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BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires discrètes2008-2010

Variables aléatoires discrètes

Table des matières

I Variable aléatoire2

I.1 Notion de variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.2 Loi d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2

I.3 Espérance d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.4 Variance et écart-type d"une variable aléatoire . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.5 Transformation affine d"une variable aléatoire . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II Couples de variables aléatoires5

II.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 5

II.2 Indépendance de deux variables aléatoires . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.3 somme de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6

IIILois fondamentales7

III.1 Loi de bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 7

III.2 loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 8

III.3 loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 9

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I Variable aléatoire

I.1 Notion de variable aléatoire discrète

Définition 1

Une grandeur numériqueXprenant, lors d"une expérience aléatoire, des valeursx

1,x2,...,xnavec des

probabilitésp

1,p2,...,pnest unevariable aléatoire discrète.

Exemple 1

Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à6faces. Le lanceur gagne la somme double de la valeur de la face

obtenue si celle-ci est paire, sinon, il perd le double de la valeur indiquée par le dé.

On appelleXle gain, positif ou négatif, du joueur après un lancer.ÔIci, l"ensemble des issues possibles estΩ ={1;2;3;4;5;6},

Ôon a défini avecXune variable aléatoire réelle telle que : X(1) =-2,X(2) = 4,X(3) =-6,X(4) = 8,X(5) =-10etX(6) = 12.

I.2 Loi d"une variable aléatoire

Définition 2

Laloi de probabilitéde la variable aléatoireXest la fonctionfqui a chaque valeur associe sa probabilité.

Remarque 1

En général, on présente la loi d"une variable aléatoireXsous la forme d"un tableau, qui récapitule les valeurs

prises parXainsi que les probabilités associées. Dans tout le reste du chapitre, on considèrera la variable aléatoire discrète de loi :

Valeurs deX:xix1x2x3...xn

Probabilité :p(X=xi)p1p2p3...pn

Exemple 2

On reprend l"énoncé de l"exemple précédent. La loi deXest donnée par : xi-10-6-24812 p(X=xi)1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

Exemple 3

On dispose d"un jeu de32cartes. On tire une carte dans ce jeu, et on attribue à ce tirage la valeurXcalculée suivant la

règle suivante :Ôsi la carte est un Roi,Xvaut4points,

Ôsi la carte est une Dame,Xvaut3points,

Ôsi la carte est un Valet,Xvaut1point,

Ôtoutes les autres cartes valent0point.La loi deXest donnée par : xi0134 p(X=xi)5 8 1 8 1 8 1 8

Remarque 2

On note que pour chacun de ces tableaux, la somme des probabilités élémentaires fait 1, en accord avec l"un

des axiomes des probabilités! http://nathalie.daval.free.fr-2- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires discrètes2008-2010

I.3 Espérance d"une variable aléatoire

Définition 3

SoitXune variable aléatoire discrète, on appelleespérancede la variable aléatoireXle réel notéE(X)

qui vaut :

E(X) =p

1x1+p2x2+...+pnxn=

n? i=1 pixi.

Remarque 3

Ce nombre important en probabilités représente la valeur moyenne de la variable aléatoireX.

Exemple 4

On reprend le jeu de cartes étudié précédemment.

On rappelle que la loi deXest donnée par :

xi0134 p(X=xi)5 8 1 8 1 8 1 8

D"où le calcul de l"espérance :

ÔE(X) = 0×5

8+ 1×18+ 3×18+ 4×18

ÔE(X) =8

8= 1. ÔConcretement, cela signifie "qu"en moyenne", le joueur gagne1point. I.4 Variance et écart-type d"une variable aléatoire

Définition 4

SoitXune variable aléatoire aléatoire discrète d"espéranceE(X).

V(X) =p

n? i=1 pi[xi-E(X)]2.

Xdéfini par :

σ(X) =

V(X).

Exemple 5

Calcul de la variance pour le jeu de cartes :

ÔV(X) =5

8[0-1]2+18[1-1]2+18[3-1]2+18[4-1]2

ÔV(X) =5

8+ 0 +48+98=94= 2,25.

D"où l"écart-type :

Ôσ(X) =σx=?

9

4=σx=32= 1,5.

http://nathalie.daval.free.fr-3- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires discrètes2008-2010 Le théorème suivant permet un calcul plus facile de la variance :

Théorème 1 (De Koenig)

V(X) =p

1x21+p2x22+...+pnx2n-[E(X)]2=

n? i=1 pix2i-[E(X)]2=E(X2)-E2(X).

Exemple 6

Autre méthode de calcul de la variance pour le jeu de cartes :

ÔV(X) =5

8×02+18×12+18×32+18×42-12

ÔV(X) = 0 +1

8+98+168-1 =V(X) =94= 2,25.

Propriété 1

©La variance et l"écart-type d"une variable aléatoire réelleXsont des nombres positifs.

©L"écart-type mesure la dispersion des valeurs d"une variable aléatoire par rapport à son espérance.

©SiXest exprimé dans un certaine unité,σ

Xl"est dans la même unité.

I.5 Transformation affine d"une variable aléatoire

Propriété 2

SoitXune variable aléatoire discrète admettant une espérance etune variance, alors pour tousa;b?R,

la variable aléatoireaX+badmet une expérance, une variance et un écart-type définis par :

©E(aX+b) =aE(X) +b.

©V(aX+b) =a

2V(X).

©σ(aX+b) =|a|σ(X).

Exemple 7

On considère la variable aléatoireXde loi

xi012 p(X=xi)1 4 1 4 1 2

ÔLa loi deY= 2X-1est donnée par

yi-113 p(Y=yi)1 4 1 4 1 2 ÔE(X) =54donc :E(Y) =E(2X-1) = 2E(X)-1 = 2×54-1 =32.

ÔV(X) =11

16donc :V(Y) =V(2X-1) = 22V(X) = 4×1116=114.

Ôσ(X) =⎷

11

4donc :σ(Y) =σ(2X-1) =|2| ×⎷

11

4=⎷

11 2. http://nathalie.daval.free.fr-4- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires discrètes2008-2010

II Couples de variables aléatoires

II.1 Definition

Certaines situations sont naturellement décrites par la donnée d"un couple de variables aléatoires. Par

exemple, en météorologie, on peut s"intéresser au couple formé par la donnée de la température (T) et de

la pression (P) atmosphériques. On est ainsi amené à étudié les deux paramètres simultanément, donc à

regarder le couple (T;P), qui est uncouple de variables aléatoires.

Exemple 8

On considère dans le plan les points de coordonnées entièressitués dans la zoneB, définie par

On considère l"expérience aléatoire consistant à choisir l"un de ces points au hasard (tous les choix de points dansBétant

équiprobables). On définit la variable aléatoire discrèteZqui est formée du couple de coordonnées du point choisi.

ÔDétermination de la loi deZ:

Valeurs deZ(1;1)(1;2)(1;3)(2;1)(2;2)(2;3)

Probabilités1

6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 ÔLa variable aléatoireZest appelée couple des variables aléatoiresXetY.

On peut présenter sa loi de manière à faire apparaître les rôles joués parXetYplus clairement :

?????XY123 11 6 1 6 1 6 21
6 1 6 1 6 Ôon peut aussi déterminer les lois deXet deYà partir de celle deZ: Par exemple,P(Y= 1) =P((X= 1) et (Y= 1)) +P((X= 2) et (Y= 1)) =P(Z= (1;1)) +P(Z= (2;1)) =1

6+16=13.

De manière plus rapide, en faisant les additions en colonne,on obtient la loi deY: yi123

P(Y=yi)1

3 1 3 1 3 Ôen faisant les additions en ligne, on obtient la loi deX: xi12

P(X=xi)1

2 1 2 Ôces deux lois sont appelées lois marginales du couple(X;Y). De façon synthétique, on peut représenter toutes ces données dans un même tableau : ?????XY123P(X=xi) 11 6 1 6 1 6 1 2 21
6 1 6 1 6 1 2

P(Y=yi)1

3 1 3 1 3 http://nathalie.daval.free.fr-5-

BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires discrètes2008-2010Exemple 11Dans une fête foraine, on considère deux rouesAetBdéfinies ainsi :•pour la roueA: on a20%de chance de tomber sur le nombre10,50%de chance de tomber sur le nombre20et30%de chance de tomber sur le nombre30.•pour la roueB: on a40%de chance de tomber sur le nombre10et60%de chance de tomber sur le nombre20.On lance successivement les deux roues, on noteXla variable aléatoire égale au nombre obtenu pour la roueAetYlavariable aléatoire égale au nombre obtenu pour la roueB.ÔLes deux variablesXetYsont indépendantes l"une de l"autre.ÔLa loi deXest donnée par :xi102030P(X=xi)0,20,50,3on obtientE(X) = 21etV(X) = 49.ÔLa loi deYest donnée par :yi1020P(Y=yi)0,40,6on obtientE(Y) = 16etV(Y) = 24.ÔLa loi deS=X+Yest donnée par :di20304050P(S=si)0,080,320,420,18on obtientE(S) =E(X+Y) =E(X) +E(Y) = 21 + 16 = 70,etV(S) =V(X+Y) =V(X) +V(Y) = 49 + 24 = 73.ÔLa loi deD=X-Yest donnée par :di-1001020P(D=di)0,120,380,380,12on obtientE(D) =E(X+Y) =E(X)-E(Y) = 21-16 = 5,etV(D) =V(X-Y) =V(X)+ V(Y) = 49+ 24 = 73.III Lois fondamentalesIII.1 Loi de bernouilliDéfinition 6Uneexpérience de Bernouilliest une expérience qui n"a que deux issues possibles, l"une appelée " suc-cès » qui a pour probabilitép, l"autre appelée " échec » qui a pour probabilitéq= 1-p.Définir uneloi de Bernouilli de paramètrep, c"est associer une loi de probabilité discrète à cetteexpérience aléatoire en faisant correspondre la valeur1à l"apparition d"un succès et0à celle d"un échec.xi10p(X=xi)p1-phttp://nathalie.daval.free.fr-7-

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Exemple 12

Si on lance un dé et qu"on nomme " succès » l"apparition de la face6, on obtient la loi de Bernouilli suivante :

xi10 p(X=xi)1 6 5 6

Propriété 4

SoitXune variable aléatoire suivant une loi de BernouilliB(p), alors :

©L"espérance deXvautE(X) =p.

©La variance deXvautV(X) =pq.

Exemple 13

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