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Title: titre (1 of 32)

MVA005

Calcul di

érentiel et intégral

séance n°6

Title: Plan ch.7-1 (2 of 32)

Chapitre 7

Développements limités

1. Formes indéterminées

2. Terme principal et calcul des limites

3. La notation

o

4. Développements limités

5. Calcul des développements limités

MVA005

Title: Formes ind (3 of 32)

Formes indéterminées

Lever l'indétermination

, c'est trouver la limite d'une forme indéterminée s'appelle .

Problème

Une expression

Il y a aussi des formes indéterminées du type !/! et du type 0 x ! mais elles se ramènent toutes au type 0/0 . une forme indéterminée du type 0/0 . avec ets'appelle

Title: L'Hospital (4 of 32)

Règle de L'Hospital

Exemple

La règle de L'Hospital permet souvent de lever les indéterminations mais pas quand Si u et v sont deux fonctions définies au voisinage de a, dérivables en a et si , alors :

Exemple

Title: 0 (5 of 32)

Exemple

Quand on a une forme indéterminée avec x - > a , on pose x = a + h , avec h = x - a , ce qui donne une nouvelle forme indéterminée avec h - > 0 . Quand on a une forme indéterminée avec x - > ! , on pose x = 1/h , avec h = 1/ x , ce qui donne une nouvelle forme indéterminée avec h - > 0 . Dans ce qui suit, on étudiera seulement le cas x - > 0 pour les formes indéterminées du type

0/0 puisque toutes les

autres formes indéterminées se ramènent à celles-là..

On pose x = 2 + h :

Title: Plan ch.7-2 (6 of 32)

Chapitre 7

Développements limités

1. Formes indéterminées

2. Terme principal et calcul des limites

3. La notation

o

4. Développements limités

5. Calcul des développements limités

MVA005

Title: tpp (7 of 32)

Terme principal

Lever les indéterminations serait très facile si l'on n'avait que des fonctions du type Cx n avec C une constante non nulle. Alors, peut-on remplacer une fonction quelconque par une fonction de ce type ?

Définition

On dit que la fonction Cx

n est le terme principal de la fonction f au voisinage de

0 et on écrit f(x) ~ Cx

n si :

Exemple

Si f x est la constante non nulle C , on a C ~ C .

Title: unicité (8 of 32)

Exemple

Exempledonc sin x ~ x

donc

Théorème

Quand une fonction admet un terme principal, elle en admet un seul.

Title: prod (9 of 32)

Théorème

Si u x ) ~ Cx n et v(x) ~ Dx m alors : u x v x ) ~ CD x m+n et

Dans les

multiplications ou les divisions on peut remplacer les fonctions par leur terme principal.

Exempledonc

et sin x ~ x et

Exemple

doncet sin x ~ x

Title: somme (10 of 32)

Théorème

Si u x ) ~ Cx n et v(x) ~ Dx m alors : Ce qu'on va faire maintenant, c'est apprendre à écrire : f(x) = terme principal + termes secondaires de façon à récupérer "quelque chose" quand on fait une addit ion où les termes principaux se détruisent ... Dans une somme de termes principaux de "force" différente, celui qui a le plus grand exposant disparaît.

Exemples

Title: Plan ch.7-3 (11 of 32)

Chapitre 7

Développements limités

1. Formes indéterminées

2. Terme principal et calcul des limites

3. La notation

o

4. Développements limités

5. Calcul des développements limités

MVA005

Title: o-def (12 of 32)

Définition

On dit que la fonction f est petit o de x

n et on écrit : f(x) = o(x n quand avec

Exemples

avec C une constante et p >0 Par convention, désignera toujours une fonction telle que :

Title: emb. (13 of 32)

• Quand n >0 une fonction o(x n est une fonction qui tend vers 0 plus vite que x n • Quand n = 0 une fonction o(1) est une fonction qui tend vers 0. • Quand n <0 une fonction o(x n est une fonction qui tend vers ±! moins vite que x n

Théorème

Si f x ) = o(x n et si p !0 on a f(x) = o(x n-p

Title: convention (14 of 32)

1. Quand on écrit : f(x) = o(x

n , le signe = n'est pas un "vrai" signe = .

Exemple

f x ) = o(x n signifie plutôt : la fonction f fait partie des fonctions qui sont o x n , ou encore : la fonction f est du type o(x n

Ce qu'il faut comprendre !

3. Même chose pour : f(x)o(x

n , o(x m o x n ,o(x m o x n

2. Quand on va écrire : f(x) + o(x

n , cela veut dire qu'on fait la somme de la fonction f et d'une autre fonction dont on sait seulement qu'elle est du type o(x n

Title: règles (15 of 32)

Règles de calcul

p est le plus petit des deux nombres m et n . u(x) une fonction bornée) C une constante

Exemple

Que peut-on dire de : ?

Mauvaise réponse : c'est 0 ...

Attention

Title: Plan ch.7-4 (16 of 32)

Chapitre 7

Développements limités

1. Formes indéterminées

2. Terme principal et calcul des limites

3. La notation

o

4. Développements limités

5. Calcul des développements limités

MVA005

Title: dev.lim. (17 of 32)

Définition

Soit f une fonction définie au voisinage de 0 sauf peut-être en 0 et n un entier relatif.

Exemple

S'il existe des entiers p et n avec p ! n et des coefficients tels que : le membre de droite s'appelle le développement limité à l'ordre n, au voisinage de 0, de f(x).

Puisquela fonction

tend vers 0 et, parce que : on a :

Title: unicité (18 of 32)

L'entier n étant fixé, la seule façon de modifier le développement limité à l'ordre n de f(x) consiste à lui enlever ou lui ajouter des termes nuls. Si l'un des coefficients n'est pas nul, on note m le plus petit indice tel et on divise par , ce qui donne : avec

Théorème

Pour un ordre n donné, il y a une seule partie polynomiale.

En faisant tendre x vers 0 on obtient c

m = 0 ce qui est une contradiction !

La sommes'appelle la partie

polynomiale du développement limité.

Title: tronquer (19 of 32)

Faire cette opération, c'est tronquer le développement limité.

Théorème

On passe du développement limité à l'ordre N au développement limité à l'ordre nExemple Le développement limité à l'ordre n d'une fonction est l'analogue du développement décimal par défaut à pour un nombre unicité, troncature ...

Title: lien avec tpp (20 of 32)

Théorème

avec 1. Si alors . 2. Si alors . Dans la partie polynomiale du développement limité il y a le terme principal plus des termes secondaires. Pour ne pas faire de calculs inutiles on ne cherche que les termes dont on a besoin pour finalement obtenir le terme principal !

Title: ailleurs (21 of 32)

Un développement limité au voisinage de 0 ne donne aucun renseignement sur ce qui se passe ailleurs qu'en 0 . Pour avoir le développement limité de f(x) à l'ordre n , au voisinage de a , on pose g(h) = f(a+h) et on calcule le développement limité de g(h) à l'ordre n , au voisinage de 0 . Pour avoir le développement limité de f(x) à l'ordre n , au voisinage de ±! , on pose g(h) = f(1/h) et on calcule le développement limité de g(h) à l'ordre n , au voisinage de 0 .

Title: Plan ch.7-5 (22 of 32)

Chapitre 7

Développements limités

1. Formes indéterminées

2. Terme principal et calcul des limites

3. La notation

o

4. Développements limités

5. Calcul des développements limités

MVA005

Title: Young (23 of 32)

Théorème

Soient

n

0 un entier et f une fonction de classe C

n au voisinage de 0 . Alors f(x) possède le développement : Cette formule s'appelle la formule de Maclaurin avec reste de Young . Et, parce que la dérivée d'ordre n de f est continue, la limite quand x tend vers 0 de : est nulle et :

Title: ex (24 of 32)

Exemples

Title: dériv. (25 of 32)

Théorème

Soient

n

0 un entier et f une fonction de classe C

n au voisinage de 0 . Alors f ' (x) possède un développement à l'ordre n -1 obtenu en dérivant le développement de f(x) : Le développement de la dérivée est la dérivée du dével oppement.

Exemples

Théorème

Soient

n

0 un entier et f une fonction de classe C

n au voisinage de 0 . Alors toute primitive F de f possède un développement à l'ordre n +1 obtenu en intégrant le développement de f(x) et en ajustant le terme constant. Le développement de la primitive est la primitive du développement avec le bon terme constant.

Title: parité (26 of 32)

Théorème

Soient

m >0 et C une constante non nulle. Le développement de g(x) = f(Cx m s'obtient en remplaçant x par Cx m dans la partie polynomiale du développement de f(x) et o(x n par o(x nm

Exemple

Théorème

Exemple

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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