LOIS À DENSITÉ
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31 mars 2015 b + a. 2. PAUL MILAN. 3. TERMINALE S. Page 4. TABLE DES MATIÈRES. Remarque : Dans notre exemple précédent on trouve : E(X) = 2
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Lois de probabilité à densité – Exercices
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Les lois à densité concernent l'étude des séries statistiques à caractère continu (contrairement aux probabilités discrètes) Définition : On dit qu'une
Comment calculer la densité d'une loi ?
Si f ( x ) = k pour tout x ? [ a ; b ] , alors on doit avoir ? a b k d x = k × ( b ? a ) = 1 donc la valeur prise par la fonction de densité est nécessairement égale à 1 b ? a afin d'avoir une aire totale délimitée sur égale ?.Comment calculer la densité d'une loi uniforme ?
Si X est une variable aléatoire à densité ayant pour densité f , on a P(X?[a,b])=?baf(t)dt, P(X?a)=?+?af(t)dt, P(X?a)=?a??f(t)dt.Comment calculer la densité de probabilité d'une fonction ?
Si f est une densité d'une loi uniforme sur \\left[ a;b \\right], l'espérance de X vaut \\dfrac{a+b}{2}. Si f est une densité d'une loi exponentielle de paramètre \\lambda, l'espérance de X vaut \\dfrac{1}{\\lambda}.
Lois à densité. Loi normale
1 Lois à densité
1.1 Généralités
Définition 1On appelledensité de probabilitéd"une variable aléa- toire continue X, la fonctionfcontinue et positive sur un intervalleI ([a;b],[a;+∞[ouR) telle que :
P(X?I) =?
(I)f(t)dt=1Pour tout intervalle J= [α,β],
on a :P(X?J) =?αf(t)dt
1P(X?J)
1 u.a.
Cf βOLa fonctionFdéfinie par :
F(x) =P(X?x)est appelée
lafonctionderépartitiondela variableXF(x) =?
x a -∞f(t)dt 1 F(x)C f x O L"espérance mathématique d"une variable aléatoire continueX, de densitéfsur I, est :E(X) =?
(I)t f(t)dt1.2 Loi uniforme
Définition 2X suit une loi uniforme sur I= [a,b], alors : f(t) =1 b-aPour tout intervalle J= [α,β]inclus
dans I, on a :P(X?J) =β-α
b-a=longueur de J longueur de ILa probabilité est proportionnelle à la
longueur de l"intervalle. 1b-a aαβbP(X?J) O1 u.a.
1.3 Loi exponentielle
Définition 3X suit une loi exponentielle de paramètre réelλalors : f(t) =λe-λt On a les relations suivantesLa fonction de répartition :F(x) =1-e-λxP(X?a) =1-e-λaetP(X?a) =e-λa
P(a?X?b) =F(b)-F(a) =e-λa-e-λb
Théorème 1La loi exponentielle est une loisans mémoire?t>0 eth>0 on aPX?t(X?t+h) =P(X?h)Théorème 2X suit une loi exponentielle de paramètreλalors :l"espérance : E(X) =1
La demi vie :t1/2=ln2
E(X) =t1/2
ln2?1,44t1/2 t1/2 E(X) Oλ12u.a.
12u.a.
PAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE28 mai 2014 à 19:09TERMINALES2.2 LA LOI NORMALE GÉNÉRALE
2 La loi normale
2.1 La loi normale centrée réduite
Définition 4On appelle densité de probabilité de Laplace-Gauss, la fonction?définie surRpar : ?(t) =1 ⎷2πe-t2 2 Xsuit une loi normale centrée réduite,N(0,1), si sa densité de pro- babilité est égale à la fonction?.Sa fonction de répartitionΦvaut :Φ(x) =?
x -∞?(t)dt L"espérance de X vaut 0 et son écart-type 1 d"oùN(0,1) Théorème 3Xsuit la loiN(0,1)alors pour tous réelsaetb>aon a :P(X?a) =Φ(a)
P(X?b) =1-Φ(b)
P(a?X?b) =Φ(b)-Φ(a)
P(X?-|a|) =1-Φ(|a|)
1-Φ(b)
Φ(a)
Φ(b)-Φ(a)
a b Théorème 4Xestunevariablealéatoirequisuitunloinormalecen- trée réduite. Soitα?]0;1[, il existe ununiqueréelstrictement posi- tifuαtel que :P(-uα?X?uα) =1-α Il est bon de retenir les valeurs deu0,05etu0,01:P(-1.96?X?1.96) =0,95
P(-2.58?X?2.58) =0,99
2.2 La loi normale générale
Définition 5Changement de variable
Xsuit une loi normale de paramètresN(μ,σ2), alors :Z=X-μ
σsuit une loi normaleN(0,1)
On a alors : E(X) =μet V(X) =σ2
On obtient les intervalles caractéristiques :
μ-σμ-2σμ-3σμ+σμ+2σ μ+3σμ68%95%95%99,7%
99,7%2.3 Approximation normale d"une loi binomiale
Théorème 5Théorème de Moivre-Laplace
Xsuit la loi binomialeB(n,p)etZtel que :
Z=X-E(X)
σ(X)=X-np
np(1-p)Pour tous nombresaetbtels quea lim n→+∞P(a?Z?b) =? b a1⎷2πe-t2 2dt Conditions de l"approximation d"une loi binomialeB(n,p)par une loi normale N (np,np(1-p)) n?30,np?5 etn(1-p)?5? Faire la correction de continuité :P(7?X?15) =PN(6,5?X?15.5) PAULMILAN
TERMINALES
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PAULMILAN
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