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DERNIÈRE IMPRESSION LE5 mai 2016 à 10:22

Limites indéterminées avec desradicaux

1 Une simple indétermination

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =⎷

x2+1+x

Déterminer la limite de la fonctionfen-∞

Le premier terme

x2+1 tend vers+∞tandis que le deuxièmextend vers-∞ lorsquextend vers-∞(+∞-∞) Pour lever l"indétermination, on multiplie par la quantité conjuguée : f(x) =(⎷ Il suffit alors de déterminer la limite de ce dénominateur pour trouverla limite de la fonctionfen-∞ lim x→-∞x2+1= +∞ lim x→+∞⎷ x= +∞???

Par composition

lim x→-∞?x2+1= +∞

Comme lim

x→-∞-x= +∞par somme limx→-∞⎷ x2+1-x= +∞

Par quotient, on a alors : lim

x→-∞f(x) =0 Remarque :La courbeCfadmet l"axe des abscisses comme asymptote horizon- tale en-∞. On peut visualiser la limite de la fonctionfen-∞, par la courbeCf 12345

1 2 3-1-2-3-4-5-6-7

Cf O

PAUL MILAN1TERMINALE S

2 Une double indéterminationSoit la fonctionfdéfinie sur[0 ;+∞;[par :f(x) =⎷

x2+2x-x

Déterminer la limite de la fonctionfen+∞

Le premier terme⎷

x2+2xtend vers+∞tandis que le deuxième-xtend vers -∞lorsquextend vers+∞(+∞-∞) f(x) =(⎷ Remarque :On observe une deuxième indétermination car le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux l"infini.?∞ •Pour lever cette deuxième indétermination, il faut mettre en facteur le terme prépondérant du dénominateur.

Remarque :On rappelle que⎷

x2=|x| x2+2x+x=⎷x2?1+2x+x=|x|?1+2x+x or commex>0, on a :|x|=x, d"où : f(x) =2x x?1+2x+x=2xx? ?1+2x+1? =2

1+2x+1

Il suffit de déterminer la limite de ce dénominateur pour trouver la limite de la fonctionfen+∞. lim x→+∞1+2 x=1 lim x→1⎷ x=1?????

Par composition

lim x→+∞?1+2x=1

Par somme et quotient, on a alors : lim

x→+∞f(x) =2 2=1 Remarque :La courbeCfadmet donc une asymptote horizontale d"équation y=1 en+∞ 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

O Cf

PAUL MILAN2TERMINALE S

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