[PDF] suites arithmetiques et suites geometriques
19 jui. 2011 Démonstration : La suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0 vérifie la relation . En calculant les premiers termes : … .
SUITES ARITHMÉTICO- GÉOMÉTRIQUES
La suite (un) est arithmético-géométrique. 1) À l'aide du tableur calculer la somme totale épargnée à la 10ème année. 2) Prouver que la suite (
3.3 Suites arithmético-géométriques
Calculer la somme des n+1 premiers entiers pairs : 0 + 2 + 4 + + 2n. Page 2. 35. 3.6. Propriété – Cas des suites géométriques.
FICHE DE RÉVISION DU BAC
- somme de termes limite de suites arithmétique et géométrique : STI2D
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
le savoir encore Gauss a découvert la formule permettant de calculer la somme des termes d'une série arithmétique. 2) Cas des suites géométriques. Propriété : ...
Cours de maths S/STI/ES - Suites et convergences
Thème : suites et variations limite et convergence
• Rappel: suites arithmétiques et géométriques: Suite arithmétique
• Rappel: suites arithmétiques et géométriques: Suite arithmétique. Suite géométrique. Définition a u u n n. +. = +1 a raison de la suite bu u n n. ×= +1 b
Convergence des suites numériques
Remarque : Méthode générale pour les suites arithmético-géométriques. Soient a et b deux réels avec a = 1. Soit (un) la suite arithmético-géométrique définie
Suites arithmético-géométriques Suites récurrentes linéaires dordre
Mathématiques. Version du 10-08-2023 à 10:39. 5. AN02
41 - SUITES ARITHMÉTIQUES SUITES GÉOMÉTRIQUES. 1. Point
3 mar. 2014 Apparition en premi`ere S et ES la démonstration de la formule donnant la somme des n premiers termes d'une suite géométrique ou arithmétique ...
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3
I Suites arithmétiques II Suites géométriques III Suites arithmético
Montrer que (ln(un))n?N est une suite géométrique. 3. En déduire une expression un en fonction de n. III Suites arithmético-géométriques. Définition :.
SUITES ARITHMÉTICO- GÉOMÉTRIQUES
GÉOMÉTRIQUES. I. Etude d'une suite arithmético-géométrique. Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a.
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3
3.3 Suites arithmético-géométriques
— Lorsque a = 0 q = 0 et q = 1
Suites arithmétiques et suites géométriques
Formules concernant les suites arithmétiques et les suites géométriques. I Suites arithmétiques Suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 :.
Suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires dordre 2
23 nov. 2021 Définition 1 – Suites arithmético-géométriques. On dit qu'une suite (un) n?Nest une suite arithmético-géométrique lorsqu'il existe (a ...
Cours de maths S/STI/ES - Suites et convergences
Suites arithmétiques géométriques et arithmético-géométriques : définitions et propriétés. 3. 3. Suites récursives : définitions
Suites arithmétiques Suites géométriques
3 Moyennes arithmétiques et géométriques de deux nombres Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = 7 et de raison (?2).
Convergence des suites numériques
Remarque : Méthode générale pour les suites arithmético-géométriques. Soient a et b deux réels avec a = 1. Soit (un) la suite arithmético-géométrique définie
BCPST?.?Lycee Pierre de Fermat
Annee????-????ToulouseChapitre n
o5 :Suites r
ecurrentes classiquesI Suites arithmetiques Denition :Soitrun reel. Une suite arithmetique de raisonrest une suite reelle (un)n2Nqui verie pour tout entier naturelnla relation de recurrenceun+1=un+r:Expression deunen fonction denPropriete :Si (un)n2Nest une suite arithmetique de raisonret de premier termeu0, alors l'expression
deunen fonction denest donnee par :8n2N;un=u0+nr:Une suite arithmetique est donc denie par sa raisonret son premier termeu0.
Demonstration.Recurrence ou somme telescopique.Somme des premiers termes Propriete :Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Soitnun entier naturel quelconque. Alorsn X k=0u k= (n+ 1)u0+un2 :Demonstration. Exemple :Montrer que si (un)n2Nest une suite arithmetique de raisonr, on a 1. q uelsq ues oientl esen tiersn aturelsketp,up+k=up+kr. 2. q uelsq ues oientl esen tiersn aturelsnetp,p+nP k=p+1uk=up+1+up+n2 n.II Suites geometriques Denition :Soitqun reel. Une suite geometrique de raisonqest une suite reelle (un)n2Nqui verie pour tout entier naturelnla relation de recurrenceu n+1=qun:Remarque :Siq= 0, alorsun= 0 pour toutn2N. Siu0= 0, alorsun= 0 pour toutn2N. Si l'on n'estpas dans un des deux cas precedents, alorsun6= 0 pour toutn2N(preuve par recurrence ou raisonnement par
minimalite).Expression deunen fonction denPropriete :Si (un)n2Nest une suite geometrique de raisonqet de premier termeu0, alors l'expression
deunen fonction denest donnee par :8n2N;un=qnu0:Une suite geometrique est donc denie par sa raisonqet son premier termeu0.
Demonstration.Recurrence ou produit telescopique (attention a ne pas quotienter par 0!).Somme des premiers termes
Propriete :Soit (un)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termeu0. Soitnun entier naturel quelconque.Si la raison est dierente de 1, alorsn
X k=0u k=u01qn+11q=u0qn+11q1:si la raison vaut 1, alors la suite est constante etn X k=0u k= (n+ 1)u0:Exemple :Soit (un) une suite reelle telle queu0>0 et veriant :8n2N; un+1=u3n. 1. Mo ntrer( parr ecurrence)qu ecet tesu iteest at ermesst rictementp ositifs. 2. Mo ntrerq ue(l n(un))n2Nest une suite geometrique. 3.En d eduireu neex pressionunen fonction den.
III Suites arithmetico-geometriquesDenition :Soientaetbdeux reels. Une suite arithmetico-geometrique associee aaetbest une suite
reelle (un)n2Nqui verie pour tout entier naturelnla relation de recurrenceun+1=aun+b:Remarque :Sia= 1, on retrouve une suite arithmetique et sib= 0, c'est une suite geometrique que l'on
reconna^t.bcpst?.?|????-????| Lycee Pierre deFermat1Suites recurrentesExpression deunen fonction den
On considere que l'on n'est pas dans un cas trivial, c'est-a-direa6= 1 etb6= 0. Pour trouver l'expression deunen fonction den, on introduit une suite intermediaire. On pose :8n2N; vn=un`:
Le reel`va ^etre choisi de maniere a simplier le plus possible l'expression de la suitev. Avec la bonne valeur,
vsera une suite geometrique. On a v n+1=un+1`=aun+b`=a(vn+`) +b`=avn+ (a1)`+b: En choississant`tel que (a1)`+b= 0,i.e.`=b1a(ce qui est possible cara6= 1), on obtientvn+1=avn. La suitevest donc une suite geometrique de raisona. D'ou, pour toutn2N, on avn=anv0et en revenant a la suiteu, on trouveun`=an(u0`), d'ou u nb1a=an(u0b1a), et doncun=anu0+b1an1a. On a donc exprime le terme general de la suite (un)n2Nen fonction den. Une telle suite est donc determinee par les reelsaetbet le terme initialu0. Remarque :L'equation pour trouver`peut aussi s'ecrire a`+b=`: En notantfla fonction ane denie (surRouC) parf(x) =ax+b, l'equation devientf(`) =`. On dit que` est un point xe de la fonctionf.L'expression du terme general de la suite (un)n2Nn'est pas a conna^tre par cur. Mais la methode est a savoir
absolument. Il faut pouvoir : Retrouver la formulation de la suite (vn)n2Na partir de la suite (un)n2Navec la bonne valeur de`. Montrer que cette suite (vn)n2Nest une suite geometrique.Retrouver l'expression du terme general de la suite (un)n2Na partir du terme general d'une suite geome-
trique.Exemple :Soit (un)n2Nla suite denie par 8< :u 0= 1;8n2N; un+1= 3un4:
Determinons le terme generalunen fonction den.
Resolvons l'equation 3`4 =`. On trouve`= 2. Ainsi, pour toutn2N, on a 8< :3un4 =un+1324 = 2
En soustrayant ces deux equations, on trouve, pour toutn2N, (un+12) = 3(un2). On introduit la suite vdenie parvn=un2 pour toutn2N. La suitevest une suite geometrique de raison 3 et de premier terme1.On en deduit donc que
8n2N; vn=3n;
et par consequent, en revenant vers la suiteu, on a :8n2N; un=vn+ 2 =3n+ 2:Exemple :Soit (un)n2Nla suite denie par
8< :u 0= 2;8n2N; un+1= 2un+ 3:
Determiner le terme generalunen fonction den.
IV Suites recurrentes lineaires d'ordre 2 a coecients constantsDenition :Soientaetbdeux reels. Une suite recurrente lineaire d'ordre 2 a coecients constantsaet
best une suite reelle (un)n2Nqui verie pour tout entier naturelnla relation de recurrenceun+2=aun+1+bun:Une telle suite est determinee par les reelsaetbet les termes initiauxu0etu1(exercice).
Remarque :On se limite au casa6= 0 etb6= 0 pour que l'etude soit interessante. Pour determiner l'expression du terme general de la suite (un)n2Nen fonction den, on introduit uneequation particuliere, appeleeequation caracteristique, associee a la relation de recurrenceun+2=aun+1+bun:x
2=ax+b:De maniere classique pour determiner les solutions de l'equation caracteristique, on calcule le discriminant
=a2+ 4bet on distingue plusieurs cas.Premier cas :>0.
L'equation possede donc deux solutions distinctes
x 1=ap 2 etx2=a+p 2Soientetdeux reels. En posant pour tout entiern,
v n=xn1+xn2; on s'apercoit que v n+2=xn+21+xn+22 =axn+11+bxn1+axn+12+bxn2 =axn+11+xn+12+b(xn1+xn2) =avn+1+bvn:Donc toutecombinaison lineairedes suites geometriques (xn1)n2Net (xn2)n2Nverie la relation de recurrence
initiale. L'idee est alors de choisir correctementetpour qu'on retrouve les termes initiauxu0etu1: 8 :v 0=u0 v1=u1()8
:+=u= 0 x1+x2=u1()8
:=u0 (x1x2) =u1u0x2()8 >:=u1u0x2x 1x2 =u0x1u1x 1x2 Au nal, on a donc reussi a exprimer le terme general de la suiteuen fonction den:8n2N;un=u1u0x2x1x2xn1+u0x1u1x
1x2xn2:bcpst?.?|????-????| Lycee Pierre deFermat2Suites recurrentes
Deuxieme cas :<0.
L'equation possede maintenant deux solutions complexes conjugueeszetz. Avec le point de vue trigonome-
trique, on peut ecrirez=eietz=ei. Le raisonnement vu auparavant s'applique aussi ici et donc8n2N;un=neni+neni;avec=u1u0z
zz et=u0zu1zzAvec cette ecriture, il n'est pas facile de ce rendre compte que la suiteuest une suite reelle. Modions un peu
l'ecriture pour que cela apparaisse clairement : u n=neni+neni =n(cos(n) +isin(n)) +n(cos(n)isin(n)) =n((+)cos(n) +i()sin(n)): Or,=u 1u0z zz =u 1u0z zz =u1u0zzz=u0zu1zz les coecientsetsont donc des complexes conjugues. Par consequent, (+) est un reel et () est unimaginaire pur. En denitive, en posantA=+etB=i(), on a l'expression deunsous forme reelle :8n2N;un=n(Acos(n) +Bsin(n)):
A partir de cette expression, on peut directement chercherAetBen utilisant les deux premiers termes de la
suite (un)n2N.Troisieme cas : = 0.
Le discriminant etant nul, l'equation caracteristique ne possede qu'un seule solutionr=aÀ26= 0. D'apres ce
qu'on a dit avant, la suite geometrique (rn)n2Nverie la relation de recurrence. Contrairement au cas precedent,
on ne conna^t qu'une seule suite veriant cette relation, ce qui n'est pas assez pour faire varier les parametres
de maniere a faire co ncider les deux premiers termes.Etudions alors la suite (nrn)n2N. Pour tout entiern, on a (n+ 2)rn+2=nrn+2+ 2rn+2 =n(arn+ 1 +brn) +2aa rn+2 =narn+1+nbrn+a1r rn+2 =a(n+ 1)rn+1+bnrn:Donc la suite (nrn)n2Nverie elle aussi la relation de recurrence. Comme dans le premier cas, il est aise de
montrer que toute combinaison lineairevn=rn+nrn;de ces deux suites verie elle aussi la relation de recurrence etudiee. Reste alors a choisir correctement les coecients pour que les termes initiaux co ncident : v0=u0etv1=u1. On resout le systeme correspondant :
8< :v 0=u0 v1=u1()8
:=u= 0 r+r=u1()8 :=u0 =u1r u0 u u0 r n:Recapitulatif Theoreme :Soientaetbdeux reels non nuls et (un)n2Nune suite veriant pour tout entier natureln la relation de recurrence suivante : u n+2=aun+1+bun: Le discriminant de l'equation caracteristiquex2axb= 0 est note . Premier cas : >0. On notex1etx2les deux racines distinctes du trin^ome. Alors il existe un uniquecouple de reels (,) tel que8n2N;un=xn1+xn2:Second cas : <0. On notez=eiune des deux racines complexes (conjugues) du trin^ome. Alors il
existe un unique couple de reels (A;B) tel que8n2N;un=n(Acos(n) +Bsin(n)):Troisieme cas : = 0. On noterl'unique solution du trin^ome. Alors il existe un unique couple de reels
(;) tel que8n2N;un= (+n)rn:Dans les trois cas, en pratique, c'est en resolvant un systeme a l'aide des termes initiauxu0etu1que l'on
determine precisement les valeurs des deux coecients.Encore une fois, toutes les formules rencontrees dans la demonstration de ce theoreme ne sont pas a conna^tre
par cur. Face a une suite recurrente lineaire d'ordre 2, il faut pouvoir : Ecrire l'equation caracteristique associee (et la resoudre).Donner l'expression du terme general de la suite (i.e.conna^tre les formules du theoreme) avec les valeurs
exactes pourx1,x2,,our.Retrouver les deux coecients (etouAetB) a partir des deux premiers termes de la suite.Exemple :Soit (un)n2Nla suite denie par
8>>< >:u 0= 0; u 1= 1;8n2N; un+2= 6un+19un:
Determinons le terme generalunen fonction den.
L'equation caracteristique associee est 0 =x26x+ 9 = (x3)2, dont l'unique solution vaut 3. On sait donc que le terme general de la suiteunest de la forme8n2N; un= (+n)3n:
On resout alors le systeme donne par les termes initiaux : 8< :0 = (+ 0)301 = (+ 1)31()8
:= 03(+) = 1()8
:= 0 =13En conclusion,
8n2N; un=13
n3n=n3n1:bcpst?.?|????-????| Lycee Pierre deFermat3Suites recurrentesExemple :Soit (un)n2Nla suite denie par
8>>< >:u 0= 1; u 1= 2;8n2N; un+2= 2un+12un:
Determinons le terme generalunen fonction den.
L'equation caracteristique associee estx22x+ 2 = 0. Son discriminant vaut4 et les deux solutions complexes conjuguees sont x1=22i2
= 1i=p2ei4 etx2= 1 +i=p2ei4 On sait donc que le terme general de la suiteunest de la forme8n2N; un=p2
n4 n4 Les termes initiaux permettent d'ecrire le systeme 8< :1 =p20Acos04
+Bsin04
2 = p21Acos4
+Bsin4
()8 :1 =A 2 =p2 p2 2 A+p2 2 B()8 :A= 1A+B= 2()8
:A= 1 B= 1:En conclusion,
8n2N; un=p2
n4 n4 :Exemple :Soit (un)n2Nla suite denie par 8>>< >:u 0= 2; u 1= 1;8n2N; un+2=5un+14un:
Determinons le terme generalunen fonction den.
L'equation caracteristique associee estx2+5x+4 = 0. Son discriminant vaut 9 et les deux solutions reelles
distinctes sont x 1=532 =4 etx2=1: On sait donc que le terme general de la suiteunest de la forme8n2N; un=(4)n+(1)n:
Les termes initiaux permettent d'ecrire le systeme 8< :2 =+1 =4()8
:3=3 += 2()8 :=1 = 3:En conclusion,
8n2N; un= 3(1)n(4)n:Exemple :Determiner le terme general des suites suivantes en fonction den:
u0= 0,u1=1,8n2N; un+2= 3un+12un. u0= 2,u1=3,8n2N; un+2+ 6un+1+ 9un= 0. u0=1,u1= 2,8n2N; un+1= 2un4un1.bcpst?.?|????-????| Lycee Pierre deFermat4Suites recurrentesquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les suites : vrai ou faux
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