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  • Est-ce que un nombre divisible par 3 est divisible par 9 ?

    Si un entier est divisible par 3, alors il est divisible par 9. Si un entier est divisible par 2 et par 3, alors, il est divisible par 5. Si un entier est divisible par 14, alors, il est divisible par 7.

  • Pourquoi 9 est divisible par 3 ?

    Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 (3 ; 6 ; 9 ; etc.).

  • Quel chiffre est divisible par 9 ?

    15 , 21 , 24 sont divisible par 3 et non par 9 car -la somme des chiffres de 24 est egale a 6 qui est divisible par 3 donc 24 est divisible par 3 ; le reste de la division 24:3 n'est pas egale a zero donc 24 n'est pas divisible par 9.

Définitiondumodulo

autre.Si divisiblepar7.Parexemple,commentsavoirsi

7965estdivisibleparlesnombrespremiers7,

11,13,17...

plusgénéralequi

Voiciàquoiressemblelanotation25 1 mod3

DefaçongénéralemodARm

SignifiequequandondiviseAparm

,lerestedeladivisionestR.

7,c'estͲàͲdirexdansl'équation7965 mod7x

2L'arithmétiquemodulaire

15 8 mod7

congruentsenmodem.

Voicilespropriétésdumodule

1) mod modaba m b m 2) mod modab a m b m Si modab m,alors 3) modacbc m 4) modacbc m 5) modac bc m 6) mod cc ab m

Ladivisibilité

3L'arithmétiquemodulaire

600 600 mod7

61010 mod7

6 mod7 10 mod7 10 mod7 (propriété 2)

1 mod7 3 mod7 3 mod7

133(mod7)

9mod7 5mod7

600n'estdoncpasdivisiblepar7.

Exemple:EstͲceque7965estunmultiplede7

7965 7 1000 9 100 6 10 5 (mod7)

7101010 91010 610 5(mod7)

0333 233 13 2(mod7)

01832(mod7)

13 mod7

6 mod7

Onsaitdoncque7n'estpasunfacteurde7965.

7956 7 10 10 10 9 10 10 5 10 6 (mod13)

7333 433536(mod13)

727123 156(mod13)

7 1 1 3 2 6 (mod13)

7326mod13

0 mod13

Onsaitdoncque7956estdivisiblepar13.

4L'arithmétiquemodulaire

aussiquelquestrucspourd'autresnombres.

Divisibilitépar3

d'unnombreestdivisiblepar nombrede5chiffres:abcde.Onaalors

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (mod3)

1111 111 11 1 (mod3)

(mod3)abcde a b c d e abcde abcde

Exemple:EstͲceque7965estdivisiblepar3

Divisibilitépar9

d'unnombreest nombrede5chiffres:abcde.Onaalors

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (mod9)

1111 111 11 1 (mod9)

(mod9)abcde a b c d e abcde abcde

Exemple:EstͲceque7965estdivisiblepar9

5L'arithmétiquemodulaire

Divisibilitépar11

Prenonsparexempleunnombrede5chiffres:

abcde.Onaalors

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (mod11)

1111 111 11 1 (mod11)

(mod11)abcde a b c d e abcde abcde 11.

EXERCICES

1.Déterminez,sanscalculatrice,si

a) 8748estdivisiblepar7 b) 108439estdivisiblepar9 c) 957est divisiblepar11 d) 976497estdivisiblepar3 e) 2050545estdivisiblepar13 f) 89760estdivisiblepar17 g) 96257estdivisiblepar7 h) 78656estdivisiblepar19 i) 183489estdivisiblepar11 j) 32344est divisiblepar13

6L'arithmétiquemodulaire

que AB

Ledernierchiffred'uneexpression

ledernierchiffrede43 5679
oude62 1986
trouverlemodulo10dunombre.

Onpeutd'abordsimplifier

puisque,selonlapropriété6,ona

5679 5679

1986 1986

43 3 mod10

62 2 mod10

terminentpar6.

Ensuite,onadeux

9.

Ainsiona

7L'arithmétiquemodulaire

5679 5679

2839
2 2839

43 3 mod10

33mod10

13mod10

13 mod10

7 mod10

Etonsaitdoncquecechiffreseterminepar7

1 =2,2 2 =4,2 3 =8,2 4 =16et2 5 =32,onvoit

4),8(cyclede4)et9(cyclede2)

Ainsi,ona,pour2

1986

1986 2

22mod10

qu'onveut.)Donc

1986 2

22mod10

4 mod10

Cechiffreseterminedoncpar4

Onpeutaussiutilisercettetechniquepour43

5678
.Onaalors

5679 5679

3

43 3 mod10

3 mod10

7 mod10

lecycledesexposantsenbase3estde4.

8L'arithmétiquemodulaire

Exemple:Quelestledernierchiffrede3244

567
Ona

4567 4567

324 4 mod10

4 mod10

puisquelecycledesexposantsenbase4estde2.

Exemple:Quelestledernierchiffrede

42 7
742

42 7 42 7

23

7 42 7 2 mod10

72mod10

49 8 mod10

57 mod10

7 mod10

Ledernierchiffreestdonc7

seterminantparlesautresnombres. l'exemplesuivant. 2007
2007

2007 2007

2007 7 mod100Propriété6(attention,ilfautgarderlesdeuxdernierschiffres

delabaseenmod100)

Onpeutensuitefaire

9L'arithmétiquemodulaire

2007 2007

501
43
501
3 501
3

2007 7 mod100

7 7 mod100

2401 7 mod100

1 7 mod100

343 mod100

43 mod100

terminantpar01!

EXERCICES

1.Quelestledernierchiffrede

a) 2 98768
b) 3 98768
c) 4 98768
d) 5 98768
e) 6 98768
f) 7 98768
g) 8 98768
h) 9 98768

10L'arithmétiquemodulaire

ANNEXE

Preuvedespropriétésdesmodules

1) mod modaba m b m

Soitlesnombresa=Am+retB=Bm+t.Onaalors

ab Amr Bmt

ABm rt

2) mod modab a m b m

Soitlesnombresa=Am+retB=Bm+t.Onaalors

2 ab Am r Bm t

ABm Amt Bmr rt

ABm At Br m rt

3) modacbc m

11L'arithmétiquemodulaire

()ac Amr Cmt ACm rt (leresteestr+t) ()bc Bmr Cmt BCm rt (leresteestr+t)

Lesrestessontdonclesmêmes.

4) modacbc m ()ac Amr Cmt ACm rt (leresteestrͲt) ()bc Bmr Cmt BCm rt (leresteestrͲt)

Lesrestessontdonclesmêmes.

5) modac bc m

²()a c Am r Cm t ACm Amt Cmr rt ACm At Cr m rt

(leresteestrt)

²()b c Bm r Cm t BCm Bmt Cmr rt BCm Bt Cr m rt

12L'arithmétiquemodulaire

(leresteestrt)

Lesrestessontdonclesmêmes.

6) mod cc ab m puissancecdecesnombres,onaalors cc aAmr derniertermequiserar c .Parexemple,sicvaut5onaura

54 3 22345

510 10 5

c

Am r Am Am r Am r Am r Am r r

reste.Leresteestdoncr c .Parlemêmeraisonnement,lerestede cc bBmr estaussir c

Lesrestessontdonclesmêmes.

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