Les auteurs :

Xavier Oudot est professeur de chaire supérieure de mathématiques Avec la participation, pour les chapitres de probabilité, d'Hélène Cerf-Danon et de Véronique Lods, professeures de chaire supérieure en classes préparatoires au lycée

Louis-le-Grand à Paris.

, des ouvrages pour faire la différence : - Des cours complets pour acquérir les connaissances indispensables - Des ches de synthèse et de méthodes pour réviser l'essentiel et acquérir les bons ré exes - De nombreux exercices intégralement corrigés pour s'entraîner :

Vrai/faux et exercices d'application

- Des sujets de concours corrigés pour se mettre en situation d'épreuve MATHS

MP/MP*

www..frISBN : 978-2-311-40024-3 MP

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Sicogif Certified PDF LES PAOISTES

Avant-propos

Cet ouvrage vous propose, en un seul volume, toutes les clés nécessaires pour réussir votre année de mathématiques en MP/MP*.

Cours complet

Rigoureusement conforme aux nouveaux programmes, il contient tous les outils pour acquérir les connaissances et les savoir-faire indispensables.

Fiches de synthèse et de méthodes

Pour une révision efficace avant les kholles ou les épreuves, l"essentiel du cours est pré-

senté de manière synthétique sous forme de fiches de révision et complété par de nom-

breux conseils méthodologiques pour acquérir les bons réflexes.

Vrai/faux

Première étape vers l"entraînement, des vrais/faux vous permettent de tester rapide- ment la compréhension du cours.

Exercices d"application

Application directe du cours, ces nombreux exercices sont assortis d"un corrigé détaillé. Chacun à un niveau de difficulté clairement identifié :,ou.

Sujets de concours

Pour se mettre en situation d"épreuves, une sélection d"exercices extraits de sujets de concours vous est proposée. Tous ces exercices sont intégralement corrigés.1

Table des matières

Préface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Chapitre 1.Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71. Groupes et sous-groupes7- 2. Morphismes de groupes10- 3. Groupes finis13-Synthèse et

méthodes

18 -Exercices19 -Corrigés23

Chapitre 2.Anneaux et corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1. Anneaux et sous-anneaux31- 2. Inversibilité, intégrité34- 3. Idéaux d"un anneau commuta-

tif38- 4. AnneauxZ=nZ39- 5. AnneauK[X]45- 6. Algèbres49-Synthèse et méthodes53 -

Exercices

55 -Corrigés61

Chapitre 3.Éléments propres d"un endomorphisme ou d"une matrice carrée. . . . . . . . . .71

1. Généralités71- 2. Valeurs propres, vecteurs propres73- 3. Éléments propres en dimen-

sion finie75- 4. Polynômes d"un endomorphisme81- 5. Théorème de Cayley-Hamilton85 - 6. Théorème de décomposition des noyaux87-Synthèse et méthodes89 -Exercices90 -

Corrigés

95

Chapitre 4.Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. . . . . . . . . . . . . . . .105

1. Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables105- 2. Endomorphismes et matrices car-

rées trigonalisables110- 3. Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes114- 4. Trigonali- sationàl"aidedessous-espacescaractéristiques117-Synthèseetméthodes122 -Exercices124 -Corrigés130

Chapitre 5.Convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

1. Géométrie affine dans un espace vectoriel réel141- 2. Barycentres142- 3. Parties convexes

d"un espace vectoriel réel146- 4. Fonctions convexes d"une variable réelle148- 5. Fonctions

convexes dérivables, deux fois dérivables152- 6. Exemples d"inégalités de convexité155-

Synthèse et méthodes

159 -Exercices161 -Corrigés165

Chapitre 6.Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

1. Normes et distances173- 2. Suites d"éléments d"un espace vectoriel normé181-Synthèse et

méthodes

189 -Exercices191 -Corrigés197

Chapitre 7.Topologie des espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

1. Topologie d"un espace normé207- 2. Étude locale d"une application216- 3. Applications

linéaires continues225- 4. Compacité228- 5. Connexité par arcs233-Synthèse et mé- thodes

238 -Exercices240 -Corrigés247

Chapitre 8.Espaces préhilbertiens réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

d"un espace euclidien266- 4. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie267 - 5. Suites totales de vecteurs271-Synthèse et méthodes276 -Exercices278 -Corrigés287 2

Table des matières

Chapitre 9.Endomorphismes des espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3051. Isométries vectorielles305- 2. Matrices orthogonales310- 3. Isométries vectorielles d"un plan

euclidien314- 4. Isométries d"un espace euclidien de dimension3318- 5. Endomorphismes symétriques322-Synthèse et méthodes327 -Exercices329 -Corrigés335

Chapitre 10.Séries numériques et vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347

1. Séries d"éléments d"un espace vectoriel normé347- 2. Convergence absolue348- 3. Complé-

mentssurlessériesnumériques353-Synthèseetméthodes360 -Exercices362 -Corrigés367

Chapitre 11.Familles sommables de nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .375

1. Dénombrabilité375- 2. Familles sommables de nombres réels ou complexes378- 3. Séries

doubles383-Synthèse et méthodes388 -Exercices390 -Corrigés394

Chapitre 12.Suites et séries de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399

1. Convergence d"une suite de fonctions399- 2. Convergence d"une série de fonctions404-

tions409- 5. Approximation des fonctions d"une variable réelle412-Synthèseetméthodes416 -Exercices419 -Corrigés425

Chapitre 13.Séries entières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437

1. Séries entières d"une variable complexe437- 2. Opérations sur les séries entières442- 3. Étude

sur le disque ouvert de convergence445- 4. Série entière d"une variable réelle446- 5. Dévelop-

pement en série entière448-Synthèse et méthodes452 -Exercices454 -Corrigés462

Chapitre 14.Fonctions vectorielles Arcs paramétrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .477

1. Dérivation des fonctions vectorielles477- 2. Fonctions de classeCk480- 3. Intégration sur un

segment481- 4. Formules de Taylor488- 5. Arcs paramétrés492-Synthèse et méthodes497 -

Exercices

499 -Corrigés505

Chapitre 15.Intégration sur un intervalle quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .521

1. Intégrale généralisée sur un intervalle de la forme[a,+1[521- 2. Intégrabilité sur n intervalle

de la forme[a,+1[523- 3. Intégration sur un intervalle quelconque527- 4. Suites et séries de

fonctions intégrables533- 5. Intégrales dépendant d"un paramètre537- 6. Quelques notions sur

la transformation de Laplace544-Synthèse et méthodes548 -Exercices551 -Corrigés560

Chapitre 16.Probabilités sur un univers au plus dénombrable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .581

1. Espace probabilisé581- 2. Conditionnement591- 3. Indépendance594-Synthèse et

méthodes

599 -Exercices603 -Corrigés607

Chapitre 17.Variables aléatoires discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .615

1. Variables aléatoires discrètes615- 2. Couple de variables aléatoires620- 3. Espérance626

- 4. Loi faible des grands nombres639- 5. Fonctions génératrices640- 6. Lois usuelles643-

Synthèse et méthodes

648 -Exercices657 -Corrigés667 3

Table des matières

Chapitre 18.Équations différentielles linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683

1. Équations différentielles linéaires d"ordre 1683- 2. Résolution de l"équation homogène689-3. Résolution de l"équation complète691- 4. Équations linéaires à coefficients constants693

- 5. Équations différentielles scalaires696-Synthèse et méthodes702 -Exercices704 -Corri-

gés 709

Chapitre 19.Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .719

1. Applications différentiables719- 2. Opérations sur les applications différentiables723- 3. Cas

des fonctions numériques727- 4. Fonctions de classeC1731- 5. Dérivées partielles d"ordre supérieur734-Synthèse et méthodes738 -Exercices739 -Corrigés747

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .761

4

PréfaceDepuis leur création à la fin duXIXesiècle (par Henri Vuibert, alors plus jeune agrégé de ma-

thématiques de France) les Éditions Vuibert proposent des manuels scientifiques rédigés par les

meilleurs auteurs, tous professeurs passionnés par leur discipline et leur enseignement. Ce fut donc avec un très grand plaisir que je fus contacté pour diriger une nouvelle collec-

tion d"ouvrages scientifiques destinés aux étudiants préparationnaires, en adéquation avec les

nouveaux programmes de la rentrée 2013. Nous avons réuni pour cette tâche difficile des auteurs de grand talent, aussi bien pour leur

qualification disciplinaire que pour leur désir de communiquer leur savoir à un public de plus en

plus hétérogène. Entre 1980 et 2010, le nombre d"étudiants de CPGE scientifique a plus que doublé, de nouvelles sections ont vu le jour, des classes ont ouvert dans un grand nombre de villes; pendant cette

période, la formation initiale scientifique des élèves à la sortie de l"enseignement secondaire

a beaucoup évolué, en même temps que s"érodait le nombre d"heures alloué aux disciplines

scientifiques.

L"écart s"est donc creusé entre la terminale et les classes préparatoires aux grandes écoles. Il

revient alors aux manuels, comme aux professeurs, de faire preuve de qualités pédagogiques

exceptionnelles, sans jamais sacrifier la rigueur indispensable qui est une des forces de l"enseigne-

ment supérieur "à la française». C"est dans ce but que les livres de la collection Vuibert Prépas

ont été pensés et rédigés. Ils sont destinés au plus grand nombre et visent à amener ce plus grand

nombre au niveau de l"excellence.

Le rôle d"un manuel de classe préparatoire n"est pas évident. Les étudiants disposent déjà de

leurs notes de cours, et parfois de polycopiés, provenant d"enseignants fort compétents. Mais

chacun sait qu"on observe mieux une statue et qu"on en apprécie mieux la beauté en la regardant

sous différents angles; il en est de même des disciplines scientifiques dans lesquelles une diversité

d"approches ne peut que faciliter la compréhension et l"assimilation de notions a priori abstraites

et difficiles. En ce sens, les ouvrages de la collection " Vuibert Prépas » constituent une aide

conséquente pour les élèves de CPGE scientifiques. À lire ces ouvrages, que ce soit dans les disciplines qui sont les miennes, Mathématiques et Informatique ou dans des disciplines qui me sont moins familières comme la Physique, la Chimie

ou les Sciences de l"Ingénieur, je ne peux être qu"admiratif devant le talent des auteurs de toutes

origines qui, dans des délais très courts, ont eu à coeur de faire passer leur amour pour la science

et pour son enseignement. Je suis certain que le public préparationnaire partagera mon enthousiasme pour cette collection qui marque le retour des éditions Vuibert au service de ces filières.

Denis Monasse5

COURS5Chapitre

Convexité

Dans tout ce chapitre,Edésigne un espace vectoriel sur le corps des réels.

1. Géométrie affine dans un espace vectoriel réel

1.1. Points et vecteurs

Les éléments de l"espace vectorielEpeuvent être considérés tantôt comme despoints, tantôt

comme desvecteursreliant deux points. Si deux élémentsaetbdeEsont notés comme des points AetB, on définit le vecteur!AB=ba. On pourra écrireB=A+!AB, mais on n"écrira jamais de somme ou de différence de deux points. Comme points et vecteurs sont éléments d"un même ensemble, cette distinction est purement subjective. Elle permet d"avoir une vision géométrique dans laquelle tous les points jouent le

même rôle, tandis qu"il existe un vecteur particulier : le vecteur nul. Le choix d"uneorigineO,

qui peut être quelconque, permet de modifier à volonté la correspondance point/vecteur, en identifiant un pointMet le vecteur!OM.

1.2. Sous-espace affine deEDéfinition 5.1. Sous-espace affine

Une partieFdeEest appeléesous-espace affinedeEs"il existe un sous-espace vectorielF0 deEtel que : •8(A,B)2F2,!AB2F0 •8A2F,8x2F0,A+x2F Le sous-espace vectorielF0est appelédirectiondu sous-espace affineF, ouespace vectoriel sous-jacentàF.Remarque Un sous-espace affine non nulFest défini par un pointO2Fet sa directionF0.141

Mathématiques MP / MP*

Exemples

•SiAetBsont deux points distincts, la droite(AB)est le sous-espace affine passant par

A, de direction Vect(!AB).

SiA,B,Csont trois points non alignés, le plan(ABC)est le sous-espace affine passant parA, de direction Vect(!AB,!AC). Nous verrons dans le chapitre 18 que l"ensemble des solutions d"une équation diffé- rentielle linéaire est un sous-espace affine de l"espace des fonctions, défini par une homogène associée.2. Barycentres Dans la suite du chapitre, les éléments deEseront toujours appelés points.

2.1. Barycentre d"un système de points pondérésDéfinition 5.2. Point pondéré d"un espace vectoriel réel

On appellepoint pondéré(x,)un élément deER. Le réelest appelécoefficient(ou, dans

les applications en physique,masse) du point pondéré(x,).Définition 5.3. Barycentre d"un système de points pondérés

Soit(xi,i)i2[[1,n]]une famille finie de points pondérés deEdont la somme des coefficients nP i=1 iest non nulle. On appellebarycentrede la famille(xi,i)le pointgdeEdéfini par : g=n P i=1 ixin P i=1 i Si tous les coefficients sont égaux,Gest appeléisobarycentrede la famille.Remarque En notation affine, la relation définissant le barycentreGde la famille(Ai,i): OG=n P i=1 i!OAin P i=1 i142 Chapitre 5 - ConvexitéCOURSest indépendante du pointOchoisi. Elle équivaut à : n X i=1 i!GAi=0Exemples

S iAetBsont deux points distincts :

l"isobarycentre de(A,B)est le milieu du segment[AB].AGB!

GA+!GB=~0;!OG=!OA+!OB2

le barycentre de(A,1),(B,2)est le point qui partage le segment[AB]aux 2/3.AGB!

GA+2!GB=~0;!OG=!OA+2!OB3

le barycentre du système(A,1),(B,2)est le symétrique deApar rapport àB.ABG!

GA2!GB=~0;!OG=!OA+2!OB

S iA,B,Csont trois points non alignés :

l"isobarycentre de(A,B,C)est le point de concours des trois médianes du triangle ABC.A BCG!

GA+!GB+!GC=~0;!OG=!OA+!OB+!OC3

le barycentre du système(A,1),(B,1),(C,1)est le pointGtel queAGCBsoit un parallélogramme.A BCG

GA!GB+!GC=~0;!OG=!OA!OB+!OC3

Sidim(E) =3et siA,B,C,Dsont quatre points non coplanaires, tout point deEest

barycentre de ces points affectés de coefficients convenablement choisis.Application (En physique ou en sciences de l"ingénieur)

Si(Ai)est un système de points matériels, de masses respectives(mi), le barycentre de la famille(Ai,mi)est appelécentre de masseoucentre de gravitédu système. C"est le point

d"application de la résultante des poids des points du système. Si ces points sont reliés par

des tiges rigides de masses négligeables, c"est le point où il faut suspendre le système (ou le

poser sur une pointe) pour qu"il tienne en équilibre.143

Mathématiques MP / MP*

A BCG

Figure 5.1

.Ici,mA=mB=1g;mC=2g. Le système est suspendu au pointG, barycentre du système(A,1),(B,1),(C,2). C"est le milieu du segment joignantCau milieu de[AB].

La théorie de l"intégration permet de généraliser cette notion à un ensemble infini de points

matériels formant un solide.Proposition 5.1. Soit(Ai)i2[[1,n]]une famille finie de points deE. L"ensemble des barycentres de ces points affectés de masses quelconques de somme non nulle est le plus petit sous-espace affine contenant tous ces points.Démonstration SoitF0=Vect!AiAj,(i,j)2[[1,n]]2. Il est clair que : S iGetG0sont deux barycentres des pointsAi,!GG02F0. SiGest un barycentre des pointsAiet~x2F0, alorsG+~xest encore un barycentre des Ai. L"ensemble des barycentres des pointsAiest donc bien un sous-espace affine deE. De plus, tout sous-espace affine deEcontenant tous les pointsAicontient nécessairement tous les barycentres de ces points.2.2. Propriétés des barycentres Dans la suite du chapitre, les éléments deEseront toujours appelés points.Proposition 5.2.

1.Commutativité

Le barycentre d"un système est indépendant de l"ordre des points pondérés.

2.Homogénéité

Le barycentre d"un système est inchangé si l"on multiplie toutes les masses par un même réel non nul.

3.Associativité

Le barycentre d"un système est inchangé si l"on remplace un sous-système de masse totale non nulle par son barycentre partiel affecté de cette masse.144

Chapitre 5 - ConvexitéCOURSDémonstration

1.

La commutativité est évidente .

2. Le barycentre est inchangé si l"on remplace, pour touti2[[1,n]],ipariavec2R.

3.Soit(xi,i)i2[[1,n]]un système de points pondérés de masse

nP i=1 i6 =0et de barycentre g. On suppose quen¾2. Soit un sous-système deppoints pondérés de masse non desppremiers :pP i=1 i6=0. Soithle barycentre du sous-système(xi,i)i2[[1,p]]. p X i=1 ixi= pX i=1 i! h Or : nX i=1 i! g=n X i=1 ixi=p X i=1 ixi+n X i=p+1 ixi= pX i=1 i! h+n X i=p+1 ixi ce qui prouve quegest le barycentre du système : h,p X i=1 i! ,(xp+1,p+1),,(xn,n))Application (Sept droites concourantes dans un tétraèdre)

Montrons que, dans un tétraèdre(ABCD), les trois droites joignant les milieux de deux côtés

opposés ainsi que les quatre droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée sont toutes les sept concourantes.A B CDI JL KM NG 1G 2G 3G 4G

Figure 5.2

.Un tétraèdre et les sept droites concourantes en son isobarycentre.145

Mathématiques MP / MP*Il suffit de remarquer que l"isobarycentre deA,B,C,Dest à la fois l"isobarycentre des

milieux de deux côtés opposés, et le barycentre d"un sommet affecté de la masse 1 et de

l"isobarycentre des trois autres affecté de la masse 3.3. Parties convexes d"un espace vectoriel réel

3.1. SegmentDéfinition 5.4. Segment

Étant donné deux pointsxetydeE, on appellesegment[x,y]l"ensemble des barycentres dexetyaffectés de coefficients positifs. En ramenant la somme des coefficients à 1, on peut dire que[x,y]est l"ensemble des barycentres des systèmesf(x,),(y,1)goù2[0,1], c"est-à-dire : [x,y]=fx+(1)y,2[0,1]gRemarque

SiE=R, on retrouve la définition d"un segment deR, c"est-à-dire un intervalle fermé borné.

Une partieXdeEest diteconvexesi, dès qu"elle contient deux pointsxety, elle contient le segment[x,y].

8(x,y)2X2,[x,y]Xxy

X

Figure 5.3

.Une partie convexe du plan.xy Xxy X

Figure 5.4

.Dans le plan, un disque est convexe, un cercle ne l"est pas. 146

Chapitre 5 - ConvexitéCOURSExemples

Les par tiesconv exesde Rsont les intervalles.

U nsous-espace affine est conv exe.

U nedemi-dr oite,un demi-plan sont conv exes.

E nr evanche,la sphèr efx,kxk=Rg, avecR>0, n"est pas convexe.Proposition 5.3. L"intersection d"une famille quelconque de convexes est convexe.

Démonstration

Soit(Ci)i2Iune famille de convexes etC=T

i2IC ison intersection. Soit(x,y)2C2; alors, pour touti2I:(x,y)2C2

i, donc[x,y]Ci. En définitive,[x,y]C, doncCest convexe.3.3. Stabilité par barycentration à coefficients positifs

Proposition 5.4.

positifs, c"est-à-dire si le barycentre de toute famille finie(xi,i)i2[[1,n]]de points pondérés de

X, avec pour touti2I,i¾0 etnP

i=1 i>0, appartient àX.Démonstration SiXest stable par barycentration à coefficients positifs, elle est en particulier convexe. Réciproquement, soitXune partie convexe. Montrons par récurrence que, pour tout entier n¾2,Xest stable par barycentration à coefficients positifs denpoints. P ourn=2, on retrouve la définition d"une partie convexe.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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