Variables aléatoires discrètes
PSI-Lycée Brizeux. Variables aléatoires discrètes. Variables aléatoires discrètes. I Loi d'une variable aléatoire. 1 Définition d'une variable aléatoire.
Chapitre 3 - Variables aléatoires discrètes
Soit X une va- riable aléatoire discrète La fonction qui associe à tout a ? R la probabilité P(X = a) est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X
Variables aléatoires Discrètes
(Propriétés élémentaires de la loi d'une variable aléatoire.) Soit X une variable aléatoire discrète qui prend ses valeurs sur N. 1. Pour tout k ? N P(X = k)
Chapitre 4 - Variables aléatoires discrètes
Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. • On donne l'ensemble des valeurs X(?) des valeurs prises par X.
Caractéristiques dune variable aléatoire discrète
1 mars 2015 3 Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. 4 Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète.
Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes espérance
http://www.lmpt.univ-tours.fr/~gallardo/coursProb1-09-10-3.pdf
Variables aléatoires discrètes
variable aléatoire X et aux propriétés de cette loi. I.1 Variables aléatoires discrètes. 7. ? Une variable aléatoire discrète sur (? a
Variables aléatoires discrètes
2 Rappels sur les variables aléatoires discrètes. 5. 2.1 Définitions . Calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire discrète.
Variables aléatoires discrètes
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction f qui a chaque valeur associe sa probabilité. Remarque 1. En général on présente la loi d'une
Variables aléatoires discrètes Fiche
On définit pour ces variables aléatoires leur loi de probabilité et on leur associe un nombre appelé espérance mathématique qui est à une variable aléatoire ce
[PDF] Variables aléatoires discrètes - Unisciel
De manière générale une variable aléatoire X est une variable de Bernoulli si elle ne prend que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités non nulles Calcul de
[PDF] Variables aléatoires discrètes - CPGE Brizeux
Exemple : Si A ? A la fonction indicatrice 1A de A est une variable aléatoire réelle discrète On admet la propriété suivante : Propriété 2 : Image d'une
[PDF] Variables aléatoires Discrètes
Définition 1 (Variable aléatoire) Une variable aléatoire réelle X sur un espace probabilisé (?AP) est une application de ? dans R telle que
[PDF] Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes Exemples et applications
Une application X : ? ? E est une variable aléatoire discrète si X(?) est dénombrable et si X?1{x} ? A ?x ? E On définit alors la loi de probabilité de X
[PDF] Variables aléatoires discrètes - RTC
Une variable aléatoire discrète sur ? à valeurs dans E est une application X de ? dans E telle que X(?) soit une partie au plus dénombrable de E et telle que
[PDF] Variables aléatoires discrètes - Nathalie Daval - Free
En général on présente la loi d'une variable aléatoire X sous la forme d'un tableau qui récapitule les valeurs prises par X ainsi que les probabilités
[PDF] Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes
Définition : Soit U l'univers d'une expérience aléatoire Une variable aléatoire sur U est une fonction à valeurs réelles définie sur l'univers U:
[PDF] 1 Introduction 2 Variables Aléatoires Discrètes
Variables Aléatoires Discrètes 2 1 Définition 2 2 Loi de Probablité 2 3 Fonction de Répartition 3 Variables Aléatoires Continues 3 1 Définition
[PDF] Chapitre 2 Variables aléatoires
Définition Une variable aléatoire notée (v a) est dite discrète si l'ensemble des réalisations possibles x1 x2 xn pour cette variable est fini ou
[PDF] Variables aléatoires discrètes
I 1 Variables aléatoires discrètes 7 ? Une variable aléatoire discrète sur (? a È) est une appli- cation à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable
Comment reconnaître une variable aléatoire discrète ?
En théorie des probabilités, une variable aléatoire est dite discrète lorsque l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre est fini ou infini dénombrable. Ainsi, le résultat d'un lancer de dé cubique est une variable aléatoire réelle discrète car elle ne peut prendre que 6 valeurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6.Quand Dit-on qu'une variable est discrète ?
Contrairement à une variable continue, une variable discrète ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs réelles possibles à l'intérieur d'un intervalle donné.Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?
La formule de l'espérance est �� ( �� ) = ? �� ? �� ( �� = �� ) , où �� représente chacune des valeurs possibles de la variable aléatoire discrète �� et �� ( �� = �� ) est la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.- Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?,x]) = P(X ? x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x?).
Vallon
1 ermars 2015VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 1 / 11Table :
1Calcul de probabilités : point de vue ensembliste
2Calcul de probabilités : point de vue fonctionnel
3Loi de probabilité d"une variable aléatoire discrète
4Fonction de répartition d"une variable aléatoire discrète
5Espérance d"une variable aléatoire discrète
6Ecart type d"une variable aléatoire discrète
7Inégalité de Bienaymé-Chebyshev
VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 2 / 11 Calcul de probabilités : point de vue ensembliste l"expérience aléatoire est le lancer d"un dé 4 fois Chaque résultat possible peut être décrit par un quadruplet (d1;d2;d3;d4)où chaquedi2 f1;2;3;4;5;6gL"univers est l"ensemble des quadrupletsUn évènementAest une partie de l"univers, par exemple tous les quadruplets ne contenant aucun 6Calculer lap robabilitéde Ac"est associer àAun nombreP(A)compris entre 0 et 1 qui mesure son degré de réalisationSouvent on suppose que tous les évènements élémentaires, ici les
quadruplets, ont la même chance de se réaliser et par conséquentP(A) =jAjj
jVallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 3 / 11 Calcul de probabilités : point de vue fonctionnel l"expérience aléatoire est le lancer d"un dé 4 fois Une va riablealéatoire est une fonction numérique réelle définie surPar exempleX1définie parX1((d1;d2;d3;d4)) =4P
i=1d iPar exempleX2définie parX2((d1;d2;d3;d4)) =nombre de fois où 6apparaît dans(d1;d2;d3;d4)VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 4 / 11
Loi de probabilité d"une variable aléatoire discrète La loi de p robabilité d"une va riablealéatoire discrète Xest la donnée de toutes les valeurs deXainsi que les probabilités associées à ces valeursDe manière généraleP(X=k) =P(f!2 ;X(!) =kg)Par exempleX2a pour loi de probabilité (loi binomiale) de paramètres n=4 etp=16 X201234
P(X2=k)0,48230,38580,11570,01540,0008
X3prend les valeurs 2n+1 oùn>1 et les probabilités sont données
par une suite géométrique de premier terme14 et de raison34 VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 5 / 11 Fonction de répartition d"une variable aléatoire discrèteDéfinition
La fonction de répartition d"une variable aléatoire discrèteXest définie parF(x) =P(X6x) =P
k6xP(X=k) probabilités cumulées croissantes )Exemple : X201234
P(X2=k)0,48230,38580,11570,01540,0008
F(x)0,48230,86810,98380,99921
VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 6 / 11 Espérance d"une variable aléatoire discrèteDéfinition
L" espérance d"une va riablealéatoire discrète Xest définie par :E(X) =P
kkP(X=k) =P kkP(f!2 ;X(!) =kg) = P kk(P !;X(!)=kP(!))FinalementE(X)peut aussi s"écrireE(X) =P
!X(!)P(!) (la somme est faite sur les évènements élémentaires)Exemples : SiXsuit une loi binomiale de paramètresnetpalorsE(X) =np, doncE(X2) =416 =23 X3est une variable aléatoire discrète maisinfini eet E(X3)existe en
tant que limite d"une suite et vaut 9 VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 7 / 11 Espérance d"une variable aléatoire discrèteThéorème
E(X+Y) =E(X) +E(Y)E(kX) =kE(X)E(k) =kSiX6YalorsE(X)6E(Y)E(XE(X)) =0Démonstration.E(X+Y) =P
!(X+Y)(!)P(!) =P !(X(!) +Y(!))P(!) = P !X(!)P(!) +P !Y(!)P(!) =E(X) +E(Y)Le point important est de calculer l"espérance sur les évènements élémentaires et la définition d"une somme de deux fonctions et du produit d"une fonction par une constanteOn dit que l"espérance estlinéaireE(XE(X)) =E(X)E(E(X)) =E(X)E(X) =0VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 8 / 11
Ecart type d"une variable aléatoire discrèteDéfinition
La va riance d"une va riablealéatoire discrète X, notéeV(X)est définie par :V(X) =E((XE(X))2)Théorème
V(X) =E(X2)(E(X))2Démonstration.
On utilise les propriétés de l"espérance
E((XE(X))2) =E(X22XE(X)+(E(X))2) =E(X2)E(2XE(X))+
E(E(X))2) =E(X2)2E(X)E(X)) + (E(X))2=E(X2)(E(X))2Exemple : SiXsuit une loi binomiale de paramètresnetpalors
V(X) =np(1p)VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 9 / 11 Ecart type d"une variable aléatoire discrèteDéfinition
L"éca rtt ype
d"une va riablealéatoire discrète X, notée(X)est définie par : (X) =pV(X)Exemple : SiXsuit une loi binomiale de paramètresnetpalors (X) =pnp(1p)VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 10 / 11Inégalité de Bienaymé-Chebyshev
Théorème
Pour touta>0on aP(jXj>a)6E(X2)a
2Pour touta>0on aP(jXE(X)j>a)6V(X)a
2Démonstration.
On introduit la fonction "seuil"1[a;+1[(jXj) =1sijXj>a0 sinon on peut donc écrire : jXj>a1[a;+1[(jXj)doncjXj2>a21[a;+1[(jXj) doncE(jXj2)>a2E(1[a;+1[(jXj)) =a2P(jXj>a) Pour la deuxième inégalité on remplaceXparXE(X)Application:Prenons a=2(X)donca2=4V(X)etP(jXE(X)j>2(X))614
Autrement dit moins de 25 % des valeurs d"une variable aléatoire sont audelà de 2 fois l"écart type autour deE(X)VallonCaractéristiques d"une variable aléatoire discrète1ermars 2015 11 / 11
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