1 Programmation linéaire
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Programmation linéaire en nombres entiers : la méthode du simplexe
Programme linéaire entier facile : Un PLE qui en oubliant les contraintes d'intégrité
LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire (PL) mis sous la forme particulière où toutes les contraintes sont des équations et toutes les variables sont non négatives est dit sous
TD 7 : Exercice corrigé Algorithme du simplexe Méthode des deux
Algorithme du simplexe. Méthode des deux phases. Exercice. Résoudre par la méthode des deux phases le modèle de programmation linéaire suivant :.
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Problème de programmation linéaire sous forme standard L'algorithme dual du simplexe est une méthode itérative pour résoudre un.
SOLUTIONNAIRE : DUAL EXERCICES 1 Formulation du dual
PPL : Le problème de programmation linéaire sous forme canonique est de maximiser Excel dans son algorithme du simplexe utilise une construction du dual ...
Programmation linéaire en nombres entiers
Il suffit de poursuivre la résolution avec l'algorithme dual du simplexe. ( ). Notes: 1) Si. (i.e. est entier).
Chapitre 3 Méthode du simplexe
égal à m. Selon le chapitre précédent nous savons que la solution optimale du problème d'optimisation linéaire max z = ctx
Cahier dexercices corrigés Eric LALLET Jean-Luc RAFFY
Correction page 42. 1.6 Programmation linéaire : le simplexe. Exercice 1.6.1 (Une histoire de fromage). Une laiterie s'
1. Le tableau du simplexe (version perso)
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ALGORITHME DU SIMPLEXE I - Introduction La méthode du simplexe est un algorithme qui permet la recherche de la solution optimale d'un programme linéaire
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18 mar 2020 · recueil de 100 exercices de programmation lineaire exercice corrige simplexe deux phases theoreme des ecarts complementaires exercices corriges
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Maximiser le gain de l'année par la méthode du simplexe Modéliser le probl`eme sous forme d'un programme linéaire en nombres entiers
Modélisation méthode graphique et algorithme du Simplexe
Corrigés des exercices 5 page 18 + 4°) de l'exercice 10 Exercices corrigés 1 pdf Programmation linéaire en nombres entiers (2ème partie)
Comment résoudre un programme linéaire par la méthode du simplexe ?
Avant que l'algorithme du simplexe puisse être utilisé pour résoudre un programme linéaire, ce programme linéaire doit être converti en un programme équivalent où toutes les contraintes technologiques sont des équations et toutes les variables sont non négatives.Comment résoudre un problème de programmation linéaire ?
Si une solution de programmation linéaire existe, alors on peut trouver la solution en utilisant les étapes suivantes.
1Représenter graphiquement l'ensemble réalisable à partir des contraintes.2Déterminer tous les sommets.3Substituer les coordonnées de chaque sommet dans la fonction objectif.4Identifier la solution.Comment trouver le dual ?
Le dual est max z = bty, Aty ? c, y ? 0. min z = ctx, (At)tx ? b, x ? 0. ?? min z = ctx, Ax ? b, x ? 0. Donc, le dual du dual est le primal.- Le primal a une solution optimale est le dual a aussi une solution optimale. Le primal est non-borné est le dual est irréalisable. Le dual est irréalisable est le primal est non-borné. Tous les deux probl`emes sont irréalisables.
SOLUTIONNAIRE : DUAL
EXERCICES
1 Formulation du dual
(1) PROBLÈME-PPL : Maximiserz=x1+ 7x2sujet aux contraintes x -2x x oùx1≥0etx2≥0.
DUAL : Le nombre de variables est déterminé par le nombre de contrainte du primal : il y a donc 3 variables dans le modèledual.Le nombre de contraintes dans le dual est égal au nombre de variables dans le primal : il y a deux contraintes. DUAL : Minimiser w= 8y1+ 6y2+ 2y3
sujet aux contraintes y1-2y2+y3≥1
y1+ 3y2-y3≥7
avecy i≥0pouri= 1,2,3. -La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x1) dans
chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x1a comme
coefficient 1 pour la première contrainte (y1), -2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour
la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y1), 3 pour la deuxième contrainte (y2)
et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (2) PROBLÈME-PPL : Maximiserx1-3x2=zsujet aux contraintes
x -2x1+ 3x2≥6
x oùx1≥0etx2≥0.
DUAL : Le modèle n'est pas sous forme canonique : il est plus simple de considérer la forme canonique pour construire le dual. FORME CANONIQUE DU PPL : Maximiserx1-3x2=zsujet aux contraintes x 2x x oùx1≥0etx2≥0.
-Il y a 3 contraintes dans le PPL donc il y a 3 variables dans ledual -Il y a 2 variables de décision dans le PPL donc il y a deux contraintes dans le dual.DUAL : Minimiser
w= 8y1-6y2+ 2y3
sujet aux contraintes y1+ 2y2+y3≥1
y1-3y2-y3≥ -3
avecy1≥0,y2≥0ety3≥0.
-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x1) dans
chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x1a comme
coefficient 1 pour la première contrainte (y1), 2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour
la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y1), -3 pour la deuxième contrainte (y2)
et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (3) PROBLÈME-PPL : Maximiserz= 6x1+ 5x2sujet aux contraintes
x -2x x avecx i≥0 Le problème est déjà sous forme canonique. -Il y a 3 contraintes dans le PPL donc 3 variables dans le modèledual -Il y a deux variables de décision dans le PPL donc deux contraintes dans le dual.DUAL : Minimiser
w= 8y1+ 6y2+ 2y3
sujet aux contraintes y1-2y2+y3≥6
y1+ 3y2-y3≥5
avecy1≥0,y2≥0ety3≥0.
-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x1) dans
chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x1a comme
coefficient 1 pour la première contrainte (y1), -2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour
la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y1), 3 pour la deuxième contrainte (y2)
et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (4) PROBLÈME-PPL : Maximiserz= 5x1+ 5x2sujet aux contraintes
x -2x1+ 3x2≥6
x oùx1≥0etx2≥0.
Le modèleprimalsous sa forme canonique est donné par :Maximiserz= 5x
1+ 5x2sujet aux contraintes
x 2x x oùx1≥0etx2≥0.
-Il y a 3 variables dans le modèledual(nombre de contraintes dans le PPL) -Il y a deux contraintes dans le modèle dual (nombre de variables dans le PPL).DUAL : Minimiser
w= 8y1-6y2+ 2y3
sujet aux contraintes y1+ 2y2+y3≥5
y1-3y2-y3≥5
avecy1≥0,y2≥0ety3≥0.
-La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x1) dans
chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x1a comme
coefficient 1 pour la première contrainte (y1), 2 pour la deuxième contrainte (y2) et 1 pour
la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient 1 pour la première contrainte (y1), -3 pour la deuxième contrainte (y2)
et -1 pour la troisième contrainte (y 3). (5) PROBLÈME - PPL : Maximiserz= 6x1+ 5x2sujet aux contraintes
x1+x2≥8
-2x1+ 3x2≥6
x1-x2≥2
oùx1≥0etx2≥0.
DUAL : La forme canonique du modèleprimalest de maximiserz= 6x1+ 5x2sujet aux
contraintes -x 2x -x oùx1≥0etx2≥0. -Il y a trois variables dans le modèledual -Il y a deux contraintes dans le modèle dual.DUAL : Minimiser
w=-8y1-6y2-2y3
sujet aux contraintes -y1+ 2y2-y3≥6
-y1-3y2+y3≥5
avecy i≥0, pouri= 1,2,3... -La premième contrainte est déterminée par les coefficient de la première variable (x1) dans
chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x1a comme
coefficient -1 pour la première contrainte (y1), 2 pour la deuxième contrainte (y2) et -1
pour la troisième contrainte (y 3). -La deuxième contrainte est déterminée par les coefficient de la deuxième variable (x 2) dans chacune des contraintes du primal (du PPL original) sous forme standard.x 2a comme coefficient -1 pour la première contrainte (y1), -3 pour la deuxième contrainte (y2)
et 1 pour la troisième contrainte (y 3). (6) PROBLÈME : Une compagnie fabrique deux types d'acier : Acier trempé (T) et l'acier détrempé (D). Le profit pour une tonne d'acier est de 6k$ et 4k$ pour l'acier T et D respectivement. Il faut 2 et 3 tonnes de matières premières pour les aciers T et D respectivement tandis que le temps de production est respectivement de 6 et 4 unités. La compagnie dispose de 120 tonnes de matières premières et de 100 unités de temps. PPL : Le problème de programmation linéaire sous forme canonique est de maximiser z= 6x1+ 4x2
sujet aux contraintes 2x 6x etx i≥0pouri= 1,2. -Ledualcomprend 2 variables -Le dual comprend 2 contraintesDUAL : Minimiser
w= 120y1+ 100y2
sujet aux contraintes 2y1+ 6y2≥6
3y1+ 4y2≥4
avecy1≥0ety2≥0.
(7) PROBLÈME : Un constructeur automobile doit livrer son modèle AA à 4 concessionnaires à partir de trois usines de production. Les disponibilités aux usines sont respectivement de80, 40 et 100 unités tandis que les démandes des vendeurs sont de 40, 75, 25 et 60 pour les
concessionnaires I, II, III et IV respectivement. Les coûts de livraison des automobiles, en centaine de $, sont donnés par le tableau suivant :Concessionnaire
I II III IV
14 2 6 4
Usines2
8 6 10 8
36 4 8 6
On cherche à établir le plan de livraison optimal.VARIABLES DE DÉCISION : Considéronsx
ijles variables de décision qui donnent le nombre de véhicules livrés de l'usine i vers le concessionnairej. On cherche à minimiser le coût de la livraison. Le PPL donne comme fonction objectif à minimiser : 4x11+ 8x21+ 6x31+ 2x12+ 6x22+ 4x32+
6x13+ 10x23+ 8x33+ 4x14+ 8x24+ 6x34
Les contraintes sont des contraintes de production et des contraintes de demande : x x x x11+x21+x31≥40
x12+x22+x32≥75
x13+x23+x33≥25
x14+x24+x34≥60
avec les contraintes de non négativitéx ij≥0. Le modèle sous sa forme canonique est de maximiser z=-4x11-8x21-6x31-2x12-6x22-4x32-
6x13-10x23-8x33-4x14-8x24-6x34
sujet à x x x -x -x -x -x -Puisqu'il y a 7 contraintes pour le PPL dans sa forme canonique, le dual a 7 variables -Puisqu'il y a 12 variables dans le PPL sous sa forme canonique il y a 12 contraintes dansle dual.DUAL : Minimiser
w= 80y1+ 40y2+ 100y3-40y4-75y5-25y6-60y7
sujet aux contraintes y1-y4≥ -4
y2-y4≥ -8
y3-y4≥ -6
y1-y5≥ -2
y2-y5≥ -6
y3-y5≥ -4
y1-y6≥ -6
y2-y6≥ -10
y3-y6≥ -8
y1-y7≥ -4
y2-y7≥ -8
y3-y7≥ -6
avecy i≥0pouri= 1,...,7. -Pour la première contrainte du dual on s'intéresse aux coefficients de la variablex11dans
chaque contrainte du PPL.x11se retrouve avec un coefficient 1 dans la première contrainte
et -1 dans la quatrièmre contrainte du PPL sous forme canonique.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] exercice corrigé methode simplexe pdf
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