Variables aléatoires discrètes
PSI-Lycée Brizeux. Variables aléatoires discrètes. Variables aléatoires discrètes. I Loi d'une variable aléatoire. 1 Définition d'une variable aléatoire.
Chapitre 3 - Variables aléatoires discrètes
Soit X une va- riable aléatoire discrète La fonction qui associe à tout a ? R la probabilité P(X = a) est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X
Variables aléatoires Discrètes
(Propriétés élémentaires de la loi d'une variable aléatoire.) Soit X une variable aléatoire discrète qui prend ses valeurs sur N. 1. Pour tout k ? N P(X = k)
Chapitre 4 - Variables aléatoires discrètes
Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. • On donne l'ensemble des valeurs X(?) des valeurs prises par X.
Caractéristiques dune variable aléatoire discrète
1 mars 2015 3 Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. 4 Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète.
Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes espérance
http://www.lmpt.univ-tours.fr/~gallardo/coursProb1-09-10-3.pdf
Variables aléatoires discrètes
variable aléatoire X et aux propriétés de cette loi. I.1 Variables aléatoires discrètes. 7. ? Une variable aléatoire discrète sur (? a
Variables aléatoires discrètes
2 Rappels sur les variables aléatoires discrètes. 5. 2.1 Définitions . Calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire discrète.
Variables aléatoires discrètes
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction f qui a chaque valeur associe sa probabilité. Remarque 1. En général on présente la loi d'une
Variables aléatoires discrètes Fiche
On définit pour ces variables aléatoires leur loi de probabilité et on leur associe un nombre appelé espérance mathématique qui est à une variable aléatoire ce
[PDF] Variables aléatoires discrètes - Unisciel
De manière générale une variable aléatoire X est une variable de Bernoulli si elle ne prend que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités non nulles Calcul de
[PDF] Variables aléatoires discrètes - CPGE Brizeux
Exemple : Si A ? A la fonction indicatrice 1A de A est une variable aléatoire réelle discrète On admet la propriété suivante : Propriété 2 : Image d'une
[PDF] Variables aléatoires Discrètes
Définition 1 (Variable aléatoire) Une variable aléatoire réelle X sur un espace probabilisé (?AP) est une application de ? dans R telle que
[PDF] Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes Exemples et applications
Une application X : ? ? E est une variable aléatoire discrète si X(?) est dénombrable et si X?1{x} ? A ?x ? E On définit alors la loi de probabilité de X
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Une variable aléatoire discrète sur ? à valeurs dans E est une application X de ? dans E telle que X(?) soit une partie au plus dénombrable de E et telle que
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En général on présente la loi d'une variable aléatoire X sous la forme d'un tableau qui récapitule les valeurs prises par X ainsi que les probabilités
[PDF] Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes
Définition : Soit U l'univers d'une expérience aléatoire Une variable aléatoire sur U est une fonction à valeurs réelles définie sur l'univers U:
[PDF] 1 Introduction 2 Variables Aléatoires Discrètes
Variables Aléatoires Discrètes 2 1 Définition 2 2 Loi de Probablité 2 3 Fonction de Répartition 3 Variables Aléatoires Continues 3 1 Définition
[PDF] Chapitre 2 Variables aléatoires
Définition Une variable aléatoire notée (v a) est dite discrète si l'ensemble des réalisations possibles x1 x2 xn pour cette variable est fini ou
[PDF] Variables aléatoires discrètes
I 1 Variables aléatoires discrètes 7 ? Une variable aléatoire discrète sur (? a È) est une appli- cation à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable
Comment reconnaître une variable aléatoire discrète ?
En théorie des probabilités, une variable aléatoire est dite discrète lorsque l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre est fini ou infini dénombrable. Ainsi, le résultat d'un lancer de dé cubique est une variable aléatoire réelle discrète car elle ne peut prendre que 6 valeurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6.Quand Dit-on qu'une variable est discrète ?
Contrairement à une variable continue, une variable discrète ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs réelles possibles à l'intérieur d'un intervalle donné.Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?
La formule de l'espérance est �� ( �� ) = ? �� ? �� ( �� = �� ) , où �� représente chacune des valeurs possibles de la variable aléatoire discrète �� et �� ( �� = �� ) est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.- Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?,x]) = P(X ? x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x?).
Variables aléatoires discrètes
I Loi d"une variable aléatoire
1 Définition d"une variable aléatoire
Définition
Soit( ;A;P)un espace probabilisé quelconque. Unevariable aléatoire discrètesur( ;A) est une applicationXdéfinie sur , telle queX( )est au plus dénombrable et pour toute partieUdeX( ),X1(U)est un événement :8U2 P(X(
));X1(U)2 A:Rq :Les seules variables aléatoires considérées dans le cours sont des variables aléatoires dis-
crètes (même si ce n"est pas rappelé dans chaque énoncé). SiUX( ), on note :X1(U) =f!2 =X(!)2Ug=fX2Ug= (X2U).En particulier, six2X(
), alors : X1(fxg) =f!2
=X(!) =xg=X1(x) =fX=xg= (X=x). SiXest une variable aléatoire réelle, on note :fX6xg=f!2 =X(!)6xg(idem pour fX>xg) . Propriété 1: Caractérisation d"une variable aléatoire discrèteSoitXune application définie sur
, telle queX( )soit au plus dénombrable.Xest une variable aléatoire sur(
;A)si et seulement si, pour toutx2X( ),fX=xgest un événement.Exemple :SiA2 A, la fonction indicatrice1AdeAest une variable aléatoire réelle discrète.
On admet la propriété suivante :
Propriété 2: Image d"une variable aléatoire SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensembleEetfune application définie surX( )à valeurs dans un ensembleF. AlorsY=fX=f(X)est une variable aléatoire discrète .2 Loi de probabilité d"une variable aléatoire Propriété 3: Définition d"une loi de probabilitéSoitXune variable aléatoire discrète sur(
;A;P).L"applicationPX:P(X(
))7![0;1]qui à toute partieUdeX( )associeP(X2U) est une probabilité sur(X( );P(X( )), appeléeloi de probabilitédeX.X()étant au plus dénombrable,PXest entièrement caractérisée par les probabilités élémen-
taires : 1 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes SiX( ) =fx1;;xng, on peut poser :8i2J1;nK;pi=P(X=xi). Les événementsfX=xig;16i6nforment un système complet d"événements. p1;;pnsontnréels positifs tels que :nX
i=1p i= 1. Toute partie deX( )étant finie, la probabilité d"un événementfX2Ugse calcule en additionnant les probabilitéspiassociées aux éléments deU. SiX( ) =fxn=n2Ng, on peut poser :8n2N;pn=P(X=xn). Les événementsfX=xig;i2Nforment un système complet d"événements. (pn)nest une suite de réels positifs tels que la sérieXp nconverge et1X n=0p n= 1.Toute partie deX(
)étant au plus dénombrable, la probabilité d"un événementfX2Ug se calcule en additionnant les probabilitéspiassociées aux éléments deU: il peut s"agir de la somme d"un nombre fini de termes ou de la somme d"une série à termes positifs convergente.On peut noter plus généralement :X(
) =fxi=i2Ig, oùIest une partie deN. Réciproquement, on admet que la donnée despncaractérise une loi de probabilité :Propriété 4:
1.Soit Xune variable aléatoire telle queX(
) =fx1;;xnget soientp1;;pn nréels positifs tels que :nX i=1p i= 1. Il existe alors une unique probabilitéPsur ;A)telle que :8i2N;pi=P(X=xi). 2.Soit Xune variable aléatoire telle queX(
) =fxn=n2Nget(pn)nune suite de réels positifs tels que la série Xp nconverge et1X n=0p n= 1. Il existe alors une unique probabilitéPsur( ;A)telle que :8n2N;pn=P(X=xn).Rq :Le choix de l"indexation des éléments deX( )est arbitraire. Mais puisqu"il s"agit d"unesérie à termes positifs, ce choix n"influe pas sur la convergence de la série ni sur la valeur de sa
somme.3 Fonction de répartition d"une variable aléatoire réelle
Définition
SoitXune variable aléatoire discrète réelle sur( ;A;P). Lafonction de répartitiondeX est la fonctionFXdeRdans[0;1]définie par :8x2R;FX(x) =P(X6x). La fonction de répartition donne donc les probabilités cumulées :FX(x)se calcule en sommant(somme finie ou somme de série positive) les probabilités des événementsfX=xngpour toutes
les valeursxn6x. Propriété 5: Propriétés de la fonction de répartition La fonction de répartition d"une variable aléatoire discrèteXest une fonction croissante, telle que :limx!1FX(x) = 0etlimx!+1FX(x) = 12 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Propriété 6: Fonction de répartition et loi Pouraetbréels tels quea < b, on a :P(a < X6b) =FX(b)FX(a). SiX( ) =fxn=n2Igavec :8n;xn< xn+1. Alors :P(X=x0) =FX(x0)et8n>1;P(X=xn) =FX(xn)FX(xn1).4 Rappel des lois finies usuelles
Loi uniforme :On note :X(
) =fx1;;xng.Xsuit la loi uniforme sur cet ensemble lorsque toutes les éventualités ont la même probabilité :8k2J1;nK;P(X=xk) =1nExemples :Xest le numéro apparu lorsqu"on lance un dé équilibré ouXest le numéro de la
boule tirée lorsqu"on fait un tirage au hasard dans une urne contenantnboules numérotées. Loi de Bernoulli :C"est la loi d"une variable aléatoire telle que :X( ) =f0;1g. Cette loi est caractérisée par le paramètrep=P(X= 1)2]0;1[, qui correspond à la probabilité de "succès". Exemple : On lance une pièce et on poseX= 1si on obtient Pile (le "succès") etX= 0 sinon. Si la pièce est équilibrée, on a :p=12 Loi binomiale :Cette loi est caractérisée par deux paramètres :n2Netp2]0;1[.On a alors :X(
) =J0;nKet8k2J0;nK;P(X=k) =n k p k(1p)nk. Exemple : C"est la loi d"une variable aléatoire qui compte le nombre de succès (probabilitép) lors denépreuves répétées indépendantes. Par exemple, on lancenfois une pièce de
monnaie et on compte le nombre de Piles obtenus.5 Loi géométrique
Définition
Xsuit uneloi géométriquede paramètrep2]0;1[lorsque : X( ) =Net8k2N;P(X=k) =p(1p)k1.Rq :La définition est cohérente car on reconnaît une série géométrique positive de raison dans
]0;1[donc convergente et dont la somme est égale à 1.Interprétation :On considère une suite d"épreuves répétées indépendantes au cours desquelles
un certain "succès" se réalise avec une probabilitépet on observe l"apparition du premier succès.
La probabilité d"observer un succès dès la 1ère épreuve est égale àp. Celle d"observer le 1er
succès à l"épreuvekest égale à(1p)k1p. On constate en sommant la série que la probabilité
d"obtenir au moins un succès est égale à 1. La probabilité de n"obtenir aucun succès lors de cette
répétition infinie est donc nulle (événement quasi-impossible). On peut alors définir la variable
aléatoireXégale au rang du premier succès.Xsuit la loi géométrique de paramètrep. Propriété 7: Caractérisation d"une loi géométrique SoitXune v.a. à valeurs dansN.Xsuit une loi géométrique si et seulement si :8n2N;P(X > n)6= 0et8(n;k)2N2;P(X > n+kjX > n) =P(X > k).
On dit que la loi géométrique est la seuleloi sans mémoire.3 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes6 Loi de Poisson
Définition
Xsuit uneloi de Poissonde paramètre2R+lorsque : X( ) =Net8k2N;P(X=k) =ekk!.Rq :La définition est cohérente car on reconnaît une série exponentielle donc convergente,
positive et1X k=0P(X=k) = 1. Propriété 8: Approximation d"une loi binomiale par une loi de Poisson Soit(Xn)nune suite de v.a. telle que :8n2N;Xn,! B(n;pn)aveclimn!+1npn= >0.On a alors :8k2N;limn!+1P(Xn=k) =ekk!.Considérons une épreuve répétée un très grand nombre de fois, avec une probabilité de succès
très faible. Soitle nombre moyen de succès etXla v.a. qui compte le nombre de succès. Alors Xsuit approximativement la loi de Poisson de paramètre. On interprète ainsi la loi de Poisson comme la loi des événements rares. Exemples typiques : nombre de personnes dans une file d"attente (guichet de poste, péage d"au-toroute ...), nombre de défauts sur une pièce fabriquée industriellement, nombre de noyaux ato-
miques désintégrés pendant un intervalle de temps fixé, nombre de soldats morts par ruade de
cheval dans l"armée prussienne (exemple de Von Bortkiewicz, fin XIXième siècle) ...II Espérance et variance
1 Espérance
Définition
$%1.Si X( )est fini,Xadmet une espérance définie par :E(X) =nX i=1x iP(X=xi). 2. Si X( )est dénombrable, la variable aléatoireXadmet une espérance finie lorsque la série de terme généralxiP(X=xi)est absolument convergente, et alors :E(X) =X
i2Nx iP(X=xi):Rq :La condition de convergence absolue entraîne que cette définition est indépendante de la
numérotation des valeurs prises parX. Exemple :SiA2 A, l"espérance de la fonction caractéristique1Aest égale àP(A):E(1A) =P(A):
Les propriétés vues en Sup dans le cas des variables aléatoires finies se généralisent au cas des
variables aléatoires discrètes quelconques. 4 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Théorème 9: Théorème du transfert dans le cas fini SoitXune variable aléatoire finie etfune fonction à valeurs réelles définie surX( Alors la variable aléatoiref(X)a une espérance finie et :E(f(X)) =nX
i=1f(xi)P(X=xi):Exemple :E(X2) =nX i=1x2iP(X=xi).
On admet la généralisation :
Théorème 10: Théorème du transfert dans le cas dénombrableOn supposeX(
)dénombrable :X( ) =fxi=i2Ng. Soitfune fonction à valeurs réelles définie surX( ). Alors la variable aléatoiref(X)a une espérance finie si et seulement si la sérieXf(xi)P(X=xi)est absolument convergente, et dans ce cas :E(f(X)) =+1X
i=0f(xi)P(X=xi):Rq :L"intérêt du théorème du transfert est de permettre le calcul de l"espérance de la variable
aléatoireY=f(X)sans avoir besoin d"expliciter la loi de probabilité deY. Propriété 11: Propriétés de l"espérance 1. Linéarité : Soien tXetYdeux variables aléatoires discrètes d"espérances finies. Pour tous réelsaetb,aX+bYa une espérance finie et :E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y):
2. P ositivité: Soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs positives. SiXa une espérance finie, alors :E(X)>0. 3. Croissance : Soien tXetYdeux variables aléatoires discrètes d"espérances finiestelles que :X6Y. Alors :E(X)6E(Y).On dit qu"une variable aléatoire est centrée lorsqu"elle admet une espérance nulle. SiXadmet
une espérance finie,XE(X)est donc centrée.Propriété 12: Cas d"une variable aléatoire à valeurs dansNSiXest à valeurs dansN, alorsXadmet une espérance finie si et seulement si la sérieXP(X>n)converge, et dans ce cas :
E(X) =+1X
n=1P(X>n) =+1X n=0P(X > n):5 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes2 Variance
SiX2est d"espérance finie, on dit queXadmet un moment d"ordre 2.Propriété 13:
SiX2est d"espérance finie, alorsXest d"espérance finie,XE(X)admet un moment d"ordre 2.Définition SiXadmet un moment d"ordre 2, lavariancedeXest le réel positif défini par :V(X) =E((XE(X))2) =E(X2)(E(X))2:
L"écart-typedeXest alors défini par :(X) =pV(X). Rq :V(X) = 0si et seulement si :P(X=m) = 1avecm=E(X). Propriété 14: Propriétés de la variance SiXadmet une variance, alors pour tous réelsaetb: V(aX+b) =a2V(x)et(aX+b) =jaj(X).Propriété 15: Espérance et variance des lois usuelles 1. Soit Xde loi binomiale de paramètresnetp(p2]0;1[).E(X) =npetV(X) =np(1p)
2. Soit Xde loi géométrique de paramètrep(p2]0;1[). On pose :q= 1p.E(X) =1p
etV(X) =qp 2 3. Soit Xsuivant une loi de Poisson de paramètre(2R+). E(X) =V(X) =3 Inégalité de Bienaymé-TchebychevThéorème 16: Inégalité de Markov
SoitXune v.a. réelle discrète positive ayant une espérance finie. On a alors :8a >0;P(X>a)6E(X)a
:6 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Théorème 17: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev SoitXune v.a. réelle discrète ayant une variance finie. On a alors :8" >0;P(jXE(X)j>")6V(X)"
2:Interprétation :Si la variance est faible, la probabilité pour que l"écart entre la valeur prise
parXet la valeur moyennem=E(X)soit "grand" est faible. La variance est un indicateur de dispersion autour de l"espérance.4 Fonction génératrice d"une v.a. à valeurs dansN
Définition
Lafonction génératriced"une v.a.Xà valeurs dansNest définie par : GX(t) =E(tX) =+1X
n=0P(X=n)tn:Rq :SiX(
)est une partie finie deN, la fonction génératrice deXest une fonction polynôme. Propriété 18: Propriétés de la fonction génératrice1.GXest la somme d"une série entière de rayon de convergenceR>1etGX(1) = 1.
En particulier,GXest de classeC1sur]1;1[.
2. La fonction génératrice caractérise la loi de X: le développement en série entièredeGXdonne la loi deX.Conséquence :: Deux variables aléatoires dont les fonctions génératrices coincident sur un
intervalle]r;r[;r >0suivent la même loi. Propriété 19: Fonctions génératrices des lois usuelles SiXsuit la loi binomialeB(n;p), alors :8t2R;GX(t) = (pt+ 1p)n. SiXsuit la loi géométriqueG(p), alors :8t2]1q ;1q [;GX(t) =pt1qt.SiXsuit la loi de PoissonP(), alors :8t2R;GX(t) =e(t1).Théorème 20: Fonction génératrice, espérance et variance
1.Xadmet une espérance finie si et seulement siGXest dérivable en 1, et alors :
G0X(1) =E(X).
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