Limites de fonctions composées On a besoin détudier la limite en
31 janv. 2011 Limites de fonctions composées ... besoin d'étudier la limite en ( est un nombre réel ou l'infini) d'une fonction composée : f = v ° u.
Terminale S - Limites de fonctions
Exemple 1: Déterminer la limite en +? de la fonction définie sur ?{0} par. ( ) = 2) Limite de la composée d'une suite et d'une fonction.
Limites de fonctions - Lycée dAdultes
9 oct. 2014 3 Limites des fonctions élémentaires. 4. 4 Opérations sur les limites ... 5 Limite d'une fonction composée. 6. 6 Théorèmes de comparaison.
LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2)
LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM. I. Limite d'une fonction composée.
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
Soit f une fonction réelle admettant un développement limité à l'ordre n en (DL d'une composée) Soient f une fonction réelle définie au voisinage de x0 ...
01 - 2 Révisions danalyse Démonstrations
Théorème 1.11 : composée de fonctions admettant des limites de fonctions continues. Soient I et J des intervalles de
LIMITES DES FONCTIONS
Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée.
LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)
On souhaite calculer la limite de la fonction f en +? . On considère les fonctions u et v Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée.
DÉRIVATION
Méthode : Déterminer la dérivée d'une fonction composée (cas général) On en déduit comme limite de fonction composée
Fonctions : Limites et asymptotes
5 Limite d'une fonction composée 5.2 Limite de la composée d'une suite et d'une fonction . ... 6.1 Limites de la fonction exponentielle .
Fonctions : Limites
et asymptotesChristophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Limite à l"infini3
1.1 Limite infinie en+∞, en-∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2 Limite finie en+∞, en-∞- Asymptote horizontale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Limite infinie en un réela4
3 Opérations sur les limites5
3.1 Somme de deux fonctions
53.2 Produit de deux fonctions
53.2.1 Limite d"un produit
53.2.2 Fonctions polynômes
63.3 Inverse d"une fonction
63.4 Quotient de deux fonctions
73.4.1 Limite d"un quotient
73.4.2 Fonctions rationnelles
83.5 Une généralisation du théorème des valeurs intermédiaires
94 Théorèmes de comparaison
94.1 Théorème " des gendarmes »
94.2 Théorème de majoration et de minoration
95 Limite d"une fonction composée
105.1 Limite de la composée de deux fonctions
105.2 Limite de la composée d"une suite et d"une fonction
10 ?Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX
6 Limites et fonction exponentielle
106.1 Limites de la fonction exponentielle
106.2 Quelques limites importantes
11Table des figures
1 Limite+∞lorsquextend vers+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2 Limite finie lorsquextend vers+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
3 Limite infinie lorsquextend vers le réela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Liste des tableaux
1 Limite d"une somme
52 Limite d"un produit
63 Limite de l"inverse
64 Limite d"un quotient
7 21 LIMITE À L"INFINI
En préliminaire au cours :
Activités :Activité 1 page 521et 2 page 532[TransMath]1 Limite à l"infini
1.1 Limite infinie en+∞, en-∞Définition :Soitfune fonction définie sur l"intervalle[α; +∞[.
On dit quefa comme limite+∞lorsquextend vers+∞si,p ourtout nom breA, l"intervalle]A; +∞[
contient toute sles v aleursde f(x)pourxsuffisamment grand(v oirfigure 1 ).On note alors :
lim x→+∞f(x) = +∞oulim+∞f= +∞Figure1 - Limite+∞lorsquextend vers+∞Remarque :On peut définir de manière analoguelimx→+∞f(x) =-∞;limx→-∞f(x) = +∞etlimx→-∞f(x) =-∞.
Cas des fonctions usuelles :-Les fonc tionsx-→x2,x-→⎷x,x-→xn(nentier strictement positif) ont comme limite+∞en+∞. Les fonctions x-→x2,x-→xn(nentier pair, non nul) ont comme limite+∞en-∞. Les fonctions x-→xn(nentier impair) ont comme limite-∞en-∞.1.2 Limite finie en+∞, en-∞- Asymptote horizontaleDéfinition :Soitfune fonction définie sur l"intervalle[α; +∞[etlun nombre réel.
On dit quefa comme limitellorsquextend vers+∞sitout in tervalleouv ertcon tenantlcontient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment grand(v oirfigure 2 ).On note alors :
limx→+∞f(x) =loulim+∞f=lRemarques :On peut définir de manière analoguelimx→-∞f(x) =l.Définition :Lorsquelimx→+∞f(x) =l(respectivementlimx→-∞f(x) =l), on dit que la droite d"équa-
tiony=lestasymptote (horizon tale)à la courb ereprésen tantf.Remarque :Graphiquement, ceci signifie que la courbe représentantfse rapproche de plus en plus de
cette droite lorsquexdevient grand3(voir figure2 ).1. Comportement d"une fonction à l"infini.2. Différents comportements à l"infini.
3. éventuellement négatif et grand en valeur absolue pour l"asymptote en-∞.
32 LIMITE INFINIE EN UN RÉELAFigure2 - Limite finie lorsquextend vers+∞
Cas des fonctions usuelles :-Les fon ctionsx-→1⎷x ,x-→1x ,x-→1x n(nentier strictement positif) ont comme limite0+en+∞.Les fonctions x-→1x
n(nentier pair, non nul) ont comme limite0+en-∞.Les fonctions x-→1x
n(nentier impair, non nul) ont comme limite0-en-∞.Remarques :1." 0+» signifie que la fonction tend vers zéro tout en restant plus grande que zéro.
2.T outesles courb esreprésen tativesde ces fonc tionsadmetten tl"axe des ab scissescomme asymptote.
2 Limite infinie en un réelaDéfinition :Soitaun réel etfune fonction définie au voisinage dea(mais pas nécessairement ena).
On dit quefa comme limite+∞lorsquextend versasi,p ourtout nom breA, l"intervalle]A; +∞[ contient toute sles v aleursde f(x)pourxsuffisamment proche dea(voir figure3 ).On note alors :
lim x→af(x) = +∞oulimaf= +∞Figure3 - Limite infinie lorsquextend vers le réela Remarque :On peut définir de manière analoguelimx→af(x) =-∞;limx→a xd"équationx=aestasymptote (v erticale)à la courb ereprésen tantf(voir figure3 ).Cas des fonctions usuelles :-P ourx-→1⎷x
:limx→01⎷xP ourx-→1x
:lim x→0 x<01x =-∞etlim x→0 x>01x 43 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
P ourx-→1x
2:limx→01x
2= +∞
Plus généralemen t:
si nentier pair non nul ,limx→01x n= +∞; si nentier impair,lim x→0 x<01x n=-∞etlim x→0 x>01x n= +∞Remarque :Toutes les courbes représentatives de ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme
asymptote. Exercices :37, 38 page 68 et 39 page 694- 40, 41 page 695- 77 page 736[TransMath]3 Opérations sur les limitesDans toute cette section,letl?désignent deux nombres réels;adésigne soit un réel, soit+∞,soit-∞.3.1 Somme de deux fonctions
Les résultats sont résumés dans le tableau 1 .lim x→af(x)lll+∞-∞+∞lim x→ag(x)l lim x→a[f(x) +g(x)]l+l?+∞-∞+∞-∞F.I.Table1 - Limite d"une somme
Remarque :" F.I. » signifie "F ormeIndéterminée ». Ceci v eutdire que l"on ne p eutpas conclure direc-
tement à l"aide du tableau. Il faut étudier plus en détail la fonction pour " le verl"indétermination» et
trouver la limite.Exercice :52 page 707[TransMath]
3.2 Produit de deux fonctions
3.2.1 Limite d"un produit
Les résultats sont résumés dans le tableau 2 .4. Conjectures à partir d"un graphique ou d"un tableau de valeurs.5. Allure de courbe à partir d"un tableau de variations.
6. Type BAC.
7. Limite d"une somme de fonctions.
53.3 Inverse d"une fonction 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
lim x→af(x)ll >0l >0l <0l <0+∞+∞-∞00 lim x→ag(x)l limIl s"agit de la
règle des signesTable2 - Limite d"un produit
3.2.2 Application : limite en l"infini d"une fonction polynôme
Exemple :f(x) =-3x4+x3-2x+ 1
On a une forme indéterminée en-∞et en+∞.Six?= 0:
f(x) =x4? -3 +x3x 4-2xx 4+1x 4? =x4? -3 +1x -2x 3+1x 4? lim x→+∞x4= +∞ lim x→+∞?-3 +1x -2x 3+1x4?=-3?
donclimx→+∞f(x) =-∞ Remarques :1.On a un résultat analogue lorsque xtend vers+∞. 2.On p eutremarquer que la limite est la même que celle de -3x4. Ce résultat se généralise.Propriété :(Hors-Programme)
En+∞ou en-∞, une fonctionp olynômea la même limite que son monôme de plus haut degré .Remarque :Ce résultat n"est valablequepour les fonctions polynômes etuniquementpour l"étude des
limites en l"infini.Exercice :1, 2, 3 page 598[TransMath]
3.3 Inverse d"une fonction
Les résultats sont résumés dans le tableau 3 .lim x→af(x)l+∞-∞0 etf(x)>00 etf(x)<0lim x→a1f(x)1 l00+∞-∞Table3 - Limite de l"inverse
Remarque :Lorsquef(x)tend vers zéro, il estnécessairede connaître le signe defpour conclure. Par
contre, dans la plupart des cas, ce n"estpas du toutune forme indéterminée.Exemples :1.limx→+∞1x
2-1=? lim x→+∞x2-1 = +∞donclimx→+∞1x2-1= 0.
On a une asymptote horizontale d"équationy= 0.8. Limite en l"infini de fonctions polynômes. 63 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 3.4 Quotient de deux fonctions
2.limx→11x
2-1=?Commelimx→1x2-1 = 0, il est nécessaire de connaître le signe de?x2-1?pour conclure. Il s"agit
d"un trinôme du second degré, avec deux racines évidentes :-1et1. De plus, le coefficient du terme
de degré 2 est positif. Le signe est donc le suivant :x-∞ -1 1 +∞x2-1+ 0-0 +On a donc :
lim x→1 x<11x2-1=-∞etlimx→1
x>11x2-1= +∞
On a une asymptote verticale d"équationx= 1.
Remarques :1.A ttention!La notation limx→1
x<-11x2-1n"a aucun sens. Il suffit de connaître le signe de
?x2-1?auvoisinagede1pour conclure. 2.P arun raisonn ementanalogue, on trouv e:
lim x→-1 x<-11x2-1= +∞etlimx→-1
x>-11x2-1=-∞
Exercice :53 page 709[TransMath]
3.4 Quotient de deux fonctions
3.4.1 Limite d"un quotient
On peut remarquer que
f(x)g(x)=f(x)×1g(x). On peut donc trouver la limite d"un quotient à l"aide des tableaux 2 et 3 Les résultats sont résumés dans le tableau 4 .lim x→af(x)lll?= 0+∞ ou ou ou -∞0 lim x→ag(x)l ??= 0+∞ ou -∞00l ??= 0+∞ ou -∞0 lim x→af(x)g(x)l l ?0+∞ ou ou ou -∞F.I.F.I.Il faut étudier le
signe degrègle des signesTable4 - Limite d"un quotientExemples :1.limx→13
x-23x-1=? lim x→13 x-2 =-53 lim x→133x-1 = 0?
il faut étudier le signe de3x-1 le signe est résumé dans le tableau suivant :x-∞ 13 +∞3x-1-0 +. Par suite, comme la limite du numérateur est négative, on a : lim x→13 x<13 x-23x-1= +∞etlim x→13 x>13 x-23x-1=-∞9. Limite de l"inverse d"une fonction. 73.4 Quotient de deux fonctions 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
On a une asymptote verticale d"équationx=13
2.limx→0x2-3⎷x
lim x→0x2-3 =-3 lim x→0⎷x= 0et⎷x >0? donclimx→0x2-3⎷x
On a une asymptote verticale d"équationx= 0.
3.limx→+∞x2-3⎷x
lim x→+∞x2-3 = +∞ lim x→+∞⎷x= +∞?On a une forme indéterminée
De plus :
x2-3⎷x
=x2⎷x -3⎷x =x(⎷x)2⎷x -3⎷x =x⎷x-3⎷x lim x→+∞x⎷x= +∞ lim x→+∞3⎷x = 0? donclimx→+∞x2-3⎷x
Exercices :54, 55 page 7010[TransMath]
3.4.2 Application : limite en l"infini d"une fonction rationnelle
Exemple :h(x) =3x2-5x+1x+2
On a une forme indéterminée lorsquextend vers+∞.Six?= 0:
h(x) =x2?3-5xx 2+1x 2?x ?1 +2x =x?3-5x +1x 2?1 + 2x lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞3-5x +1x 2= 3? donclimx→+∞x? 3-5x +1x 2?De plus,limx→+∞1 +2x
= 1donclimx→+∞h(x) = +∞Remarque :On peut remarquer que la limite est la même que celle du quotient des monômes de plus haut
degré. Ce résultat se généralise.Propriété :(Hors-Programme)En+∞ou en-∞, une fonctionrationnelle a la même limite que le quotien tdes monômes de plus
haut degréde son n umérateuret de son dénominateur. Remarques :Ce résultat n"est valablequepour les fonctions rationnelles etuniquementpour l"étude des
limites en l"infini.Exercices :5, 6, 7, 8 page 6011- 9, 10 page 61 et 19 page 6412- 21 page 64 et 42, 44 page 6913- 45, 46
page 69 et 47, 49, 50, 56, 57 page 7014- 58 page 7015- 78 et 80 page 7316- 81 page 7417- 87 page
7418[TransMath]
Module :88, 89, 90 page 7519[TransMath]10. Limite d"un quotient de fonctions.11. Comportement à l"infini de fonction rationnelles.
12. Asymptotes horizontales.
13. Retrouver l"équation d"une courbe.
14. Étude de fonctions rationnelles.
15. Algorithmique.
16. QCM ou Vrai/Faux.
17. Limite d"une aire.
18. Courbes asymptotes.
19. Asymptotes obliques.
84 THÉORÈMES DE COMPARAISON 3.5 Une généralisation du théorème des valeurs intermédiaires
3.5 Une généralisation du théorème des valeurs intermédiaires
Les deux théorèmes des valeurs intermédiaires vus dans le chapitre " Continuité - Compléments de dérivation »
s"étendent aux cas où l"intervalle d"étude est de la forme]a;b[,[a;b[,[a;+∞[, etc. Dans ce cas, pour conclure,
il faut étudier les limites defaux bornes de l"intervalle d"étude pour conclure. Exemple :Montrer que l"équationx3= 2admet une solution unique surR.Soitfla fonction définie surRparf(x) =x3.
fest continue surR(car dérivable) et strictement croissante surR20. De plus,limx→-∞f(x) =-∞etlimx→+∞f(x) = +∞et2?]-∞;∞[. Donc, l"équationx3= 2admet une solution unique surR. Exercices :7 page 116; 65 page 126 et 69 page 12721- 11, 13 page 11722- 25 page 12023- 84 page 13024TransMath
4 Théorèmes de comparaison
4.1 Théorème " des gendarmes »Théorème :Soientf,gethtrois fonctions définies sur]A; +∞[etlun réel.
lim x→+∞f(x) =lRemarque :On a un théorème analogue lorsquextend vers-∞. Exemple :Détermination de la limite en l"infini def(x) =sin(x)xDe plus,limx→+∞1x
= 0etlimx→+∞?-1x ?= 0donclimx→+∞f(x) = 0.De même, six <0,1x
, on aboutit donc à :limx→-∞f(x) = 0 Exercices :11, 12, 13 page 62; 60 page 70 et 62 page 7125[TransMath]4.2 Théorème de majoration et de minorationThéorème :Soientfetgdeux fonctions définies sur]A; +∞[.
1.Si, p ourx?I, on af(x)≥g(x)etlimx→+∞g(x) = +∞alorslimx→+∞f(x) = +∞
2. Exemple :Détermination de la limite en+∞def(x) =x+ cosx Or,limx→+∞x-1 = +∞donclimx→+∞f(x) = +∞.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Limite d'une fonction racine carré
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