[PDF] Exercices de licence Exercice 20 Soit X un

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Exercices de licence

Les exercices sont de :

Corn´elia Drutu (alg`ebre et th´eorie des nombres)

Volker Mayer (topologie, analyse r´eelle)

Leonid Potyagailo (alg`ebre et g´eom´etrie)

Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)

Les sujets d"examens sont de :

Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC)

Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)

Table des mati`eres2Table des mati`eres

I Topologie4

1 Notions de topologie I4

1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Notions de topologie II8

2.1 Topologie s´epar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Fonctions continues surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Suites, limites et valeurs d"adh´erence, points d"accumulation et points isol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Notions de topologie III15

3.1 Hom´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Connexit´e18

4.1 Connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Compacit´e21

5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II Analyse r´eelle 27

6 Applications lin´eaires born´ees27

6.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7 Espaces m´etriques complets, Banach29

7.1 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Th´eor`eme du point fixe32

9 Applications uniform´ement continues34

9.1 Applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.2´Equicontinuit´e, th´eor`eme d"Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10 Applications diff´erentiables37

10.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11 Th´eor`eme d"inversion locale et des fonctions implicites 41

11.1 Th´eor`emes d"inversion; diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11.3 Sous-vari´et´es deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

12 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums 46

12.1 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13 Equations diff´erentielles48

13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13.2 Solutions maximales d"´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

13.5 R´esolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III Alg`ebre et g´eom´etrie 57

Table des mati`eres314 G´en´eralit´es sur les groupes57

15 Groupes et actions59

16 Isom´etries euclidiennes60

17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire deRn62

18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique62

19 Le groupe orthogonal et les quaternions63

20 G´eom´etrie projective I64

21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP164

21.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

21.2 Propri´et´es des homographies deCP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique66

IV Analyse complexe 67

23 S´eries enti`eres67

24 Fonctions holomorphes69

25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances71

26 Formule de Cauchy73

27 Cons´equences de la formule de Cauchy76

28 Singularit´es80

29 Int´egrales curvilignes82

30 Th´eor`eme des r´esidus84

31 Fonctions Zeta et autres...86

31.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

31.2 Transformations deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

V Alg`ebre et th´eorie des nombres 89

32 Groupes89

33 Sous-groupes, morphismes91

34 Groupes finis93

35 Anneaux, corps95

36 Polynˆomes97

37 Extension de corps99

38 Extension d"anneau100

VI Sujets d"examens 101

39 Examen AR janvier 1994101

40 Examen AR juin 1994102

41 Examen AR septembre 1994103

42 Examen AR janvier 1995104

43 Examen AR juin 1995105

44 Examen AR septembre 1995106

45 Examen AR juin 1996107

46 Examen ARC d´ecembre 1998108

1 Notions de topologie I447 Examen ARC janvier 1999110

48 Examen ARC septembre 1999111

49 Examen ARC novembre 1999112

50 Examen ARC janvier 2000114

51 Examen ARC septembre 2000115

52 Examen ARC d´ecembre 2000116

53 Examen ARC janvier 2001117

54 Examen ARC septembre 2001118

55 Examen VC janvier 96119

56 Examen VC avril 96120

57 Examen VC juin 96121

58 Examen VC septembre 96123

59 Examen VC janvier 98125

VII Corrections 127

Premi`ere partie

Topologie

1 Notions de topologie I

1.1 Rappels

Exercice 11. Rappeler les d´efinitions d"une borne sup´erieure (inf´erieure) d"un ensemble de nombres r´eels.

SiAetBsont deux ensembles born´es deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A?B), (iii) sup(A∩B), (iv) inf(A?B), (v) inf(A∩B).

2. Pourx?RnetA?Rnon d´efinitd(x,A) = infa?A||x-a||. Trouverd(0,R-Q),d(⎷2,Q),d(M,D) o`u

M= (x,y,z)?R3etDest la droite de vecteur unitaire (a,b,c).

3. PourA,B?Rnon d´efinitd(A,B) = infa?A,b?B||a-b||. Trouverd(A,B) lorsqueAest une branche de

l"hyperbole{(x,y)?R2;xy= 1}etBune asymptote.

4. On d´efinit diamA= supa,b?A||a-b||. Quel est diam([0,1]∩Q)? diam([0,1]∩R-Q)?

Exercice 2Montrer que tout ouvert deRest union d´enombrable d"intervalles ouverts deux `a deux disjoints.

(Indication :six?Oouvert, consid´ererJx=?des intervalles ouverts,?Oet?x). D´ecrire de mˆeme les

ouverts deRn.

Exercice 3On va montrer que l"ensembleDdes r´eels de la formep+q⎷2 o`upetqd´ecriventZ, est dense

dansR.

1. Remarquer queDest stable par addition et multiplication.

2. Posonsu=⎷2-1; montrer que pour tousa < b, on peut trouvern?1 tel que 0< un< b-a, puism

v´erifianta < mun< b.

En d´eduire le r´esultat.

1.2 Topologie g´en´erale

Exercice 41. SoitX={0,1}muni de la famille d"ouverts{∅,{0},X}. Cette topologie est-elle s´epar´ee?

2. SoitXun ensemble non vide. D´ecrire la topologie dont les singletons forment une base d"ouverts.

1 Notions de topologie I53. D´ecrire la topologie surRdont la famille des intervalles ferm´es forme une base d"ouverts; mˆeme question

avec les intervalles ouverts sym´etriques.

4. SoitXun ensemble infini. Montrer que la famille d"ensembles constitu´ee de l"ensemble vide et des parties

deXde compl´ementaire fini d´efinit une topologie surX. Exercice 5SoitXun espace topologique, etfune application quelconque deXdans un ensembleY. On dit

qu"une partieAdeYest ouverte, sif-1(A) est un ouvert deX. V´erifier qu"on a d´efini ainsi une topologie sur

Y.

Exercice 6Montrer qu"on peut construire surR? {∞}une topologie s´epar´ee en prenant comme ouverts, les

ouverts deRet les ensembles de la forme{x/|x|> a} ? {∞}o`uaest r´eel. Comment construire une topologie

s´epar´ee surR? {+∞} ? {-∞}?

Exercice 7SoitXun ensemble non vide et Σ une famille de parties deXstable par intersection finie et

contenantX. Montrer que la plus petite topologieTcontenant Σ (la topologie engendr´ee par Σ) est constitu´ee

des unions d"ensembles de Σ, ou, de fa¸con ´equivalente,

A? T ?? ?x?A?S?Σ ;x?S?A.

Montrer que l"on peut affaiblir l"hypoth`ese de stabilit´e par intersection finie en : (?)?S1,S2?Σ,?x?S1∩S2,?S3?Σ ;x?S3?S1∩S2.

Exercice 8SoitCl"ensemble des fonctions continues r´eelles sur [0,1]. Pour toutef?Cetε >0 on d´efinit

M(f,ε) ={g/?

1 0 |f-g|< ε}.

Montrer que la famille M des ensemblesM(f,ε) lorsquef?Cetε >0 est une base de topologie. Mˆeme

question avec la famille

U(f,ε) ={g/sup

x|f(x)-g(x)|< ε}.

Exercice 9UdansNest dit ouvert s"il est stable par divisibilit´e, c.a.d. tout diviseur den?Uest encore dans

U. Montrer qu"on a d´efini ainsi une topologie surNqui n"est pas la topologie discr`ete. Exercice 10On consid`ere dansN?, la famille de progressions arithm´etiques P a,b={a+bn/n?N?}, o`uaetbsont deux entiers premiers entre eux.

1. Montrer que l"intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithm´etique de

mˆeme nature, plus pr´ecis´ement, P a,b∩Pa?,b?=Pα,β o`uαest le minimum de l"ensemblePa,b∩Pa?,b?, etβ= ppcm (b,b?).

2. En d´eduire que cette famille d"ensembles (en y adjoignant∅) forme une base de topologie surN?dont on

d´ecrira les ouverts.

3. Montrer que cette topologie est s´epar´ee.

1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere

Exercice 111. Montrer que siBest un ouvert de l"espace topologiqueXetA∩B=∅, alorsA∩B=∅,

mais queA∩Bn"est pas n´ecessairement vide.

2. Montrer `a l"aide d"exemples que l"´egalit´e?iAi=?iAin"a pas lieu en g´en´eral pour une infinit´e d"indices.

Exercice 12D´eterminer l"adh´erence et l"int´erieur des ensembles suivants : Q;R\Q;{(x,y)?R2/0< x <1,y= 0};{(x,y,z)?R3/ x= 0} {1n,n?1}; le cercle unit´e deR2. Exercice 13SiAest une partie de l"espace topologiqueX, on poseα(A) =◦Aetβ(A) =◦A.

1. Montrer queαetβsont des applications croissantes pour l"inclusion deP(X) dansP(X).

2. Montrer que siAest ouvert,A?α(A) et siAest ferm´e,β(A)?A. En d´eduire queα2=αetβ2=β.

1 Notions de topologie I63. ConstruireA?Rtel que les cinq ensembles :

A,A,◦A,α(A),β(A) soient tous distincts. Exercice 14D´eterminer l"adh´erence dansR2du graphe

G={(x,y)/y= sin1x,0< x?1}.

Exercice 15Dans un espace topologique, on d´efinit la fronti`ere d"une partieAcomme ´etant∂A=A\◦A.

1. Montrer que∂A=∂(Ac) et queA=∂A??Aferm´e d"int´erieur vide.

2. Montrer que∂(A) et∂(◦A) sont toutes deux incluses dans∂A, et donner un exemple o`u ces inclusions sont

strictes.

3. Montrer que∂(A?B)?∂A?∂B, et que l"inclusion peut ˆetre stricte; montrer qu"il y a ´egalit´e lorsqueA∩B=∅(´etablir◦A?B?◦A?◦B).

Montrer que

◦A?B=◦A?◦Breste vrai lorsque∂A∩∂B=∅(raisonner par l"absurde). Exercice 161. SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble (partout) dense dansX. Montrer qu"il est aussi ´equivalent de dire (i) Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide. (ii) SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X. (iii)Drencontre tout ouvert non vide deX. Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non vide.

2. SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX. En d´eduire que

toute intersection d´enombrable d"ouverts denses est une intersection d´ecroissante d"ouverts denses.

Exercice 17Etablir les propri´et´es suivantes de l"adh´erence d"un ensemble dans un espace topologique :

1.A=A

2. SiA?BalorsA?B.

3.A?B=A?B

Montrer que la formuleA∩B=A∩Bn"est pas vraie en g´en´eral; montrer que 3. n"est pas vrai en g´en´eral pour

une infinit´e d"ensembles. Exercice 18Etablir l"´equivalence entre les propri´et´es suivantes : 1. ◦Aest le plus grand ouvert contenu dansA.

2.a?◦Asi et seulement si il existe un voisinage deaenti`erement contenu dansA.

Etablir pour l"int´erieur d"un ensemble des propri´et´es analogues `a celles de l"exercice 17.

Exercice 19On rappelle la construction de l"ensemble triadique de Cantor : on part du segment [0,1] dont on

supprime l"intervalle m´edian ]

13,23[; `a la deuxi`eme ´etape, on supprime les intervalles ]19,29[ et ]79,89[ etc. On note

K

nla r´eunion des intervalles restants `a lan-i`eme ´etape, etK=?Kn.Quelle est l"adh´erence et l"int´erieur de

K? Exercice 20SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble dense dansX. Montrer qu"il est aussi

´equivalent de dire

1. Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide.

2. SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X.

3.Drencontre tout ouvert deX.

Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non

vide. Exercice 21SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX.

Exercice 22Soitfune application deRdansRtelle que pour touta >0, l"ensemble desxv´erifiant|f(x)|> a

est fini. Montrer que{x/f(x) = 0}est dense dansR. Le v´erifier sur l"exemple suivant : on ´enum`ere les rationnels

r

1,r2,r3,···,rn,···et on posef(rn) =1nsin?1,f(x) = 0 ailleurs.

Exercice 23Montrer que{⎷n-E(⎷n),n?1}est dense dans [0,1], o`uE(x) d´esigne la partie enti`ere dex.

1 Notions de topologie I71.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es

Exercice 241. Montrer que dans tout espace m´etrique (E,d) une boule ferm´ee est un ferm´e, mais que

l"adh´erence d"une boule ouverteB(a,r) ne coincide pas n´ecessairement avec la boule ferm´eeB?(a,r) (on

pourra consid´erer dans (R2,||.||∞),E= [0,1]× {0} ? {0} ×[0,1] et la boule centr´ee en (12,0) de rayon

1/2).

2. Montrer que la famille des boules ouvertes de (E,d) v´erifie la condition (?) de l"exercice 7.

Exercice 25(E,||.||) un evn.

1. Montrer que dans ce cas la boule ferm´eeB?(a,r) est l"adh´erence de la boule ouverteB(a,r).

2. Montrer queB(a,r)?B(b,R)??r?Ret||a-b||?R-r.

Exercice 261. Si (x,y)?R2, on pose||(x,y)||= max(|x+y|,|x-2y|). Montrer qu"il s"agit d"une norme surR2et dessiner sa boule unit´e ferm´ee.

2. Soitp,qdeux normes surRn,BpetBqleurs boules unit´es ferm´ees. Montrer que

B q?Bp??p?q.

Que signifie

12Bp?Bq?2Bp? Exemples.

Exercice 27SoitEun ensemble non vide, etX=ENl"ensemble des suitesx= (xn) d"´el´ements deE. Pour

x,y?X, on posep(x,y) = min{n/xn?=yn}six?=y, et∞six=y.

1. Montrer qued(x,y) =1p(x,y)(avec1∞= 0) est une distance surXqui v´erifie l"in´egalit´e ultram´etrique

d(x,z)?max(d(x,y),d(y,z)).

2. Quelles sont les boules ouvertes et les boules ferm´ees pour cette m´etrique?

Exercice 281. Soit||.||une norme surRnetKsa boule unit´e ferm´ee. Montrer que (i)Kest sym´etrique, (ii)Kest convexe, ferm´e, born´e, (iii) 0 est un point int´erieur `aK.

2. R´eciproquement, montrer que siKposs`ede les trois propri´et´es ci-dessus, il existe une norme dontKsoit

la boule unit´e ferm´ee, en consid´erant p(x) = inf{a >0 ;xa?K}. [Exercice corrig´e]

Exercice 29On noteX=l∞l"espace des suites r´eelles born´ees, etY=c0l"espace des suites r´eelles tendant

vers 0, tous deux munis de la m´etrique (`a v´erifier)d(x,y) = supn|x(n)-y(n)|. Montrer queYest ferm´e dans

X. Montrer que l"ensemble des suites nulles `a partir d"un certain rang est dense dansYmais pas dansX.

Exercice 30SoitE={f?C1([0,1],R) ;f(0) = 0}. On pose ||f||= sup

0?x?1|f(x) +f?(x)|,etN(f) = sup

0?x?1|f(x)|+ sup

0?x?1|f?(x)|.

Montrer que ce sont deux normes ´equivalentes surE. Exercice 31Montrer que dans un espace norm´e, la boule unit´e est convexe.

R´eciproquement, supposons que l"espace vectoriel soit muni d"une applicationNdeEdansR+telle queN(λx) =

|λ|N(x), et telle que{y/N(y)?1}soit convexe. Montrer que

N(x+y)?2sup(N(x),N(y)), x,y?E.

Exercice 32On consid`ere dansR2, les deux applications n((x,y)) = sup t?[0,1]|x+ty|, m((x,y)) =? 1 0 |x+ty|dt.

2 Notions de topologie II81. Montrer quenetmd´efinissent deux normes surR2.

2. Dessiner les boules unit´es ferm´ees associ´ees, et trouver des constantes effectivesA,B, telles queA n((x,y))?

m((x,y))?B n((x,y)) pour tout (x,y)?R2.

Exercice 331. On consid`ere dansR2les 4 boules euclidiennes ferm´ees de rayon 1 centr´ees aux points

(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1);Aleur r´eunion contient 0 comme point int´erieur. Trouver le rayon de la plus

grande boule ouverte centr´ee en 0 et contenue dansA.

2. On se pose plus g´en´eralement le probl`eme dansRn:Ad´esigne l"union?jB(ej,1)?jB(-ej,1) o`u (ej) est

la base canonique deRn. Montrer quex?Asi et seulement si?x?22?2?x?∞. En d´eduire que le rayon

de la plus grande boule ouverte centr´ee en 0 et contenue dansAest2⎷n.

Exercice 34SoitNun entier?1, etE, l"espace des polynˆomes trigonom´etriquespde degr´e?N,p(t) =?N

-Nckexp(ikt). On pose, pourp?E,?p?∞= supt?[0,2π]|p(t)|, et?p?=?N -N|ck|. Montrer, `a l"aide de l"identit´e de Parseval, que ces deux normes v´erifient ?p?∞??p??⎷2N+ 1?p?∞.

2 Notions de topologie II

2.1 Topologie s´epar´ee

Exercice 35 (Espace quasi-s´epar´e)Soit (X,T) un espace topologique.

1. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i)?x,y?X, x?=y,?Vvoisinage dex;y /?V. (ii)?x?X,{x}est ferm´e. (iii)?x?X,∩ {V;Vvoisinage dex}={x}.

2. Soit (X,T) ainsi etA?Xtel queA?=A. Montrer que six?A\A, tout voisinage dexcoupeAen une

infinit´e de points.

Exercice 36 (Exemple de topologie non s´epar´ee)DansC, on note [z0→[ la demi-droite{ρeiθ0;ρ?ρ0},

siz0=ρ0eiθ0. On d´eclare ouvert toute r´eunion (´eventuellement vide) de telles demi-droites.

1. Montrer qu"on a ainsi d´efini surCune topologieTnon s´epar´ee.

2. Montrer que l"adh´erence du point{z0}pour cette topologie est [0,z0].

3. En d´eduire que les ferm´es deTsont les ensembles ´etoil´es par rapport `a 0 (Aest dit "´etoil´e par rapport `a

0" si, pour toutz?A, le segment [0,z] est encore dansA).

[Exercice corrig´e]

2.2 Topologie induite, topologie produit

Exercice 37Soit (X,T) un espace topologique s´epar´e. Montrer que la diagonale Δ deX×Xest ferm´ee dans

X×X.

Exercice 381. Quels sont les ouverts de [1,2]? {3}induits par ceux deR?

2. Quelle est la topologie induite surZpar celle deR?

3. Quels sont les ouverts du cercle Γ ={z/|z|= 1}? du demi-plan{z/Imz >0}? du demi-plan{z/Imz?0}

dansC?

Exercice 39SoitYun sous-ensemble de l"espace topologiqueX, muni de la topologie induite. D´ecrire les

ouverts (ferm´es) induits deYlorsqueYest ouvert (ferm´e). SoitA?Y. Montrer que l"adh´erence deAdansY,AY=Y∩A; a-t-on pour l"int´erieur deAdansY,

AY=Y∩◦A?

Exercice 40On dit qu"un espace topologiqueXa la propri´et´e (P) si la famille de parties deXqui sont `a la

fois ouvertes et ferm´ees est une base pour les ouverts deX.

1. Montrer qu"un espace topologique discret a cette propri´et´e.

2. Montrer que la topologie induite surQpar la topologie usuelle deRn"est pas la topologie discr`ete, mais

qu"elle poss`ede aussi la propri´et´e (P).

3. Autre exemple?

2 Notions de topologie II92.3 Fonctions continues surR

Exercice 41Soitfune isom´etrie deRdansR. Montrer qu"on a soitf(x) =a-x, soitf(x) =a+x, o`u a=f(0). (Se ramener `aa= 0.) Exercice 42Soitfune application deRdansR, telle quef(x+y) =f(x) +f(y) etf(xy) =f(x)f(y) pour tousx,y?R. On va montrer quefest soit nulle, soit la fonction identit´e.

1. Remarquer quef(x)?0 six?0 et ainsi, quefest croissante.

2. Montrer que pour toutxr´eel on peut construire une suite (rk) et une suite (sk) de rationnels telles que

r k↑xetsk↓x. En d´eduire le r´esultat. Exercice 43Soitfune application continue deRdansR. On rappelle quetest une p´eriode defsif(x+t) =

f(x) pour toutxr´eel. SoitEle groupe des p´eriodes def, suppos´e non vide etT= inf{t?E;t >0,}.

1. Montrer que siT= 0 alorsfest constante.

2. SiT >0,festT-p´eriodique etE=Z.T.

Exercice 44Soitfune application deRdansRetωsa fonction oscillation d´efinie pourx0?Retδ >0 par

ω(x0,δ) = sup

{|x0-y|=δ,|x0-z|=δ}|f(y)-f(z)|.

1. Remarquer quefest continue enx0si et seulement si

ω(x0) = infδ>0ω(x0,δ) = 0.

2. Montrer que pour toutε >0,Oε={x;ω(x)< ε}est un ouvert.

En d´eduire queC(f), l"ensemble des points de continuit´e def, est unGδ. Exercice 45Existe-t-il une application continuefde [0,1] dansR, telle quef(x) soit rationnel sixest irrationnel, etf(x) irrationnel sixest rationnel? Exercice 46On note pour toutx?R, ?(x) = dist(x,Z).

1. Montrer que la fonction?est continue, 1-p´eriodique, et ´etudier la fonctionftelle que

f(x) =? n?(2nx)2n.

2. On fixex0?R, et on consid`ere les deux suites de terme

z k=12kE(2kx0), yk=zk+12k.

Montrer que la suite (zk) croˆıt versx0et que la suite (yk) d´ecroˆıt versx0. Calculerf(zk)-f(yk)zk-yket en

d´eduire quefn"est pas d´erivable enx0. On a ainsi construit une fonction continue, nulle part d´erivable.

2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques

Exercice 47SoitXun ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l"ensemble vide, et les

parties de compl´ementaire fini. Montrer que siYest un espace s´epar´e, toute application continue deXdansY

est constante. Exercice 48SoitXun espace topologique etf:X→R.

1. Montrer quefest continue si et seulement si pour toutλ?R, les ensembles{x;f(x)< λ}et{x;f(x)>

λ}sont des ouverts deX.

2. Montrer que sifest continue, pour toutωouvert deR,f-1(ω) est unFσouvert deX(Fσ= r´eunion

d´enombrable de ferm´es).

3. SoitA?X. A quelle conditionf=1Aest-elle continue surX?

2 Notions de topologie II10Exercice 491. SoitCl"espace des fonctions continues r´eelles sur [0,1] muni de la m´etriqued1(f,g) =?1

0|f-g|dx, puis de la m´etriqued∞(f,g) = supx|f(x)-g(x)|. V´erifier que l"applicationf→?1

0|f|dx

deCdansRest 1-lipschitzienne dans les deux cas.

2. Soitcl"espace des suites r´eelles convergentes, muni de la m´etriqued(x,y) = supn|x(n)-y(n)|. Si on

d´esigne parl(x) la limite de la suitex, montrer quelest une application continue decdansR. En d´eduire

quec0est ferm´e dansc.

Exercice 50Soitf,gdeux applications continues deXdansY, espaces topologiques,Y´etant s´epar´e.

1. Montrer que{f=g}est ferm´e dansX; en d´eduire que sifetgcoincident sur une partie dense deX,

alorsf=g.

2. Application : Soitfune fonction continue deRdansR, telle quef(x+y) =f(x)+f(y) pour tousx,y?R.

Montrer quef(r) =rf(1) pour tout rationnelret en d´eduire l"expression def.

Exercice 51SoitEetFdeux espaces vectoriels norm´es et on noteBEla boule unit´e ferm´ee deE. Soituune

application deEdansFtelle que (i)u(x+y) =u(x) +u(y),?x,y?E. (ii)u(BE) est born´ee dansF.

1. Calculeru(rx),x?E,rrationnel.

2. Montrer queuest continue en 0, plus pr´ecis´ement :

?M >0 ;?x?= 0||u(x)||?M||x||.

3. Montrer queuest continue et lin´eaire.

Exercice 52SoitOun ouvert de l"espace topologique produitX×Y. Montrer que pour toutx?X, l"ensemble

A x={y?Y/(x,y)?O}est un ouvert deY. Le v´erifier sur{(x,y)?R2/xy >1, x+y <4}.

Exercice 53Montrer que sifest continue deXdansY, espaces topologiques,Y´etant s´epar´e, son grapheG

est ferm´e dansX×Y. Etudier la r´eciproque en consid´erant l"hyperbole ´equilat`ere.

Exercice 54Soitf:X→Y, espaces topologiques. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i)fest continue. (ii)f-1(B)?f-1(B) pour toute partieBdeY. (iii)f-1(◦B)?◦ f-1(B) pour toute partieBdeY. En d´eduire∂f-1(B)?f-1(∂B) pour toute partieBdeY. Exercice 55Une application deXdansYest diteouvertesi l"image de tout ouvert deXest un ouvert deY; ferm´eesi l"image de tout ferm´e deXest un ferm´e deY.

1. Montrer qu"une fonction polynˆomiale deRdansRest une application ferm´ee.

2. Montrer que l"application (x,y)?X×Y→x?Xest ouverte mais pas n´ecessairement ferm´ee (consid´erer

l"hyperbole ´equilat`ere deR2).

3. Montrer que la fonction indicatrice de l"intervalle [0,12], comme application deRdans{0,1}, est surjective,

ouverte, ferm´ee, mais pas continue.

4. Montrer que toute application ouverte deRdansRest monotone.

Exercice 561. Montrer quefest continue si et seulement sif(A)?f(A) pour toutAdansX. Que peut-on dire alors de l"image parfd"un ensemble dense dansX?

2. Montrer quefest ferm´ee si et seulement sif(A)?f(A), et quefest ouverte si et seulement sif(◦A)?◦f(A).

Exercice 57SoitCl"espace des fonctions continues r´eelles sur [0,1] muni de la m´etriqued(f,g) =?1

0|f-g|dx,

puis de la m´etriqued(f,g) = supx|f(x)-g(x)|. V´erifier que l"applicationf→?1

0fdxdeCdansRest continue

dans les deux cas.

Exercice 58Soitcl"espace des suites r´eelles convergentes, muni de la m´etriqued(x,y) = supn|x(n)-y(n)|.

Si on d´esigne parl(x) la limite de la suitex, montrer quelest une application continue decdansR.

2 Notions de topologie II11Exercice 59SoitXun ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l"ensemble vide, et les

parties de compl´ementaire fini. Montrer que siYest un espace s´epar´e, toute application continue deXdansY

est constante.

Exercice 60SoitXun espace m´etrique etYun sous-ensemble deX. Montrer queYest ferm´e si et seulement

si il existe une application continuef:X→Rtelle queY={x/f(x) = 0}. Exercice 61Soitfune application ouverte deXdansRn, etAune partie deX. Montrer que pour touta dans l"int´erieur deA, ?f(a)?2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es

Exercice 62SiAest une partie born´ee d"un espace m´etrique (E,d), on pose diamA= supa,b?Ad(a,b).

1. Montrer que diamA= diamA.

2. Trouver le diam`etre de{f?C([0,1]) ; 0?f?1}; de{f?C([0,1]) ; 0?f?1, f(0) = 0},C´etant

muni de la m´etriqued1.

Exercice 63Soit (X,d) un espace m´etrique; montrer que l"application (x,y)→d(x,y) est continue sur le

produitX×X.

Exercice 64Soit (E,d) un espace m´etrique etAune partie deE; retrouver les propri´et´es de la fonction

d

A:x→d(x,A) :

1.dAest 1-lipschitzienne;d(x,A) =d(x,A) etdA(x) = 0 si et seulement six?A.

2. Montrer que{x?E;d(x,A)< ε}est un ouvert contenantA.

3. Montrer que tout ferm´e deEest unGδet que tout ouvert est unFσ.

Exercice 65 (Support d"une fonction continue)Soitf:E→Rune fonction continue d´efinie sur un espace topologiqueE. On appelle support (ferm´e) def,S=S(f) ={x?E;f(x)?= 0}.

1. Montrer queS=◦S.

2. R´eciproque. On supposeEm´etrique etA?Eferm´e v´erifiantA=◦A. Montrer qu"il existef:E→Rune

fonction continue telle queA=S(f).

Exercice 661. Montrer qu"un espace m´etrique poss`ede une propri´et´e forte de s´eparation, `a savoir : deux

ferm´es disjointsF1etF2peuvent ˆetre s´epar´es par deux ouverts disjoints, en consid´erant{x/d(x,F1)>

d(x,F2)}.

2. Montrer que la propri´et´e pr´ec´edente est ´equivalente `a l"existence d"une fonction continuefvalant 0 sur

F

1et 1 surF2(consid´ererf(x) =d(x,F1)d(x,F1)+d(x,F2)).

Exercice 67Soit (X,d) un espace m´etrique avec m´etrique born´ee. On noteFl"ensemble des ferm´es non vides

deX, et on d´efinit pourAetBdansF,

δ(A,B) =?dA-dB?∞

o`udAest la fonction born´eex→d(x,A).

Montrer qu"on a d´efini ainsi une m´etrique surF, et que l"applicationa→ {a}est une isom´etrie deXdansF.

Exercice 68SoitEun espace vectoriel norm´e surRouC.

1. V´erifier que l"application (λ,x)→λxest continue; que (x,y)→x+yest lipschitzienne ainsi que l"applica-

tionx→ ?x?; et que les translations et les homoth´eties sont des hom´eomorphismes deE.

2. Montrer que la boule unit´e ouverte est hom´eomorphe `aEtout entier (consid´erer l"applicationx→x1-||x||).

3. Montrer que deux boules ouvertes de (E,||.||) sont hom´eomorphes entre elles.

4. Montrer que le seul sous-espace ouvert deEestElui-mˆeme, et que tout sous-espace propre est d"int´erieur

vide dansE.

5. Montrer que l"adh´erence d"un sous-espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel; en d´eduire qu"un

hyperplan deEest ferm´e ou partout dense dansE.

2 Notions de topologie II12Exercice 69 (extrait du partiel de d´ecembre 98)SoitEun espace vectoriel norm´e surCde boule unit´e

ferm´eeBetFun sous-espace vectoriel ferm´e deE. On va montrer que siF?=E, sup x?Bd(x,F) = 1.

1. Etablir les propri´et´es pourx,x??E,y?F,λ?C:

(i)d(x,F)?||x||. (ii)d(λx,F) =|λ|d(x,F). (iii)d(x-y,F) =d(x,F)quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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