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Remarque : Méthode générale pour les suites arithmético-géométriques. Soient a et b deux réels avec a = 1. Soit (un) la suite arithmético-géométrique définie
Exemple 41.
On considère la suite (
x n n 1 de terme général x n2+ ... +1
n= n i =1 1 k.Exemple 42.
On considère la suite (
a n n N pour a > 1.3.3 Suites arithmético-géométriques
Dé fi nition 32.Une suite
x n n N est dite arithmético-géométrique si elle est dé fi nie par un processus itératif de la forme : x 0 b pour tout n 0 x n +1 q x n a où a b et q sont des réels fi xés.On a les cas particuliers suivants :
- Lorsque q = 1, la suite ( x n n N ainsi obtenue est une suite arithmétiqu e de raison a - Lorsque a = 0, q = 0 et q = 1, la suite ( x n n N obtenue est une suite géométrique de raison q Pour chacun de ces cas particuliers, on peut calculer la limite de la suite ( x n n N (quand elle existe) et la somme des n + 1 premiers termes selon les règ les suivantes :3.5. Propriété - Cas des suites arithmétiques.
Soit (
x n n N la suite arithmétique donnée par le processus itératif x 0 b pour tout n 0, x n +1 x n a avec a = 0, alors on a - la suite ( x n n N admet une limite, et si a >0, alors lim
n x n = lim n an b si a <0, alors lim
n x n = lim n an b - la somme des n + 1 premiers termes de la suite ( x n n N est x 0 x n n k =0 x k n k =0 ak b ) =n(n + 1)2a + (n + 1)b
Exemple 43.
Calculer la somme des n+1 premiers entiers pairs : 0 + 2 + 4 + + 2 n 353.6. Propriété - Cas des suites géométriques.
Soit (
x n n N la suite géométrique donnée par le processus itératif x 0 b pour tout n 0, x n +1 qx n avec q = 0 et q = 1 et b = 0, alors on a - la suite ( x n n N peut admettre ou non une limite : si q > 1 et b >0, alors lim
n x n = lim n bq n si q > 1 et b <0, alors lim
n x n = lim n bq n si q 11[, alors lim
n x n = lim n bq n = 0 si q1, alors la suite (
x n n N diverge. - la somme des n + 1 premiers termes de la suite ( x n n N est x 0 x n n k =0 x k n k =0 bq n =q n +1 1 q 1bExemple 44.
Calculer la somme 1+
12+14+...+12
n n k =0 1 2 k . Quelle est la limite de cette somm e?Exemple 45.
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