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Limites de fonctions composées On a besoin détudier la limite en

31 janv. 2011 Limites de fonctions composées ... besoin d'étudier la limite en ( est un nombre réel ou l'infini) d'une fonction composée : f = v ° u.



Terminale S - Limites de fonctions

Exemple 1: Déterminer la limite en +? de la fonction définie sur ?{0} par. ( ) = 2) Limite de la composée d'une suite et d'une fonction.



Limites de fonctions - Lycée dAdultes

9 oct. 2014 3 Limites des fonctions élémentaires. 4. 4 Opérations sur les limites ... 5 Limite d'une fonction composée. 6. 6 Théorèmes de comparaison.



LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2)

LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM. I. Limite d'une fonction composée.



1.3 Quelques techniques de calcul des DL

Soit f une fonction réelle admettant un développement limité à l'ordre n en (DL d'une composée) Soient f une fonction réelle définie au voisinage de x0 ...



01 - 2 Révisions danalyse Démonstrations

Théorème 1.11 : composée de fonctions admettant des limites de fonctions continues. Soient I et J des intervalles de



LIMITES DES FONCTIONS

Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée.



LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)

On souhaite calculer la limite de la fonction f en +? . On considère les fonctions u et v Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée.



DÉRIVATION

Méthode : Déterminer la dérivée d'une fonction composée (cas général) On en déduit comme limite de fonction composée



Fonctions : Limites et asymptotes

5 Limite d'une fonction composée 5.2 Limite de la composée d'une suite et d'une fonction . ... 6.1 Limites de la fonction exponentielle .

1

DÉRIVATION

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/XAgdHblbajE

Partie 1 : Rappels sur la dérivation

Playlist https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ

Formules de dérivation :

Fonction Dérivée

0

2

≥1 entier 1 ≥1 entier +1

Propriété : Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse

est : =′ Théorème : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle . - Si ′()≥0, alors est croissante sur . Méthode : Étudier les variations d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/23_Ba3N0fu4

Soit la fonction définie sur ℝ par 9 2 -12+5. a) Calculer la fonction dérivée ' de . b) Déterminer le signe de ' en fonction de . c) Dresser le tableau de variations de .

Correction

a) =3 9 2

×2-12=3

+9-12.

Fonction Dérivée

1 2 b) On commence par résoudre l'équation ()=0 :

Le discriminant du trinôme 3

+9-12 est égal à D=9 -4×3×(-12)=225

L'équation possède deux solutions :

= -4 et = 1 Comme =3>0, les branches de la parabole représentant la fonction dérivée sont tournées vers le haut (position " »). La dérivée est donc d'abord positive, puis négative, puis positive. c) On dresse le tableau de variations : -4 =(-4) 9 2 (-4) -12× -4 +5=61 1 =1 9 2 ×1 -12×1+5=- 3 2 Partie 2 : Dérivée d'une fonction composée

1) Définition d'une fonction composée

Méthode : Identifier la composée de deux fonctions

Vidéo https://youtu.be/08HgDgD6XL8

On considère la fonction définie par -3. Identifier la composée de deux fonctions dans la fonction .

Correction

On peut décomposer la fonction en deux fonctions et telles que : -3 Les fonctions et sont définies par : =-3 et On dit que la fonction est la composée de par et on note : =F G= -3

-∞ -4 1 +∞

61
3

Définition :

On appelle fonction composée des fonctions par la fonction notée ∘ définie par :

=F G.

Méthode : Composer deux fonctions

Vidéo https://youtu.be/sZ2zqEz4hug

a) On considère les fonctions et définies par : et Exprimer les fonctions ∘ et ∘ en fonction de . b) Même question avec + et

Correction

a) On a : et =F G= J 1 =F G= b) On a : + et =F G= ++1 =F G= K +1 L +1

2) Dérivation d'une fonction composée

Méthode : Déterminer la dérivée d'une fonction composée (cas général)

Vidéo https://youtu.be/lwcFgnbs0Ew

Déterminer la dérivée de la fonction définie sur ℝ par

Correction

On considère les fonctions et définies par : +1 et

Alors :

=F G

On a : ′

=2 et ′

Fonction Dérivée

ou F G ou ′F

G×′

4

Donc : ′

F

G×′

×2

=2

3) Cas particuliers de fonctions composées

Fonction Dérivée

2

Démonstrations :

N ()=∘() avec

Donc F

N ()G =′F

G×′()=

0(") ×′(), car ′()=

Soit F

N ()G 2 =∘() avec Donc =′F

G×′()=F

G ×′(), car ′()= Soit =′()F G - Démonstration analogue pour " Méthode : Déterminer la dérivée de fonctions composées (cas particuliers)

Vidéo https://youtu.be/kE32Ek8BXvs

Vidéo https://youtu.be/5G4Aa8gKH_o

Déterminer la dérivée des fonctions définies par : a)

3

+4-1 b)

2

+3-3 c) ℎ =2

Correction

a) On pose : N () avec =3 +4-1 ® ′ =6+4

Donc : ′

0 0(") ".5 .5")! .5")! 5 b) On pose : avec =2 +3-3 ® ′ =4+3

Donc : ′

=4′() =4(4+3)

2

+3-3 c) On pose : ℎ =2 avec

Donc : ℎ′

=2′() =2×Q- 1

R

2

Partie 3 : Étude d'une fonction composée

Méthode : Étudier une fonction composée

Vidéo https://youtu.be/I4HkvkpqjNw

Vidéo https://youtu.be/Vx0H1DV3Yqc

Vidéo https://youtu.be/2RIBQ1LiNYU

Soit la fonction définie sur ℝ par a) Étudier les limites de à l'infini. b) Calculer la dérivée de la fonction . c) Dresser le tableau de variations de la fonction . d) Tracer la courbe représentative de la fonction .

Correction

a) Limite en -∞ : Comme limite d'une fonction composée : lim %→#1 =lim

2→)1

2 En effet, lorsque →-∞, on a : =- 2 Or, lim %→#1 Donc, limite d'un produit : lim %→#1

Limite en +∞ :

On reconnait une forme indéterminée du type " ∞×0 ».

Levons l'indétermination :

=2 6

Par croissance comparée, on a : lim

%→)1 3

En effet, lim

2→)1

3 2 =+∞, en considérant que = 2

Donc, lim

%→)1 3 =0, comme inverse de limite.

Et donc : lim

%→)1 2 3 =0

Soit : lim

%→)1 =0. =1× +×K- 1 2

L

, en effet : K L =K- 1 2

L

2 =K1- 2

L

c) Comme >0, est du signe de 1- 2 est donc positive sur l'intervalle -∞;2 et négative sur l'intervalle

2;+∞

On dresse le tableau de variations :

En effet :

2 =2 =2 2 d) -∞ 2 +∞ + 0 - -∞ 0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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