Chapitre 2 - Variables Aléatoires
Définition 0.1 Une variable aléatoire X est une fonction de l'ensemble fondamental ? à valeurs dans R X : ? ? R. Lorsque la variable X ne prend que des
VARIABLES ALÉATOIRES
Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers ? et prenant les valeurs x1x2
MODULE 6 VARIABLE ALÉATOIRE ALÉATOIRE
Définition 1.1 une variable aléatoire est une fonction entre un espace Définition 1.2 L'ensemble des nombres réels que la variable aléatoire peut ...
Remise `a niveau en processus stochastiques
1 Tribus variables aléatoires
Variables aléatoires
Définition 3 : Soit X une variable aléatoire définie sur (?T
Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire est lorsqu'elle existe
1 Définitions
Définition. La loi d'une variable aléatoire X : ? ? E est la mesure image de P par X. C'est donc la mesure de probabilité PX sur (E E) donnée par.
Espérance dune variable aléatoire
Définitions. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur (?F
Vecteurs gaussiens
Rappelons la définition des variables aléatoires gaussiennes réelles. Définition 1. • Une variable aléatoire réelle Z est dite gaussienne centrée réduite si
Probabilités et variables aléatoires
bilistes afin d'aborder l'inférence statistique : définition d'un évé- variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler.
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Définition 0 1 Une variable aléatoire X est une fonction de l'ensemble fondamental ? à valeurs dans R X : ? ? R Lorsque la variable X ne prend que des
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Définition : Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue de l'univers des possibles Méthode : Calculer une probabilité à l'aide d'une
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Après avoir défini la notion de variable aléatoire celles de lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli; bino- miales géométrique de
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Definition Une variable aléatoire est une fonction de l'ensemble des évènements dans 0 (pour le moment) 8
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Une variable aléatoire est généralement noté par une lettre de la fin de l'alphabet en majuscule comme par exemple X T W etc Cela est une convention
Variable aléatoire - Wikipédia
En théorie des probabilités une variable aléatoire est une variable dont la valeur est déterminée après la réalisation d'un phénomène expérience ou
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De façon générale une variable aléatoire est une quantité numérique associée au résultat d'une expérience aléatoire Définition Une variable aléatoire réelle
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Définition 3 3 – La variable aléatoire X sera discr`ete si elle prend ses valeurs dans un ensemble discret (et sa mesure-image est alors une mesure discr`ete)
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Définition Une variable aléatoire notée (v a) est dite discrète si l'ensemble des réalisations possibles x1 x2 xn pour cette variable est fini ou
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Définition 2 1 L'espérance d'une variable aléatoire est donnée par E(X) = ?? X(?)P(d?) Une
Comment définir une variable aléatoire ?
Une variable aléatoire est une variable qui peut prendre différentes valeurs avec une probabilité définie pour chacune des occurences, au contraire d'une variable certaine qui ne prend qu'une seule valeur définie, avec une probabilité de 1.Quelle est la loi de la variable aléatoire ?
Une variable aléatoire X est une application définie sur ? dans ?. X permet de transporter la loi P en la loi P' définie sur ??=X(?) : on a P?(xj)=P(X?1(xj))=P(X=xj). La loi P? est appelée loi de X.Comment definit on une variable aléatoire dans un univers ?
Formellement, une variable aléatoire réelle est une application X d'un univers ? muni d'une probabilité p vers R. Cette application crée un nouvel univers X(?) de réels sur lequel on peut construire une probabilité issue de p. Cette probabilité s'appelle loi de probabilité de X.- Une variable aléatoire X sur ? est une fonction X : (?,?) ? R telle que pour tout intervalle I de P, l'image-réciproque de I par X appartienne `a ?. Notation : on notera {X ? I} = {? ? ?,X(?) ? I} = X?1(I).
Chapitre 7
Espérance
7.1 Introduction
L' espérance d'une variable aléatoire est, lorsqu'elle existe, la moyenne des va- leurs de cette variable, pondérées par leurs probabilités de réalisation . On voit bien comment traduire cette définition informelle dans le cas d'une variable aléatoire discrète X en posant : E X x X xP X x .(7.1) Cette formule n'a de sens que si la famille de réels xP X x x X est sommable, ce qui se traduit par la condition suivante pour l'existence de l'espérance de la v.a. discrète X x X x P X x .(7.2) Tant que l'on reste dans le cadre des variables aléatoires discrètes, cette définition est satisfaisante et permet d'établir toutes les propriétés de l'espérance [14, Chap. 5]. En bonne place parmi ces propriétés, figure l'additivité de l'espérance : si X et Y définies sur le même F ,P ont une espérance, il en va de même pour X Y et E X Y E X EY.(7.3)
Essayons de traduire la définition informelle ci-dessus dans le cas d'une variable aléatoire à densité f . Partant de (7.1), on remplace P X x par P X x,x d x probabilité " valant 1 f x d x » et on remplace la somme (ou série) par une intégrale, ce qui conduit à : E X xf x d x,(7.4)1. Nous ne prétendons pas donner un sens rigoureux à cette probabilité d'appartenance à un
" intervalle infinitésimal », il s'agit juste d'une approche intuitive.252Chapitre 7. Espérance
la condition d'existence de l'espérance étant tout simplement la convergence absolue de cette intégrale généralisée, ce qui vu la positivité de f , se traduit par x f x d x .(7.5) Cette définition malgré son analogie formelle avec (7.1) est loin d'offrir la même sou-plesse pour établir les propriétés de l'espérance. Par exemple la preuve de l'additivité
est complètement hors de portée . En effet, si X et Y sont à densité, X Y peut n'être ni discrète ni à densité 2 , cf. l'exercice 6.13 pour un exemple, et alors le premier membre de (7.3) n'est même pas défini pour la v.a. Z X Y La solution donnée à ce problème par la théorie moderne des probabilités est la définition dans le cas général, de l'espérance de X comme une intégrale abstraite surΩ, relativement à la mesure
P E X X d P si� X d P (7.6) On peut donner une première idée de ce qu'est cette intégrale abstraite en considérant le cas d'une variable aléatoire X telle que X x 1 ,...,x n . Alors en notant A k X x k X x k X d P n k 1 x k P A k (7.7) ce qui traduit bien la définition informelle de E X comme la moyenne des valeurs de X pondérées par leurs probabilités de réalisation. Le passage au cas d'une variable aléatoire X quelconque revient précisément à construire une intégrale au sens deLebesgue sur
F ,P et cette théorie sort du cadre de ce livre. Il nous faut donc trouver une autre définition de E X . Cette définition doit per- mettre un traitement unifié de toutes les lois 3 . Rappelons qu'il existe des lois qui ne sont ni discrètes ni à densité et que la description la plus générale des lois devariables aléatoires réelles est donnée par leur fonction de répartition, cf. le théo-
rème 5.30 et la remarque 6.17. Il est donc naturel de chercher à définir E Xà partir
de la fonction de répartition F t P X t . Nous allons motiver cette définition en nous restreignant au cas des variables aléatoires positives et en partant du cas simple où X est discrète avec X x 1 ,...,x n partie finie de R . Dans ce cas, la définition informelle de E X se traduit par la formule E X n k 1 x k P X x k Les figures 7.1 et 7.2 nous montrent comment exprimer cette moyenne pondérée à l'aide de F . Rappelons que dans ce cas, F présente en chaque x k un saut d'amplitude P X x k . L'interprétation graphique en terme d'aires donnée par la figure 7.2 nous permet d'écrire E X comme l'intégrale de Riemann ordinaire : E X xn 0 1 F t d t et aussi comme la fausse intégrale généralisée� 0 1 F t d t2. Alors que la somme de deux variables aléatoires discrètes est
toujours une variable aléatoire discrète.3. La définition informelle de
E X nous fait pressentir que E X ne doit dépendre que de la loi de X , ce qui est bien le cas dans les formules (7.1) et (7.4).7.1. Introduction253
x k P X x k P X x k tx n x k x 1 0 F t 1Figure
7.1 - Interprétation graphique des
x k P X x k , pour x k 0 E X t x n x 1 0 F t 1Figure
7.2 - Interprétation graphique de
E X n k 1 x k P X x k , les x k 0.254Chapitre 7. Espérance
Si on passe maintenant au cas d'une variable aléatoire positive quelconque, il paraît alors naturel de considérer que E X est l'aire (éventuellement infinie) délimitée par le segment vertical t 0, y 0 1 , la demi droite " asymptote » y 1, t0 et le
graphe de F , ce qui nous conduit à la formule E X 0 1 F t d t 0 P X t d t, pour toute v.a. positive X E X y P X t t0y 1Figure
7.3 - Interprétation graphique de
E X via la f.d.r. de X v.a. positive.Nous verrons que cette définition permet d'établir en toute généralité les proprié-
tés de l'espérance. Bien sûr, nous devrons retrouver à partir de cette définition, les
formules (7.1) et (7.4) pour X discrète ou à densité.7.2 Espérance d'une variable aléatoire positive
Dans toute la suite de ce chapitre, on fixe un espace probabilisé F ,P . Toutesles variables aléatoires considérées seront, sauf mention explicite du contraire, définies
sur cet espace et leur loi sera la loi sous PDéfinition 7.1
(espérance d'une v.a. positive) Soit X une variable aléatoire posi- tive 4 sur F . On appelle espérance de X (ou espérance de X sous P ) la quantité E X 0 P X t d t,(7.8) qui est un élément de R4. C'est-à-dire une application Ω
R , mesurable F - Bor Rquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] variable aléatoire discrète
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