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Comment calculer la densité d'une loi ?
Si f ( x ) = k pour tout x ? [ a ; b ] , alors on doit avoir ? a b k d x = k × ( b ? a ) = 1 donc la valeur prise par la fonction de densité est nécessairement égale à 1 b ? a afin d'avoir une aire totale délimitée sur égale ?.
Comment calculer la densité d'une loi uniforme ?
Si X est une variable aléatoire à densité ayant pour densité f , on a P(X?[a,b])=?baf(t)dt, P(X?a)=?+?af(t)dt, P(X?a)=?a??f(t)dt.
Comment calculer la densité de probabilité d'une fonction ?
Si f est une densité d'une loi uniforme sur \\left[ a;b \\right], l'espérance de X vaut \\dfrac{a+b}{2}. Si f est une densité d'une loi exponentielle de paramètre \\lambda, l'espérance de X vaut \\dfrac{1}{\\lambda}.

1Lois à densité

Corrigés de quelques exemples

Terminale S 731

Frédéric Junier

Lycée du Parc, Lyon

1.http://frederic-junier.org/

2Exemple 13

SoitXune variable aléatoire suivante une loi normaleN(μ;4).

On a 4=σ2doncσ=2 carσ>0.

Soit Z=X-μσ

la variable aléatoire centrée réduite associée

àX.

Par définition,Zsuit la loiN(0;1).

2. Calculons la valeur de μtelle que P?X<100?=0,001. P ?X<100?=0,001??P?Z<100-μ2 ?=0,001 On inverse la loiN(0;1)et on noteΨ(0,001)le réelutel que P?Z6u?=0,001. La fonctionΨest la fonction

FracNormaleouInvNormde la calculatrice.

On en déduit que :

100-μ2= Ψ(0,001)??μ=100-2Ψ(0,001)≈106,180

3Exemple 14 Questions 1) et 2)

Xest la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d"une journée de la source A, associe le taux de calcium de l"eau qu"elle contient. On suppose queXsuit la loi normale de moyenne 8 et d"écart-type 1,6. Yest la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d"une journée de la source B, associe le taux de calcium qu"elle contient. On suppose queY suit la loi normale de moyenne 9 et d"écart-typeσ. 1. P ?6,56X69,6?≈0,6832.P ?X66,5?≈0,174

4Exemple 14 Question 3)

3.Déterminonsσsachant que la probabilité qu"une bouteille

prélevée au hasard dans la production d"une journée de la source B contienne de l"eau très peu calcaire est 0,1.

Ysuit la loiN?

9;σ2?

doncZ=Y-μσ suit la loi

N(0;1).

P ?Y66,5?=0,1??P?Z66,5-9σ ?=0,1??P?Z6-2,5σ ?=0,1 On inverse la loiN(0;1)et on noteΨ(0,1)le réelutel que P?Z6u?=0,1. La fonctionΨest la fonctionFracNormale ouInvNormde la calculatrice.

On en déduit que :

-2,5σ= Ψ(0,1)??σ=-2,5Ψ(0,1)≈1,951

5Exemple 15 Question 1 Partie 1

La durée de vie d"un certain type d"appareil est modélisée par une variable aléatoireXsuivant une loi normale de moyenneμet d"écart-typeσinconnus. Les spécifications impliquent que 80% de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à

120 jours.

1.Xsuit la loiN?

μ;σ2?

doncZ=X-μσ suit la loi

N(0;1).

P?1206X6200?=0,8

P?X6120?=0,05???P?X6200?=0,85

P?X6120?=0,05

?P ?Z6200-μσ ?=0,85 P ?Z6120-μσ?=0,05

6Exemple 15 Question 1 Partie 2

1.On inverse deux fois la loiN(0;1)et on noteΨ(0,85)le

réelutel que P?Z6u?=0,85 etΨ(0,05)le réelvtel que

P?Z6v?=0,05

La fonctionΨest la fonctionFracNormaleouInvNormde la calculatrice. ?P?1206X6200?=0,8

P?X6120?=0,05???

?200-μσ = Ψ(0,85)

120-μσ

= Ψ(0,05) ?200-μ=σ×Ψ(0,85)

120-μ=σ×Ψ(0,05)

???200-σ×Ψ(0,85) =μ

80=σ×(Ψ(0,85)-Ψ(0,05))

?μ≈169,08

σ≈29,84

7Exemple 15 Question 2

2.Calculons la probabilité d"avoir un appareil dont la durée de

vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours : P ?2006X6230?≈0,129

8Exercice 1 de la fiche de révisions n

o2 (1 / 2) SoitYune variable aléatoire suivant une loi normale N?

2015;σ2?

telle que P?19826Y62048?=0,813.

Calculer une valeur approchée à 10

-1près deσ.

Ysuit la loiN?

2015;σ2?

doncZ=Y-2015σ suit la loi

N(0;1).

Calculons la valeur deσtelle que

P?19826Y62048?=0,813.

P ?19826Y62048?=0,813??P?-33σ 9Exercice 1 de la fiche de révisions n o2 (2 / 2) Par propriété de symétrie de la loiN(0;1)on a : P ?Z<33σ ?=1+P?-33σ FracNormaleouInvNormde la calculatrice.

On en déduit que :

33σ

= Ψ(0,9065)??σ=33Ψ(0,9065)≈25quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Comment calculer la densité d'une loi ?

Comment calculer la densité d'une loi uniforme ?

Comment calculer la densité de probabilité d'une fonction ?

1Lois à densité

Corrigés de quelques exemples

Terminale S 731

Frédéric Junier

Lycée du Parc, Lyon

1.http://frederic-junier.org/

2Exemple 13

On a 4=σ2doncσ=2 carσ>0.

Soit Z=X-μσ

àX.

Par définition,Zsuit la loiN(0;1).

FracNormaleouInvNormde la calculatrice.

On en déduit que :

100-μ2= Ψ(0,001)??μ=100-2Ψ(0,001)≈106,180

3Exemple 14 Questions 1) et 2)

4Exemple 14 Question 3)

3.Déterminonsσsachant que la probabilité qu"une bouteille

Ysuit la loiN?

9;σ2?

N(0;1).

On en déduit que :

5Exemple 15 Question 1 Partie 1

120 jours.

1.Xsuit la loiN?

μ;σ2?

N(0;1).

P?1206X6200?=0,8

P?X6120?=0,05???P?X6200?=0,85

P?X6120?=0,05

6Exemple 15 Question 1 Partie 2

1.On inverse deux fois la loiN(0;1)et on noteΨ(0,85)le

P?Z6v?=0,05

P?X6120?=0,05???

120-μσ

120-μ=σ×Ψ(0,05)

80=σ×(Ψ(0,85)-Ψ(0,05))

σ≈29,84

7Exemple 15 Question 2

2.Calculons la probabilité d"avoir un appareil dont la durée de

8Exercice 1 de la fiche de révisions n

2015;σ2?

Calculer une valeur approchée à 10

Ysuit la loiN?

2015;σ2?

N(0;1).

Calculons la valeur deσtelle que

P?19826Y62048?=0,813.

On en déduit que :

33σ