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Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 - Intégration et probabilités

Année universitaire 2012-2013

Fondements des probabilitésL"objectif de ce chapitre est de constater que la théorie de l"intégration développée dans la première partie du

cours fournit un cadre rigoureux pour les probabilités. La théorie sera donc la même, mais l"interprétation en

est différente : on cherche à fournir un modèle mathématique pour une " expérience aléatoire ».

Une première partie va donc consister à relire les résultats de théorie de l"intégration en ayant en tête cette

intuition. Ceci va de pair avec un nouveau vocabulaire, que l"on va commencer par introduire.

1 Définitions

1.1 Espace de probabilités

DéfinitionUnespace de probabilitéest un espace mesuré( ;A;P)où la mesurePa pour masse totale1: P( ) = 1: On appellePuneprobabilité, ou unemesure de probabilité. est parfois appelé l"univers, ou l"espace

des éventualités. Les parties mesurablesA2 Asont appelés desévénements. Un événement estpresque

sûrsiP(A) = 1; on dit aussi queAest réalisépresque sûrement(en abrégé, p.s.).

Une interprétation en est la suivante :

représente l"ensemble de toutes les éventualités possibles, toutes les réalisations possibles du hasard dans

l"expérience aléatoire considérée.

-Aest l"ensemble des " événements », c"est-à-dire des ensembles d"éventualités dont on peut évaluer la proba-

bilité.

P ourA2 A,P(A)représente la probabilité d"occurrence de l"événementA. On peut s"en faire diverses intui-

tions, qui pourront être justifiées par la théorie qui va suivre : un point de vuea priori, où des considérations

de symétrie, par exemple, ou un calcul lié aux propriétés physiques mises en jeu par l"expérience, permettent

de justifier la répartition des probabilités (par exemple, pour un dé équilibré, l"occurrence de chaque face

devrait avoir même probabilité, donc1=6), ou un point de vuea posteriori, oùP(A)est vu comme la fré-

quence asymptotique de réalisation de l"événementAsi on répète l"expérience un grand nombre de fois (par

exemple, si on tire le même dé un grand nombre de fois, on observe que chaque face apparaît en moyenne

approximativement lors de1=6des tirages, et cette approximation a tendance à s"améliorer avec le nombre

de tirages).

Exemples.

1.

On lance un dé :

=f1;2;3;4;5;6g;A=P( ); P(A) =Card(A)6 pourA2 A: 2.

On lance deux dés :

=f1;2;3;4;5;6g2;A=P( ); P(A) =Card(A)36 pourA2 A: 3. On tire deux b oulessans remise dans une urne qui en con tientN(2)(numérotées de1àN) :

S f1;:::;NgCard(S) = 2;A=P(

); P(A) =Card(A)Card( =Card(A)N(N1)=2pourA2 A: 4.

On lance un p etitcaillou au hasard sur un carrelage de côté 1, et on regarde sa p ositiondans le carreau

où il se trouve : = [0;1]2;A=B([0;1]2); P(A) =2(A)pourA2 A: Dans chacun des cas, on a transcrit l"idée que tous les résultats sont équiprobables. 1 NB.Malgré l"importance théorique de l"espace de probabilité( ;A;P), on verra dans la suite qu"une parti-

cularité fondamentale de la théorie des probabilités est qu"il ne sera souvent pas nécessaire de spécifier l"espace

de probabilités car on ne le verra qu"à travers les " variables aléatoires ». Cette idée reviendra régulièrement

par la suite et sera alors plus claire.

1.2 Variables aléatoires

Soit( ;A;P)un espace de probabilité. DéfinitionUnevariable aléatoire(en abrégé, v.a.) est une application mesurableX: !E, où(E;E)est un espace mesurable. On parle devariable aléatoire réellesi l"espace d"arrivée est(?;B(?)). Exemples.Dans les exemples précédents, on peut considérer par exemple (respectivement)

1.X(i) =i, valeur du dé

2.X((i;j)) =i+j, somme des valeurs des dés

3.X(S) = max(S), plus grand numéro parmi ceux des deux boules tirées de l"urne

4.X((x;y)) =x+y, somme de l"abscisse et de l"ordonnée du caillou dans le carreau où il se trouve

La définition suivante est fondamentale.

DéfinitionLaloid"une variable aléatoireX:

!Eest la mesure image dePparX. C"est donc la mesure de probabilitéPXsur(E;E)donnée par P

X(B) =PX1(B)=Pf!2

jX(!)2BgpourB2 E:

On dit queXsuit la loisi la loi deXest.

Notation fonctionnelle. On utilisera en général la notationfX2Bg=X1(B), de sorte que la définition s"écrit

P

X(B) =P(X2B):

De même, on écrira par exemple, pour une variable aléatoire réelleX, fsin(X)0g=f!2 jsin(X(!))0g ou encore, siYest une autre variable aléatoire réelle définie sur le même espace fjX2Yj>5g=!2 jX(!)2Y(!)j>5; de sorte que toute référence à disparaît de ces notations.

Deux familles de lois méritent une attention particulière : les lois dites discrètes et continues. Attention, ce ne

sont que des cas particuliers, et de nombreuses lois ne sont ni discrètes ni continues.

Variables aléatoires discrètes

Dans le cas oùXprend ses valeurs dans un espaceEdénombrable, on dit queXest une variable aléatoire

discrète, et dans ce cas la loi deXest donnée par les valeurspx=P(X=x)pourx2E. En effet, pour tout

BE, P

X(B) =P(X2B) =P[

x2BfX=xg =X x2BP(X=x) =X x2Bp x:

Autrement dit,

P X=X x2Ep xx: Donner la loi deXrevient donc à calculer les valeurspxpourx2E.

Exemple.Dans l"exemple 2., on a ainsi

P(X= 2) =P(f(1;1g) =136

; P(X= 3) =P(f(1;2);(2;1)g) =236 ; P(X= 4) =P(f(1;3);(2;2);(3;1)g) =336 2 puis plus généralement, si2k7,

P(X=k) =P(f(1;k1);(2;k2);:::;(k1;1)g) =k136

et, si7k12,

P(X=k) =P(f(6;k6);(5;k7);:::;(k6;6)g) =13k36

Variables aléatoires continues (ou à densité)

Dans le cas oùXest à valeurs dans?det la loi deXadmet une densitéfpar rapport à la mesure de Lebesgue,

on dit queXest une variable aléatoirecontinue, ouà densité, de densitéf. Autrement dit,fest une fonction mesurable positive et, pour toutA2 B(?d), P

X(A) =P(X2A) =Z

A f(x)dx=Z

A(x)f(x)dx:

En particulier,1 =P(X2?d) =Rf(x)dx.

On dira qu"une fonction mesurablef:?d!?est unedensitésif(x)0pour toutx2?detRf(x)dx= 1.

Comme on l"a déjà noté dans le cours, toute densitéfdéfinit une loi de probabilité.

SiXest une variable aléatoire réelle admettant une densitéf, alors on a notamment

P(aXb) =Z

b a f(x)dx: On remarquera que siXest à densité, alorsP(X=x) = 0pour toutx2?d: en effet,d(fxg) = 0et donc

P(X=x) =Z

fxgf(t)dt= 0:

Exemple.Dans l"exemple 4, pour tout borélienAde?, en faisant le changement de variable(x;y)7!(u;v) =

(x+y;xy)et en appliquant le théorème de Fubini-Tonelli, on trouve que

P(X2A) =Z

2?f0x1;0y1;x+y2Agdxdy=Z

2?f0u+v2;0uv2;u2Ag12

dudv Z

A(u)12

Z [u;2u](v)?[u2;u](v)dv du; ce qui montre queXa pour densité la fonction f(u) =12 Z [u;2u](v)?[u2;u](v)dv=8 :usiu2[0;1]

2usiu2[1;2]

0sinon.

1.3 Espérance

DéfinitionSoitXune variable aléatoire réelle. Sonespéranceest

E[X] =Z

X(!)dP(!);

ce qui, en tant qu"intégrale d"une fonction mesurable, est bien défini dans les deux cas suivants :

si X0(et dans ce casE[X]2[0;1]) si Xest intégrable, c"est-à-direE[jXj] =RjXjdP <1. On a ainsi en particulierE[?B] =P(B)et, pour toute constantec2?,E[c] =cP( ) =c. Le théorème de transfert (du chapitre sur les changements de variables) s"écrit comme suit.

Proposition (Théorème de transfert)SoitXune variable aléatoire à valeurs dans(G;G)et'une fonction mesurableG!?telle queE['(X)]

est bien définie. Alors

E['(X)] =Z

G '(x)dPX(x): 3

Ceci montre que l"espérance de toute fonction d"une variable aléatoireXne dépend que de la loiPXdeX, et

non de la façon exacte doncXest définie comme fonction sur

On interprèteE[X]comme la moyenne de la variable aléatoireX. SiXest discrète à valeurs dansG, on a, par

le théorème de transfert,

E[X] =X

x2GxP(X=x);

donc c"est effectivement une moyenne des valeursxdeXpondérées par leurs probabilitéspx=P(X=x); et

plus généralement, pour toute fonction':G!?positive (ou telle que'(X)est intégrable),

E['(X)] =X

x2G'(x)P(X=x)

Et siXest continue sur?d, de densitéf, le théorème de transfert donne, pour toute fonction':?d!?

positive (ou telle que'(X)est intégrable),

E['(X)] =Z

d'(x)f(x)dx

Tous les résultats vus pour les intégrales sont toujours valables. Écrivons-en quelques-uns à titre d"exemple :

PropositionSoitXune variable aléatoire réellepositive. (Inégalité de Mark ov)P ourtout a >0,

P(Xa)E[X]a

Si E[X]<1, alorsX <1presque sûrement.

Si E[X] = 0, alorsX= 0presque sûrement.

PropositionSoit(Xn)n0une suite de variables aléatoirespositives. (TCM) Si la suite (Xn)nest croissante et converge versX, alorslimn"E[Xn] =E[X]. (TCM p ourles séries) On a EX n0X n =X n0E[Xn].

Proposition (Théorème de convergence dominée)Soit(Xn)n0une suite de variables aléatoires réelles, etXune variable aléatoire réelle.

SiXn!nXp.s. et s"il existeZintégrable telle quejXnj Zp.s., alors

E[Xn]!nE[X]:

On sera aussi amené à utiliser les théorèmes de Fubini ou encore les théorèmes pour les intégrales (espérances)

à paramètre.

Enfin, on définit aussi les espacesL1(

;A;P)etL2( ;A;P), abrégés enL1etL2. Comme la mesurePest finie, on a (cf. fin du cours sur les espacesL1etL2) l"inclusion L 2L1; c"est-à-dire que les v.a. de carré intégrable sont intégrables.

DéfinitionSoitXune variable aléatoire de carré intégrable. LavariancedeXest le réel positif

Var(X) =Eh

XE[X] 2i

L"écart-typedeXest le réel positif

(X) =pVar(X): 4

La variance deXest la moyenne du carré de l"écart entreXet sa moyenne. C"est donc une mesure de la

" dispersion » de la loi deXautour de son espéranceE[X], de même que l"écart-type. L"écart-type deXa

l"intérêt d"être homogène àX, c"est-à-dire que(aX) =a(X)poura0(tandis queVar(aX) =a2Var(X)),

de sorte qu"il pourra être pertinent de comparer les valeurs de(X)à celles deXE[X]; on verra cela plus

loin. En développant le carré et en utilisant la linéarité de l"espérance, on obtient

Var(X) =EX22XE[X] +E[X]2=E[X2]2E[X]E[X] +E[X]2

d"où l"expression importante

Var(X) =E[X2]E[X]2:

Proposition (Inégalité de Tchebychev)SiXest une variable aléatoire de carré intégrable, eta >0, alors

P

XE[X]a

Var(X)a

2:

Démonstration:Pour touta >0, on a, pour tout!2

,jX(!)E[X]j asi, et seulement sijX(!)E[X]j2a2, doncjXE[X]j a=jXE[X]j2a2 et par conséquent

P(jXE[X]j a) =P(jXE[X]j2a2):

Or

P(jXE[X]j2a2)Eh

jXE[X]j2ia 2

en appliquant l"inégalité de Markov à la variable aléatoire positive(XE[X])2. La conclusion vient de la définition de

la variance.2 Caractériser une loi

On sera souvent amené à déterminer la loi d"une variable aléatoire. Une première approche, qui découle de la

définition, consistera à utiliser l"une des équivalences données par la proposition suivante :

PropositionSoitXetYdes v.a. à valeurs dans?d. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i)XetYont même loi (ii) p ourtoute partie A2 B(?d),P(X2A) =P(Y2A) (iii) p ourtoute fonction mesurable f:?d!?+,E[f(X)] =E[f(Y)] (iv) p ourtoute fonction C1à support compactf,E[f(X)] =E[f(Y)].

Dans certains cas, on utilisera plutôt le calcul d"une fonction associée àXet qui caractérise sa loi : fonction de

répartition, fonction génératrice ou fonction caractéristique.

2.1 Fonction de répartition (variables aléatoires réelles)

DéfinitionSoitXune variable aléatoire réelle. Safonction de répartitionest la fonction F

X:?![0;1]

t7!FX(t) =P(Xt): On constate queFXne dépend que de la loi deX:FX(t) =PX(] 1;t]), donc on pourra dire aussi queFX est la fonction de répartition de laloideX.

Propositiona)La loi de Xest déterminée par sa fonction de répartition : siFX(t) =FY(t)pour toutt2?, alorsXet

Yont même loi.

5 b)La fonction FXest croissante, continue à droite, et admet pour limites0en1et1en+1. c)

P ourt outt2?, la limite deFXentà gauche est

F

X(t) =P(X < t)

doncFXest continue entsi et seulement siP(X=t) = 0. d)

T outefonction qui v érifieles propriétés de b) est la fonction de répartition d"une loi de probabili tésur ?.

2.2 Fonction génératrice (variables aléatoires entières)

DéfinitionSoitXune variable aléatoire à valeurs dans?. Lafonction génératicedeXest la fonction

G

X:s7!GX(s) =E[sX] =1X

n=0s nP(X=n):

Notons tout de suite queGXest au moins définie sur[1;1], en effet c"est une série entière et commeP1

n=0P(X=n) = 1converge,GX(1)etGX(1)convergent absolument. Ainsi le rayon de convergence est supérieur ou égal à 1.

PropositionG

Xcaractérise la loi deX: si pour deux variablesXetYà valeurs dans?on aGX(s) =GY(s)pour tout s2]1;1[, alorsXetYont même loi.

2.3 Fonction caractéristique (variables aléatoires à valeurs dans?d)

DéfinitionSoitXune variable aléatoire à valeurs dans?d. Lafonction caractéristiquedeXest la fonction

X:?d!?

t7!X(t) =E[eitX]; oùdésigne le produit scalaire (ou le produit usuel sid= 1). CommejeitXj= 1etE[1] = 1<1, la fonctiont7!eitXest intégrable par rapport àPdoncXest bien définie sur?d, et vérifie d"ailleursjX(t)j 1par inégalité triangulaire.

Proposition

Xcaractérise la loi deX: si pour deux variablesXetYà valeurs dans?don aX(t) = Y(t)pour tout t2?d, alorsXetYont même loi.

On peut donner quelques propriétés deX, qui s"obtiennent via les théorèmes de continuité et dérivation sous

l"intégrale. PropositionSoitXune variable aléatoire réelle. a)

La fonction Xest continue sur?etX(0) = 1.

b) Si Xest intégrable, alorsXest de classeC1sur?et0X(0) =iE[X]. c) De manière géné rale,si E[jXjm]<1, alorsXest de classeCmsur?et(m)

X(0) =imE[Xm], d"où le

développement limité

X(t) = 1 +mX

n=1(it)nn!E[Xn] +ot!0(tm): 6

3 Indépendance

3.1 Événements indépendants

SiA;B2 Asont deux événements, avecP(B)>0, on définit

P(AjB) =P(A\B)P(B);

probabilité deA" sachantB». C"est la probabilité queAse réalise si on a l"information queBest réalisé.

DéfinitionDeux événementsA;BsontindépendantssiP(A\B) =P(A)P(B).

SiP(B)>0, ceci revient donc àP(AjB) =P(A): savoir queBest réalisé ne change pas la probabilité queA

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