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MATH 321 - Licence de mathematiques

Georges COMTE

Laboratoire de Math

ematiques de l'Universite de Savoie, UMR CNRS

5127, B

^atiment Chablais, Campus scientifique, 73376 Le Bourget-du-

Lac cedex, France

E-mail address:georges.comte@univ-smb.fr

URL:http://gcomte.perso.math.cnrs.fr/

2 mars 2017

Table des matieres

Chapitre 1. Ensembles et fonctions convexes

5

1. Rappels

5

2. Ensembles convexes

7

3. Fonctions convexes

9

4. Inegalites de convexite

34

Chapitre 2.

Etude locale de fonctions41

1. Rappels

41

2. Domination, preponderance, equivalence de fonctions

43

3.Echelles de comparaison et developpements asymptotiques56

4. Developpement limites

62

Chapitre 3. Series numeriques

83

1. Rappels

83

2. Introduction

84

3. Denitions generales

85

4. Convergence absolue et series de terme general positif

95

5. Series de terme general ayant un signe non constant

149
Chapitre 4. Annexe : approximation des reels par les rationnels 15 7

1. Approximation des reels par des rationnels

157

2. Approximation par les fractions continues

159

Bibliographie

167
3

CHAPITRE 1

Ensembles et fonctions convexes

1. Rappels

On rappelle brievement dans cette section des notions de base qui seront utiles dans la suite du chapitre. Commencons par rappeler que pour montrer que deux ensemblesEetFsont egaux ont montre souvent queEFetFE. Et pour montrer une inclusion EF, on considere un elementx2E, dont on montre qu'il est aussi dansF. Cet elementxetant choisi sans contrainte dansE. Pour une illustration de ce principe, voir par exemple l'Exemple 1.7 ci-dessous. On dira souv entqu'un sous-en sembled e R nest unepartiedeRn. On utilisera ces deux mots comme des synonymes.

1.1.Denition.L'intervalle[a;b] deRest l'ensemble suivant

[a;b] =fx2R;axbg:

De m^eme

]a;b[=fx2R;a < x < bg: ]a;b] =fx2R;a < xbg: [a;b[=fx2R;ax < bg: Rappelons que tout sous-ensembleCdeRpossede uneborne inferieureet uneborne superieure, avec;2R[f1;+1g. Les quantitesetpeuvent appartenir aCou ne pas y appartenir. Par denitionest le plus grand minorant deC, c'est-a-dire que

8x2 C;xet sia2Rest tel que8x2 C;ax;alorsa:

De m^eme,est le plus petit majorant deC, c'est-a-dire que

8x2 C;xet sib2Rest tel que8x2 C;bx;alorsb:

Une autre denition utile des bornes inf et sup est la suivante :

8x2 C;xet8 >0;9x2 Ctel quex < +

8x2 C;xet8 >0;9x2 Ctel que < x:

Cette derniere denition montre que l'on peut construire une suite (n)n2Nd'elements deCqui converge (en decroissant si l'on veut) vers. De m^eme, on peut construire une suite (n)n2Nd'elements deCqui converge (en croissant si l'on veut) vers. 5

6 1. ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXES

1.2.Denition.SiEetFsont deux ensembles, leproduitdeEparF, note

EF, est l'ensemble deni par

EF:=f(x;y);x2E;y2Fg:

1.3.Denition.Etant donnes deux ensemblesEetF, ungraphe deEF

est la donnee d'un sous-ensemble deEFqui verie Si (x;y1) et (x;y2) sont dans , alors necessairementy1=y2. Ainsi se donner un graphe est se donner une application (au sens naf d'une application), puisque les elements (x;y)2 determinent une unique application x7!ydu fait de l'unicite,xetant xe, deytel que (x;y)2. En realite la denition rigoureuse d'une application n'est rien d'autre que la donnee d'un graphe!

1.4.Denition.Soitf:E!Rune fonction denie sur un sous-ensembleE

deRn. On note, pour tout (x1;;xn)2Rn,k(x1;;xn)k=px

21++x2n(si

n= 1,kxk=jxj, pour toutx2R). On dit quefestLipschitzienne surEs'il existek0 tel que

8x;y2E;jf(y)f(x)j k kyxk:

On dit quekestune constante de Lipschitz defsurE(toutk0ken est une autre). On dit quefestlocalement lipschitzienne surEsi

8a2E9ra>09ka0 tel que8x;y2E;

kxak< raetkyak< ra=) jf(y)f(x)j ka kyxk:

1.Exercice.Montrer que sif:E!Rest lipschitzienne surEalorsfest

localement lipschitzienne surE. Montrer que sifest localement lipschitzienne sur

Ealorsfest continue surE.

Solution de l'exercice.Pour la premiere proposition, et avec les notations de la Denition 1.4 , il sut, poura2E, de prendreka=k. Soit maintenanta2Eet montrons quefest continue ena, c'est-a-dire que si(an)n2Nest une suite deEtendant versa, alorsf(an)tend versf(a). Soient r a;kacomme dans la Denition1.4 . Comme(an)n2Ntend versa, il existeN, tel quenN=) kaank ra. Ainsi, pour toutnN, jf(a)f(an)j ka kaank: Mais cette derniere egalite, puisquelimn!1kaank= 0, montre quelimn!1jf(a) f(an)j= 0.

1.5.Denition.Etant donnes deux elementsAetBdeRn, lesegment(ferme)

joignantAetBest le sous-ensemble deRnnote [AB] et deni par [AB] :=f(1)A+B;2[0;1]g: Autrement dit, [AB] est l'ensemble des pointsXdeRnpour lesquels existe2[0;1], telX= (1)A+B. Noter que la parametrisation [0;1]37!(1)A+B

2. ENSEMBLES CONVEXES 7

du segment [AB] montre que celui-ci est contenu dans la droite deRnpassant par

AetB(lorsqueA6=B).

1.6.Exemple.On poseA= (;p2)2R2etB= (1;p3)2R2. Decrire [AB].

1.7.Exemple.Soient deux pointsa;bdeRavecab. Alors le segment [ab]

n'est rien d'autre que l'intervalle [a;b], dont on rappelle qu'il est deni par [a;b] :=fx2R;axbg: En eet, six2[ab], il existe2[0;1] tel quex= (1)a+b, par denition du segment [ab]. Mais commexa=(ba)0 etbx= (1)(ba)0, on a bienaxb, doncx2[a;b]. Ce qui prouve que [ab][a;b]. Reciproquement, montrons que [a;b][ab]. Soitx2[a;b], alorsaxb. On peut ecrire dans ce casx= (1)a+b, avec=xaba(noter que le casa=best trivial). Mais comme dans ce cas2[0;1], on a bienx2[ab].

2. Ensembles convexes

2.1.Denition.SoitCun sous-ensemble deRn. On dit queCest unsous-

ensemble convexe deRnou unepartie convexes deRnou plus simplement un convexe deRn, lorsque

8x;y2 C;82[0;1];(1)x+y2 C;

Ainsi, en vue de la Denition

1.5 ,Cest convexe si et seulement si

8x;y2 C;[xy] C:

2.2.Remarque.L'ensemble vide;ainsi que les sous-espaces vectoriels et anes

deRnsont des convexes deRn.

2.Exercice.Montrer que les parties convexes deRsont les intervalles deR.

Dessiner des parties convexes et non convexes deR2et deR3. Solution de l'exercice.Nous allons commencer par montrer qu'un intervalle, disons]a;b[oua;b2R[ f1;+1gavecab, est un sous-ensemble convexe de R(les arguments sont les m^emes pour les intervalles du type[a;b],]a;b]ou[a;b[). On peut supposer quea < b, sinon]a;b[=;et;est convexe. Soient alorsx;y2]a;b[ tels quex < y. D'apres l'Exemple1.7 , on a[xy] = [x;y]mais[x;y]]a;b[, donc [xy]]a;b[. Reciproquement, montrons maintenant qu'un convexeCdeRest bien un inter- valle deR. Pour cela notons:= infCet:= supC. On a;2R[f1;+1g. Plusieurs cas se presentent selon queetsont ou non dansC. Pour xer les idees supposons que62 Cet2 C, les autres cas se traitant de la m^eme maniere. On va montrer queC=];].A nouveau pour prouver cette egalite entre ensembles, nous allons prouver une double inclusion. Commencons par montrer queC ];]. Cette inclusion est claire puisqueest un minorant deCeten est un majorant et que de plus62 Cet2 C.

8 1. ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXES

Montrons alors pour terminer que];] C. Soit pour celaz2];]. Par denition des bornes sup et inf, il existex;y2 Ctels que < x < z < y(on pourrait prendrepoury!). Mais alors par convexite deC,[xy] C. Orz2[xy] puisquez2[x;y]et[xy] = [x;y](d'apres l'Exemple1.7 ). On en conclut bien que z2 C.

3.Exercice.Etudier la stabilite de la convexite sous la reunion et l'intersection.

Montrer que pour tout ensembleERnexisteC(E)Rnun ensemble convexe qui contientEet qui est contenu dans tout ensemble convexe contenantE. On appelle

C(E)l'enveloppe convexe deE.

Solution de l'exercice.La convexite n'est pas une propriete preservee par reunion : deux ensembles convexes peuvent avoir une reunion non convexe (pen- ser a deux points distincts dansR). En revanche siC1etC2sont deux ensembles convexes deRn, et siA;B2 C1\C2, le segment[AB]est dansC1par convexite deC1et aussi dansC2par convexite de C

2. Donc[AB] C1\ C2. Ce qui prouve la convexite deC1\ C2.

La preve que l'on vient de faire se generalise immediatement a une famille quel- conque de convexes(Ci)i2I, avecIun ensemble d'indices quelconque et pour tout i2I,Ciun convexe deRn. Considerons alors

I=fC Rn;tel queCest convexe etE Cg:

L'ensembleIest non vide puisqueRn2I. Alors

C(E) :=\

C2IC est un convexe deRnqui contientE, et siC0en est un autre, necessairementC02I et doncC(E) C0.

4.Exercice.Montrer queC Rnest convexe si et seulement si

8p2;8x1;;xp2 C;81;;p2[0;1]veriantpX

j=1 j= 1; on a : pX i=1 ixi2 C: Solution de l'exercice.Voir la Proposition3.8 , qui est la version de ce theoreme pour les fonctions. Pour etudier les ensembles convexes deRn, on va considerer que ceux-ci sont delimitespar des graphes d'applications (cf Proposition3.5 ). En eet, siCest un convexe deRn, sa projection surRn1f0gest un convexeK deRn1. Consideronsx= (x1;;xn1;0)2 KetDxla droite anef(x1;;xn1;w)2 R ng. AlorsC \Dxest un convexeIxdeDx(puisque l'intersection de deux convexes est convexe par l'Exercice 3 ). MaisDxetant identiee aR, par l'Exercice1.7 , on sait queIxest un intervalle deDx. Notonsxetxles bornes de cet intervalle,

3. FONCTIONS CONVEXES 9

avecxxetx;x2R[f1;+1g(cf g.1). Nous venons d'associer aCdeux fonctions:K 3x7!xet:K 3x7!xdont on dira que les graphes dansRn delimitentC. Puisque ces deux fonctions denissent a leur tourCde maniere uni- voque, etudier ces deux fonctions equivaut a etudierClui-m^eme (cf les Propositions 3.5 et 3.7 ).xD x R n-1R n a x GG (a) (b) x bI xg.1 On veut traduire les proprietes fondamentales des applications(et) en une seule denition, la convexite (et la concavite). On va commencer dans la Section 3 par prop oserune telle d enitiong enerale.On mon treraensuite d'une part que l'applicationassociee a un ensemble convexe satisfait bien cette denition (cf

Proposition

3.7 ) et d'autre part qu'une fonction est convexe (rep. concave) si et seulement si son graphe delimite inferieurement (resp. superieurement) un ensemble convexe (cf Proposition 3.5

3. Fonctions convexes

3.1.Denition.SoitC Rnune partie convexe deRnetf:C !R. On dit

quefest unefonction convexesi et seulement si

8x;y2 C;82[0;1]; f((1)x+y)(1)f(x) +f(y):

On dit quefest unefonction concavelorsque la proposition precedente a lieu avecau lieu deet on dit quefest unefonction strictement convexelorsque

10 1. ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXES

la proposition precedente a lieu avecau lieu de (avec toutefoisx6=yet2]0;1[ an d'eviter les cas automatiques d'egalite).

5.Exercice.SoientIun intervalle deRetf:I!Retg:I!Rdeux

fonctions convexes.Etudier la convexite def(x),f+g,fg,maxff;gg,minff;gg et lorsque la composition degetfest permise, celle degf.

3.2.Remarque.En vue de la discussion de la n de la section precedente rame-

nant l'etude des ensembles convexes a celle des fonctions convexes, la denition des fonctions convexes est naturelle, puisque l'interpretation graphique de la convexite d'une fonction est la suivante : pour tout couple de pointsAetBdu graphe (f)Rn+1def, le segment [AB] est situeau-dessusde (f). Ce qui cor- respond bien a l'idee que l'on se fait du graphe de la fonction.B x y(1-l) +lxy(1-l) +l (1-l) +l A x yf( ) f( ) (1-l) +lf( )f( )D= f( )x y xy A B F E Dg.2 Pour bien comprendre cette interpretation, il convient de remarquer que siA= (x;f(x)),B= (y;f(y)), le point = ((1)x+y;(1)f(x) +f(y)) est le point du segment [AB]au-dessusde ((1)x+y;0). En eet, il n'existe dans la droite (ED) (qui est parallele aBF) qu'un seul point tel que EBF =AEAF

3. FONCTIONS CONVEXES 11

or AEAF =(1)x+yxyx=: D'autre part, par le theoreme de Thales, si est le point d'intersection du segment [AB] et de la droite (ED), on a bien EBF =AEAF ce qui, en notantwl'ordonnee de , fournit wf(x)f(y)f(x)= et donc w= (1)f(x) +f(y):

6.Exercice.Montrer que sif: [c;d]!Rest continue sur[c;d]et convexe sur

]c;d[, alorsfest convexe sur[c;d]. Solution de l'exercice.Il faut demontrer que pour toutx;y2[c;d], pour tout

2[0;1],

f((1)x+y)(1)f(x) +f(y):() Soientx;y2[c;d]etz;w2]c;d[. Par convexite defsur]c;d[, on a pour tout

2[0;1],

f((1)z+w)(1)f(z) +f(w):() En faisant tendrezversxetwversy, du fait de la continuite defsur[c;d], on a f(z)!f(x),f(w)!f(y)etf((1)z+w)!f((1)x+y). Par conservation de l'inegalite large dans()lorsquez!xetw!y, on obtient bien().

7.Exercice.Soienta;bdeux nombres reels verianta < bet soit unef: [a;b]!

Rune fonction convexe non constante. On suppose enn quef(a) =f(b) =m. On veut montrer que8x2]a;b[,f(x)< m. (1) Montr erque dans le but de montr erque 8x2]a;b[,f(x)< m, on peut supposer sans perte de generalite quem= 0.

On suppose dans la suite quem= 0.

(2)

Montr erque 8x2[a;b],f(x)0.

(3) En r aisonnantp arl'absur de,montr ernalement que 8x2]a;b[,f(x)<0. Solution de l'exercice.(1)Supp osonsque l'on ait montr eque lorsque f est convexe, non constante etf(a) =f(b) = 0, on a8x2]a;b[; f(x)<0. Maintenant sigest une fonction convexe et non constante telle queg(a) = g(b) =m, la fonctionf(x) =g(x)mest convexe en tant que somme de deux fonctions convexes (cf Exercice 5 ) et telle quef(a) =f(b) = 0. Il s'ensuit que8x2]a;b[; g(x)m=f(x)<0et donc que8x2]a;b[; g(x)< m.

12 1. ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXES

(2)

L ad enitionde la c onvexitede fest

82[0;1]; f(x)(1)f(a) +f(b) = 0;

avecx= (1)a+bqui decrit l'intervalle[a;b]lorsquedecrit[0;1]. (3) Supp osonsqu'existe c2]a;b[tel quef(c) = 0. Commefn'est pas constante et que8x2[a;b];f(x)0, il existed2[a;b]tel quef(d)<0. Sans perte de generalite, on peut supposer quea < d < c(sic < d < b, le raisonnement s'adapte). En notant, pour un certain2]0;1[(cn'est nid nib!),c= (1)d+b, par convexite def, on a0 =f(c)(1)f(d)+ f(b) = (1)f(d)<0, ce qui est contradictoire.

3.3.Denition.Soitf:C !Rune fonction denie sur le convexeC Rn. On

considere (f)+:=f(x;y)2 C R;yf(x)get (f):=f(x;y)2 C R;yf(x)g:

On dit que (f)+estl'epigraphe def.

3.4.Remarque.Dire que le segment [AB] de la gure 1 estau-dessusdu

graphe (f) signie plus rigoureusement que [AB](f)+ou, de maniereequivalente, que [AB]\(f)=;. Le lien entre ensemble convexe deRn+1et fonction convexe est donne par le resultat suivant.

3.5.Proposition.SoitCun ensemble convexe deRnetf:C !Rune fonction.

Alorsfest convexe si et seulement si l'epigraphe(f)+defest une partie convexe deRn+1. Demonstration.Si (f)+est convexe et si deux pointsA;Bsont choisis sur (f), du fait que (f)(f)+, nous avons [AB](f)+, ce qui montre quefest convexe (par la Remarque 3.4 Reciproquement, supposonsfconvexe et soientA= (xA;yA),B= (xB;yB) deux points de (f)+. Consideronsa= (xA;f(xA)) etb= (xB;f(xB)) les deux points du graphe defrespectivement sousAetB. La convexite defdit alors que, quel que soit2[0;1] f((1)xA+xB)(1)f(xA) +f(xB): D'autre part, puisqueA;B2(f)+, on a, par denition de (f)+,f(xA)yAet f(xB)yB, ce qui donne (1)f(xA) +f(xB)(1)yA+yB: Mais les deux dernieres inegalites ont pour consequence f((1)xA+xB)(1)yA+yB; ce qui prouve que [AB](f)+et donc que (f)+est convexe.

3. FONCTIONS CONVEXES 13

3.6.Remarque.Sif:C !Rest convexe, on vient de voir que (f)+est

convexe. Notons que la fonction:C !Rassociee au convexe (f)+n'est autre quef, qui dans ce cas est convexe. La Proposition qui suit montre que ce phenomene n'est par specique au convexe (f)+: la fonctionassocie a n'importe quel convexe deRnest une fonction convexe.

8.Exercice.Montrer quef:C !Rest concave si et seulement sifest

convexe si et seulement(f)est convexe.

3.7.Proposition.SoitCun ensemble convexe deRn,Ksa projection surRn1

f0get soient enn:K 3x7!x2Ret:K 3x7!x2Rles fonctions denies plus haut. Alorsest convexe etest concave. Demonstration.Il sut de demontrer la convexite de:K 3x7!x, le raisonnement s'adaptant a la lettre a:K 3x7!xa condition de renverser toutes les inegalites 1. Soientx;y2 Ket2[0;1]. On notez= (1)x+yetA= (x;x);B= (y;y).

On veut montrer que

z(1)x+y: SiAetBsont dansC, cela est clair, puisqu'alors la convexite deCmontre que (1)A+B2 Cet par denition-m^eme dez, on a bienzau-dessousde (1)A+B, c'est-a-direz(1)x+y: Le cas delicat arrive lorsqueAouBne sont pas dansC. Mas dans ce cas, puisque

Aest deni comme

(x;inffvtel que (x;v)2 Cg); il existe une suiteAn:= (x;vn) de points deCtelle que lim n!1An=A;c'est-a-dire limn!1vn=x: De m^eme existe une suiteBn:= (y;wn) de points deCtelle que lim

n!1Bn=B;c'est-a-dire limn!1wn=y:1. On peut aussi observer que siCest un convexe deRn,C0est aussi un convexe deRn, lorsque

C

0est le symetrique deCpar rapport aRn1. Or la fonctionC0associee aC0estC. De sorte

que si l'on sait queC0est convexe, on en deduit queCest concave, par l'Exercice8 .

14 1. ENSEMBLES ET FONCTIONS CONVEXESC(1-l)a +la

xy x yza x a ya zA B nn A

B(1-l) +l

nBnAg.3

On a alors par convexite deC:

(1)An+Bn2 C; ce qui implique pour chaquen0 : z(1)vn+wn: Finalement, en passant a la limite dans cette derniere inegalite on obtient l'inegalite recherchee :z(1)x+y:

3.8.Proposition(inegalite de Jensen).2SoitCun ensemble convexe deRnet

f:C !Rune fonction. Alorsfest convexe si et seulement si

8p2;8x1;;xp2 C;81;;p2[0;1]tels quepX

i=1 i= 1;on a f(pX i=1 ixi)pX i=1

if(xi):2. Cette inegalite a ete demontree en 1906 par le mathematicien danois Johan Jensen. Il s'agit

ici de sa variante discrete; elle connait des variantes integrales.

3. FONCTIONS CONVEXES 15

Demonstration.Commencons par noter que, puisqueCest convexe, l'appar- tenance dex1;;xpaCet1;;p2[0;1] avecPp i=1i= 1, assurent bien quePp i=1ixi2 C, par l'Exercice4 .

NotonsP(p) la propriete

8x1;;xp2 C;81;;p2[0;1] tels quepX

i=1 i= 1;f(pX i=1 ixi)pX i=1 if(xi): Remarquons ensuite queP(2) est exactement la denition de la convexite, donc si P(p) est vraie pour toutp2,fest bien convexe. Reciproquement, supposons maintenantfconvexe et montrons par recurrence surpqueP(p) a lieu pour tout p2. L'initialisatio nde la r ecurrenceconsiste aprouv erP(2), qui est exactement la denition de la convexite def. Soit p2 et supposons queP(p) soit vraie. Nous allons alors montrer que P(p+ 1) est vraie. Pour cela soientx1;;xp+12 C,1;;p+12[0;1] tels quePp+1 i=1i= 1. On notele reelPp i=1i. Alors+p+1= 1,Pp i=1 i = 1.

Six:=Pp

i=1 i xi, on ax2 Cet doncx+ (1)xp+12 C, d'apres l'Exercice 4 , ce qui donne par convexite def: f(x+ (1)xp+1)f(x) + (1)f(xp+1): Mais par hypothese de recurrence,P(p) est vraie, donc f(x)pX i=1 i f(xi); ce qui conduit, en tenant compte de l'avant derniere inegalite, a f(p+1X i=1 ixi)f(x) + (1)f(xp+1)pX i=1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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