Limites de fonctions composées On a besoin détudier la limite en
31 janv. 2011 Limites de fonctions composées ... besoin d'étudier la limite en ( est un nombre réel ou l'infini) d'une fonction composée : f = v ° u.
Terminale S - Limites de fonctions
Exemple 1: Déterminer la limite en +? de la fonction définie sur ?{0} par. ( ) = 2) Limite de la composée d'une suite et d'une fonction.
Limites de fonctions - Lycée dAdultes
9 oct. 2014 3 Limites des fonctions élémentaires. 4. 4 Opérations sur les limites ... 5 Limite d'une fonction composée. 6. 6 Théorèmes de comparaison.
LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2)
LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2). Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxM. I. Limite d'une fonction composée.
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
Soit f une fonction réelle admettant un développement limité à l'ordre n en (DL d'une composée) Soient f une fonction réelle définie au voisinage de x0 ...
01 - 2 Révisions danalyse Démonstrations
Théorème 1.11 : composée de fonctions admettant des limites de fonctions continues. Soient I et J des intervalles de
LIMITES DES FONCTIONS
Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée.
LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)
On souhaite calculer la limite de la fonction f en +? . On considère les fonctions u et v Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée.
DÉRIVATION
Méthode : Déterminer la dérivée d'une fonction composée (cas général) On en déduit comme limite de fonction composée
Fonctions : Limites et asymptotes
5 Limite d'une fonction composée 5.2 Limite de la composée d'une suite et d'une fonction . ... 6.1 Limites de la fonction exponentielle .
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2014 à 9:32
Limites de fonctions
Table des matières
1 Limite finie ou infinie à l"infini2
1.1 Limite finie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Limite infinie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Limite infinie en un point3
3 Limites des fonctions élémentaires4
4 Opérations sur les limites4
4.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Produit de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 Quotient de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Limite d"une fonction composée6
6 Théorèmes de comparaison8
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Limite finie ou infinie à l"infini
1.1 Limite finie à l"infini
Définition 1 :Dire qu"une fonctionf
a pour limite?en+∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un in- tervalle]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) =? A xOC fΔ La droiteΔd"équationy=?est diteasymptote horizontaleàCf Remarque :On définit de façon analogue limx→-∞f(x) =?. Exemple :Les fonctions de référence :x?→1 x,x?→1xnetx?→1⎷xont des limites nulles en+∞et-∞pour les deux premières. Leurs courbes admettent alors l"axe des abscisses comme asymptote horizontale.1.2 Limite infinie à l"infini
Définition 2 :Dire qu"une fonction
fa pour limite+∞en+∞, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un intervalle ]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) = +∞ A]M Cf O Remarque :Cela implique que la fonctionfn"est pas majorée On définit de façon analogue limx→-∞f(x) = +∞. Ainsi que : limx→+∞f(x) =-∞et limx→-∞f(x) =-∞ Exemple :Les fonctions de référence :x?→x,x?→xnetx?→⎷ xont pour limite +∞en+∞. La fonction de référence :x?→xna pour limite+∞en-∞sinest pair et-∞en -∞sinest impair.PAULMILAN2 TERMINALES
2. LIMITE INFINIE EN UN POINT
Une fonction peut tendre vers+∞en
+∞de plusieurs façons. C"est le cas par exemple des fonctionsx?→x2,x?→xet x?→⎷ x.x?→x2tend "rapidement" vers l"in-
fini. La concavité est tournée vers le haut.x?→xtend "moyennement" vers l"in-
fini. Pas de concavité.x?→⎷xtend "lentement" vers l"in-
fini. La concavité est tournée vers le basTrois façons de
tendre vers+∞ ⎷x x x2 O2 Limite infinie en un point
Définition 3 :Dire qu"une fonction
fa pour limite+∞ena, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un inter- valle ouvert contenanta. On note alors : lim x→af(x) = +∞La droiteΔd"équationx=aest dite
asymptote verticaleàCf a[]C fM O Remarque :on définit de façon analogue limx→af(x) =-∞On peut aussi définir la limite à gauche
ou à droite dex=alorsque la limite en x=an"existe pas. On notera alors : limite à gauche : lim x→axExemple :La fonctionx?→1
x2a pour limite+∞en 0. La fonctionx?→1 xn"admet pas de limite en 0, mais admetune limite à gauche (-∞)et à droite (+∞) de 0. 1 x2 1 xO limiteà droite
Limite
à gauche
PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Limites des fonctions élémentaires
Limites en l"infini
f(x)xn1 xn ⎷x1⎷x limx→+∞f(x)+∞0+∞0 limx→-∞f(x)+∞sinpair -∞sinimpair0non défininon définiLimites en 0
f(x)1 xn1⎷x
limx→0x>0f(x)+∞+∞ limx→0x<0f(x)+∞sinpair -∞sinimpairnon défini4 Opérations sur les limites
4.1 Somme de fonctions
Sifa pour limite???+∞-∞+∞
Siga pour limite??+∞-∞+∞-∞-∞ alorsf+ga pour limite?+??+∞-∞+∞-∞F. Ind.Exemples :
1) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie surR?par :f(x) =x+3+1
x lim x→+∞x+3= +∞ lim x→+∞1 x=0?????Par somme
lim x→+∞f(x) = +∞2) Limite en+∞et-∞de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x
lim x→+∞x2= +∞ lim x→+∞x= +∞???Par somme
lim x→+∞f(x) = +∞ lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞x=-∞???Par somme, on ne peut conclure
Forme indéterminée :+∞-∞
4.2 Produit de fonctions
Sifa pour limite???=00∞
Siga pour limite??∞∞∞
alorsf×ga pour limite?×??∞*F. ind.∞* *Appliquer la règle des signesPAULMILAN4 TERMINALES
4. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
Exemples :
1) Limite en-∞de la fonction précédente :f(x) =x2+x
Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2? 1+1 x?On a alors avec le produit :
lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞1+1 x=1?????Par produit
lim x→-∞f(x) = +∞2) Limite en+∞de la fonction définie surR+par :f(x) =x-⎷
x On ne peut résoudre par la somme car c"est une forme indéterminée,on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =x-⎷ x=x?1-1⎷x?
lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞1-1 ⎷x=1?????Par produit
lim x→+∞f(x) = +∞3) Limite à droite de 0 de la fonction définie surR?par :f(x) =1
xsinx lim x→0x>01 x= +∞ limPar produit, on ne peut conclure
Forme indéterminée0×∞
4.3 Quotient de fonctions
Sifa pour limite???=00?∞∞
Siga pour limite???=00(1)0∞??(1)∞
alorsfga pour limite ??∞*F. ind.0∞*F. ind. *Appliquer la règle des signes (1) doit avoir un signe constantExemples :
1) Limite en-2 de la fonction définie surR-{-2}par :f(x) =2x-1
x+2On a le tableau de signes dex+2 :
x x+2 -∞-2+∞ 0+PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
limx→-22x-1=-5 lim x→-2x>-2x+2=0+ lim lim x→-2x>-2f(x) =-∞ lim x→-2x<-2f(x) = +∞ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=-2.2) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+1
3x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+∞, nous avons une forme indéterminée :∞ ∞. Il faut donc changer la forme def(x). f(x) =2x+13x+2=x?
2+1 x? x? 3+2x? =2+1 x 3+2xOn a alors :
limx→+∞2+1 x=2 lim x→+∞3+2 x=3???????Par quotient
lim x→+∞f(x) =234.4 Conclusion
Il existe donc quatre formes indéterminées (comme avec les limites de suites) où les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. Dans les cas d"indé- termination, il faudra chercher à mettre le terme du plus haut degré enfacteur (pour les polynômes et les fonctions rationnelles), à simplifier, à multiplier par la quantité conjuguée (pour les fonctions irrationnelles), à utiliser un théorème de comparaison, à effectuer un changement de variable ...5 Limite d"une fonction composée
Théorème 1 :Soit deux fonctionsf,g. Soienta,betcdes réels ou+∞ou-∞.Si lim
x→ af(x) =bet limx→bg(x) =calors limx→ag[f(x)]=cExemples :Déterminer les limites suivantes :
1) lim
x→+∞h(x)avech(x) =? 2+1x22) lim
x→+∞k(x)aveck(x) =cos?1 x2+1?PAULMILAN6 TERMINALES
5. LIMITE D"UNE FONCTION COMPOSÉE
1) On posef(x) =2+1x2etg(x) =⎷x. On a alors :h(x) =g[f(x)].
On calcule alors les limites :
lim x→+∞2+1 x2=2 lim x→2⎷ x=⎷2???????Par composition, on a :
lim x→+∞h(x) =⎷2 Remarque :On peut éventuellement rédiger en faisant un changement de variable. On pose : X=2+1 x2donch(x) =⎷XOn a alors :
lim x→+∞X=limx→+∞2+1 x2=2 limX→2⎷
X=⎷2???????
Par composition, on a :
lim x→+∞h(x) =⎷22) On posef(x) =1
x2+1etg(x) =cosx. On a alors :k(x) =g[f(x)]. lim x→+∞1 x2+1=0 lim x→0cosx=1?????Par composition, on a :
lim x→+∞k(x) =1Théorème 2 :Limites fonctions et suites
Soit une suite(un)définie par :un=f(n).fest alors la fonction réelle associée à la suite(un). Soitaun réel ou+∞ou-∞Si lim
x→+∞f(x) =aalors limn→+∞un=a Exemple :Soit la suite(un)définie pour toutn?N?par :un=?2+1n2.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Limite d'une fonction racine carré
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