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UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE

U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 - 2015

L1 Économie Cours de M. Desgraupes

Mathématiques: Mise à niveau

Séance 08: LimitesTable des matières

1 Limites

1

1.1 Définitions

1

1.2 Règles de calcul

3

1.3 Continuité

4

1.4 Limites à droite et à gauche

5

1.5 Limites infinies

7

1.6 Limites de suites

9

1.7 Indéterminations

9

1.8 Techniques de calcul

10

1.8.1 Factorisation et simplification

11

1.8.2 Encadrement

11

1.8.3 Quantité conjuguée

12

1.8.4 Règle de L"Hôpital

13

1.8.5 Équivalents

14

1.9 Prolongement par continuité

16

2 Exercices

17 1 Limites

1.1 Définitions

Les limites concernent deux variablesxetyqui sont liées entre elles par une fonction :y=f(x). La question est d"étudier le comportement deyen fonction de celui dex. En particulier de savoir ce qui se passe lorsquexse rapproche d"une valeur fixea. Siyse rapproche d"une valeurblorsquexse rapproche dea, on dit que "y tend versblorsquextend versa", ou encore que "ya pour limiteblorsquex tend versa". Symboliquement, on note cette propriété de la manière suivante : lim x!af(x) =b1 Comment mesure-t-on quexse rapproche dea? En calculant la distance qui séparexdea, c"est-à-dire la quantitéjxaj. On essaie de rendre cette distance arbitrairement petite. De la même manière, on rend la distance entre yetb, c"est-à-dire la quantitéjybj, arbitrairement petite.a b x y=f(x) dd x-a< d ee f(x)-b< eFinalement, la définition officielle d"une limite de nombres réels consiste à dire que, si on choisit un voisinage arbitrairement petit autour deb, il y a un voisinage arbitrairement petit autour deatel que, dès quexest dans ce voisinage, alorsy=f(x)est dans le voisinage deb. Si l"intervalle autour deaest]a;a+[et l"intervalle autour debest ]b;b+[, alors la propriété s"écrit sous la forme suivante : jxaj< =) jf(x)bj< On dit que la notion de limite estlocalecar, du point de vue dex, tout se passe localement autour deaet, du point de vue dey, tout se passe localement autour deb. Mais bien sûr le pointapeut être quelconque.

Exemple

Montrer que sixtend vers 2 alors la fonctiony=f(x) =x2tend vers 4. 2

Corrigé

On utilise la définition en partant de :

jx2j< () < x2< ()2 < x <2 + ()(2)2< x2<(2 +)2 ()44+2< x2<4 + 4+2 () 4+2< x24<4+2 =) jx24j<4+2 Si on pose= 4+2, on obtientjx24j< . C"est ce qu"on cherchait car si est donné arbitrairement petit, on peut toujours trouvertel que4+2=.

1.2 Règles de calcul

Le calcul de l"exemple précédent s"appuie sur la définition théorique de la notion de limite. Dans la pratique, on ne procède pas comme ça car on dispose de règles de calcul et de résultats connus qui simplifient considérablement la tâche. Voici quelques règles de calcul. Ces règles supposent que les limites dont on parle existent. Dans ces conditions : la limite d"une somme (ou différence) est la somme (ou différence) des limites : limx!af(x) +g(x) = limx!af(x) + limx!ag(x) la limite d"un produit est le produit des limites : lim x!af(x)g(x) = limx!af(x)limx!ag(x) la limite d"un quotient est le quotient des limites à condition que la limite du dénominateur ne soit pas nulle : lim x!af(x)g(x)=limx!af(x)lim x!ag(x) silimx!ag(x)6= 0. Un autre résultat utile concerne les fonctions composées. Si une fonctionhest la composée de deux fonctionsfetg, on a par définition h(x) = (gf)(x) =g f(x)

Supposons que

limx!af(x) =b et ensuite que limx!bg(x) =c 3 alors on peut conclure que lim x!a(gf)(x) =c

1.3 Continuité

On a vu ce que signifiait quef(x)tend vers un nombreblorsquextend versa. Le problème de la recherche de limite est précisément de trouver la valeur deb. Mais pour de nombreuses fonctions, la valeur debest tout simplement la valeur defena, ce qui est compréhensible intuitivement puisquexse rapproche dea. Ce phénomène porte un nom et s"appelle lacontinuité. Définition 1.1.Lorsque la limitebdef(x)existe et vaut précisémentf(a), on dit que la fonctionfest continue ena.

On écrit alors

limx!af(x) =f(a)Cette propriété,lorsqu"elle est vérifiée, simplifie considérablement les recherches

de limite car pour trouverbil suffit, dans ce cas, de calculerf(a). La continuité est une propriétélocale. On parle de continuité en un pointa particulier : c"est le fait que la limite def(x)lorsquextend versaestf(a). Si on a continuité en tous les pointsad"un certain intervalle, on dit alors que la fonctionfest continue sur l"intervalle. En conclusion, de nombreuses limites sont élémentaires à calculer dès qu"on sait que la fonctionfest continue. D"autre part, il y a des règles qui permettent de déterminer rapidement qu"une fonction est continue. Voici quelques règles concernant la continuité : sifetgsont continues ena, alors leur somme, leur différence et leur produit sont aussi continus ena; sifetgsont continues au pointaet sig(a)6= 0, alors le quotientf=gest continu ena; sifest continue enaetgest continue enf(a), alors la composéeh= (gf) est continue ena; les fonctions constantes sont continues en tout point ; les fonctions polynômes sont continues en tout point ; toutes les fonctions usuelles sont continues sur leur intervalle de définition (cos,sin,exp,log, etc.). Attention :il existe aussi des fonctions qui ne sont pas continues en certains points. L"exemple le plus simple est celui des fonctions en escalier : 4

0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10Graphiquement, une discontinuité correspond en général à un point où la

courbe ne se raccorde pas, autrement dit fait un saut.

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20

Discontinuité

1218.5

5

1.4 Limites à droite et à gauche

Cette situation conduit à la notion de limite unilatérale : limite à gauche ou limite à droite. 5 On dit que la fonctionfà unelimite à droitebsif(x)se rapproche deb lorsquextend versapar valeurs supérieures, c"est-à-dire(xa)!0avecx > a.

On note cette propriété comme ceci :

lim x!a+f(x) =bDe même, on dit que la fonctionfà unelimite à gauchebsif(x)se rapproche deblorsquextend versapar valeurs inférieures, c"est-à-dire(xa)!0avec x < a.

On note :

lim x!af(x) =bÉvidemment, si la fonction a une limite au sens propre enaalors cette limite sert aussi bien de limite à gauche que de limite à droite. Il existe cependant des fonctions qui ont des limites différentes selon qu"on vient de la gauche ou de la droite.

Exemple

Montrer que la fonctionf(x) =jxjx(x+1)a des limites à gauche et à droite différentes.

Corrigé

Six >0, on ajxj=xetf(x) =1x+1qui tend vers 1 lorsquex!0. La limite à droite est donc 1. De même, six <0, on ajxj=xetf(x) =1x+1qui tend vers -1 lorsque x!0. La limite à gauche est donc -1. Il existe une réciproque à la propriété précédente : Théorèmeu 1.1.Si une fonction a une limite à gauche et une limite à droite enaet si ces limites sont égales, alors elle a une limite au sens propre.

Exemple

Considérons la fonction par morceaux suivante : f(x) =( x2x+ 2six <3 x2+ 6x1six <3

Monter qu"elle est continue au pointa= 3.

Comme cette fonction est définie différemment selon quexest inférieur ou supérieur à 3, il faut calculer séparément ses limites à gauche et à droite.

Pour la limite à gauche, on a

lim x!3f(x) = lim x!3x2x+ 2 = 93 + 2 = 8

Pour la limite à droite, on a

lim x!3+f(x) = lim x!3+x2+ 6x1 =9 + 181 = 8 6 Les deux limites existent et valent toutes les deux 8. On en conclut que lim x!3f(x) = 8. Voici la représentation graphique :0 1 2 3 4 5 6

0 2 4 6 8 10

Fonction raccord1.5 Limites infinies

Une extension de la notion de limite consiste à envisager le cas où l"un des points aoubdevient infini. Il y a deux aspects à cette question : on peut rendrexarbitrairement grand et examiner ce qui se passe pour f(x); il se peut aussi quef(x)devienne arbitrairement grand lorsquexse rap- proche dea.

On va donner un sens précis à ces notions.

Elles sont particulièrement importantes en économie car elles permettent d"étudier lecomportement asymptotiquedes systèmes et des modèles dynamiques. Dans le premier cas, on dit quef(x)tend versblorsquextend vers+1 si la distancejf(x)bjpeut être rendue aussi proche qu"on le souhaite de 0 pour peu quexsoit suffisamment grand (autrement dit quexsoit supérieur à un nombreT).

On écrit :

x > T=) jf(x)bj< On notelimx!+1f(x) =b. 7

Exemple

Monter quef(x) =1x

tend vers 0 lorsquex!+1.

Corrigé

Siest un nombre positif très petit, alorsT=1

est un nombre positif très grand. On a : x >1 ()1x < ()f(x)< C"est exactement la définition en prenantb= 0et, par conséquent,limx!+11x 0. Dans le second cas, on dit quef(x)tend vers l"infini positif (noté+1) lorsquextend versa, si on peut rendre la quantitéf(x)supérieure à n"importe quel nombreTpour peu quexsoit suffisamment proche dea, c"est-à-dire que jxajsoit suffisamment proche de 0.

On écrit :

jxaj< =)f(x)> TOn notelimx!af(x) = +1. On dit dans ce cas que la fonctionf(x)estdivergente.

Exemple

Monter que

1x

2tend vers+1lorsquex!0.

Corrigé

Prenons un nombre positif très grandT. On a les équivalences suivantes : jx0j<1pT ()x2<1T ()1x 2> T

Il suffit donc de prendre=1pT

. C"est un nombre très petit siTest très grand. Cela correspond à la définition et, par conséquent,limx!01x

2= +1.

Une dernière situation est celle oùf(x)tend vers l"infini lorsquextend vers l"infini. Dans le cas de+1, on peut formuler la propriété de la manière suivante x > S=)f(x)> T oùSetTsont des nombres positifs très grands. Cela revient à dire que pour quef(x)devienne aussi grand qu"on le souhaite (supérieur àT), il suffit de prendrexsuffisamment grand (supérieur àS). Toutes les définitions précédentes s"étendent sans difficulté au cas de limites en1. Dans le premier cas, il suffit de remplacerxparxet, dans le second cas, il suffit de remplacer la fonctionfpar la fonctionfpuisque de manière généralelimf=limf. On étend aussi facilement les notions de limite à gauche et de limite à droite au cas des valeurs infinies. On en verra des exemples en exercices. 8

1.6 Limites de suites

Les définitions précédentes permettent en particulier de donner un sens à la notion de limite d"une suite. On a vu qu"une suite n"était autre qu"une fonction définie sur l"ensemble des nombres entiers et à valeurs réelles. La variable est en général notéenout. On peut donc chercher à étudier le comportement du terme général d"une suite lorsquentend vers l"infini. Dans le cas d"une suite arithmétique en particulier, le résultat est très simple. On a vu que le terme général s"écrivaitun=an+u0. La limite est donc : lim n!+1un=8 :+1sia >0

1sia <0

u

0sia= 0

La limite d"une suite géométrique est plus compliquée car le terme général u n=u0anet qu"il faut donc connaître la limite dean. Le résultat est le suivant : lim n!+1an=8 :0sijaj<1

1sijaj= 1

+1sia >1Il n"y a pas de limite sinon, c"est-à-dire sia 1.

1.7 Indéterminations

Il existe certaines formes de limite où il est n"est pas possible de conclure di- rectement en utilisant les résultats généraux concernant les opérations sur les limites. On les appelle desformes indéterminéesou descas d"indétermination. Ceci ne veut pas dire qu"on ne pourra pas déterminer la limite : c"est simplement que les règles vues précédemment ne permettent pas de conclure. Pour conclure, il faut avoir recours à d"autres techniques. Les trois cas principaux d"indétermination sont les suivants : lorsque le résultat obtenu donne00 lorsque le résultat obtenu donne11 lorsque le résultat obtenu donne1 1. Par exemple, dans le troisième cas, une expression de la forme11signifie qu"on fait la différence entre deux nombres très grands. Dire qu"il y aindéterminationsignifie simplement que la différence entre deux nombres très grands est susceptible de donner toutes sortes de résultats : un nombre très grand, un nombre très petit, un nombre constant, etc. On 9 ne peut pas conclure uniquement en sachant qu"on a une différence de nombres très grands. Pour lever l"indétermination, on doit réussir à apprécier à quel point les nombres sont grands comparativement. Il existe des méthodes pour y parvenir : le plus souvent, une factorisation d"un des termes suffit pour permettre de conclure. Il existe d"autres formes indéterminées mais elles se déduisent toutes des précédentes. Citons en particulier : lorsque le résultat obtenu donne0 1; lorsque le résultat obtenu donne00; lorsque le résultat obtenu donne10; lorsque le résultat obtenu donne11.

Exemple

Trouver la limite lorsquen! 1deun= 2n3n.

Corrigé

A priori, on sait que2net3ntendent vers l"infini. Par différence on obtient donc la forme indéterminée1 1.

On factorise3n:

u n= 2n3n= 3n2n3 n1 = 3 n23 n 1

On remarque que

23
ntend vers 0 car23 <1. Par conséquent, la parenthèse tend vers(01) =1et on est ramenés à une forme1 (1)qui n"est plus indéterminée et vaut1.

1.8 Techniques de calcul

Les paragraphes qui suivent donnent les principales méthodes utilisées pour déterminer des limites et pour lever les indéterminations. On va voir successive- ment : 1. factorisation et simplification ; 2. encadremen tet théorème des gendarmes ; 3. m ultiplicationpar la quan titéconjuguée ; 4. règle de L"Hôpital ; 5. métho despar équiv alence. 10

1.8.1 Factorisation et simplification

Dans le cas des indéterminations de type

00 ou11 , le problème est souvent causé par la présence d"un facteur commun au numérateur et au dénomina- teur. Par factorisation, on arrive à faire apparaître puis à simplifier le facteur problématique et on reste avec une forme qui est cette fois déterminée.

Exemple

Calculer la limitelimx!2x

23x+ 2x

24.

Corrigé

Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes et sont par conséquent continus. Leur limite est leur valeur enx= 2. Mais cette valeur est 0 et le quotient conduit donc à la forme indéterminée00 Comme les polynômes s"annulent enx= 2, c"est qu"on peut factoriser le terme(x2). On obtient : x

23x+ 2x

24=(x2)(x1)(x2)(x+ 2)=(x1)(x+ 2)

Le dernière fraction tend vers

(21)(2 + 2) =14

1.8.2 Encadrement

Le théorème dit "des gendarmes" (ou "du sandwich") permet de déterminer la limite d"une fonction par comparaison avec deux autres fonctions qui l"encadrent et dont la limite est connue ou facilement calculable. Théorèmeu 1.2.Soitf,gethtrois fonctions réelles définies sur l"intervalle

Icontenant le pointa.

Si, pour toutx2I, on af(x)g(x)h(x)et silimx!af(x) = limx!ah(x) =

L, alorslimx!ag(x) =L.

Remarque :il suffit que les limites enaexistent. Les fonctionsf,geth peuvent éventuellement ne pas être définies ena. 11

Théorème des gendarmes

a L f(x) g(x) h(x)Exemple

Calculerlimx!0xcos(1=x).

Corrigé

Directement, la fonctioncos(1=x)n"a pas de limite sixtend vers 0. On part du fait que la fonction cosinus est toujours comprise entre -1 et 1 et on va supposer quexest positif :

1cos(1=x)1() xxcos(1=x)x

Donc la fonction est prise en sandwich entrexetxqui tendent tous les deux vers 0 lorsquextend vers 0. La limite à droite existe donc et vaut 0. On recommence ensuite en supposant quexest négatif : on obtient une limite à gauche égale aussi à 0. Comme il y a une limite à gauche et une limite à droite et qu"elles sont égales, on a une limite au sens propre.

1.8.3 Quantité conjuguée

La quantité conjuguée d"une expression de la forme papbest l"expressionpa+pb. En multipliant au numérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée, on obtient souvent des simplifications qui lèvent l"indétermination. On développe le numérateur au moyen de l"identité remarquable : papb)(pa+pb) = (pa)2(pb)2=ab

Exemple

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