[PDF] I Limite dune suite II Limites et inégalités

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PTSIþ1/þ3þ

Iþ Limiteþ d"uneþ suiteþ

I.1þ Convergenceþ d"uneþ suiteþ

Définitionþ 1þ

Soitþ(un)nuneþ suiteþ réelleþ etþl2R.þ

1.þ Onþ ditþ queþ laþ suiteþutendþ versþlouþ convergeþ versþlsiþ8" >09N2N8n>

Njunlj6".þ

2.þ Onþ ditþ queþ laþ suiteþutendþ versþ+1siþ8A2R9N2N8n>N un>A.þ

3.þ Onþ ditþ queþ laþ suiteþutendþ versþ1siþ8B2R9N2N8n>N un6B.þ

Siþ laþ suiteþun"admetþ pasþ deþ limite,þ onþ ditþ qu"elleþ diverge.þ Dansþ leþ casþ oùþutendþ versþl2R

onþ noteþun!n!+1louþun!l.þ

Onþ emploieþ aussiþ leþ motþ "diverge"þ pourþ qualifierþ lesþ suitesþ deþ limiteþ infinie.þ

Théorèmeþ 1þ

Soitþ(un)n2RN.þ

1.þ Siþ(un)nadmetþ uneþ limiteþ finieþ alorsþ elleþ estþ bornée.þ

2.þ Siþ(un)ntendþ versþ+1alorsþ elleþ estþ minoréeþ (etþ possèdeþ mêmeþ unþ minimum)þ etþ

nonþ majorée.þ

3.þ Siþ(un)ntendþ versþ1alorsþ elleþ estþ majoréeþ (possèdeþ mêmeþ unþ maximum)þ etþ nonþ

minorée.þ

Lemmeþ 1þ

Soientþx;y2R.þ

(8" >0jxyj6"))x=y: Théorèmeþ 2þ (Unicitéþ deþ laþ limite)þ

Soitþ(un)2RN.þ Siþupossèdeþ uneþ limiteþ alorsþ saþ limiteþ estþ unique.þ

I.2þ Caractérisationsþ deþ laþ convergenceþ

Propositionþ 1þ

Soitþ(un)nuneþ suiteþ réelleþ etþl2R

1.þlimn!+1un=l()limn!+1unl= 0

2.þlimn!+1un= 0()limn!+1junj= 0

3.þlimn!+1un=l()limn!+1junlj= 0

Propositionþ 2þ

Soitþ(un)n2RN.þ

1.þ Laþ suiteþ(un)ntendþ versþ+1ssiþ(un)ntendþ versþ1.þ

2.þ Siþ8n2Nun>0(ouþ siþ(un)estþ strictementþ positiveþ àþ partirþ d"unþ certainþ rang)þ

alorsþ onþ aþ équivalenceþlimn!+1un= +1 ()limn!+1 1 un= 0.þ

3.þ Siþ8n2Nun<0(ouþ siþ(un)estþ strictementþ négativeþ àþ partirþ d"unþ certainþ rang)þ

alorsþ onþ aþ équivalenceþlimn!+1un=1 ()limn!+1 1 un= 0.þ

Théorèmeþ 3þ

Soitþ(un)n2RNetþl2R.þ

(un)ntendþ versþl2Rssiþ lesþ suitesþ(u2n)netþ(u2n+1)ntendentþ versþl.þ

IIþ Limitesþ etþ inégalitésþ

II.1þ Comparaisonþ

Propositionþ 3þ

Soientþ(un);(vn)2RN.þ Onþ supposeþ deþ plusþ queþun6vnàþ partirþ d"unþ certainþ rang.þ

1.þ Siþun!+1alorsþvn!+1.þ

2.þ Siþvn! 1alorsþun! 1.þ

Théorèmeþ 4þ (Théorèmeþ d"encadrementþ ouþ théorèmeþ desþ gendarmes)þ

Soientþ(un)n;(vn)n;(wn)ntroisþ suitesþ réellesþ tellesþ qu"ilþ existeþN2Ntelþ queþ

8n>N un6vn6wn:

Siþ deþ plusþ lesþ suitesþ(un)netþ(wn)nconvergentþ versþ laþ mêmeþ limiteþl2Ralorsþ(vn)n

admetþ uneþ limiteþ etþ cetteþ limiteþ estþl.þ II.2þ Utilisationþ desþ suitesþ quiþ possèdentþ uneþ limiteþ

Propositionþ 4þ

Soientþ(un)n;(vn)n2RNdeuxþ suitesþ convergeantþ respectivementþ versþletþl02R.þ

Siþl < l0alorsþ ilþ existeþ unþ rangþ àþ partirþ duquelþun< vn.þ

Théorèmeþ 5þ (Passageþ àþ laþ limiteþ desþ inégalitésþ LARGES)þ

Soitþ(un)netþ(vn)ndeuxþ suitesþ réelles.þ Soientþ enþ outreþm;Mdesþ réels,þN2N.þ Soientþ

l;l02R

1.þ Siþlim+1un=letþlim+1vn=l0etþ siþun6vnàþ partirþ d"unþ certainþ rang,þ alorsþ

l6l0.þ

2.þ Siþlim+1un=letþ8n>N un6Malorsþl6M.þ

3.þ Siþlim+1un=letþ8n>N un>malorsþl>M.þ

Chapþ 15þ:þ Limiteþ desþ suitesþ

2/þ3þPTSIþ

IIIþ Existenceþ deþ limitesþ

III.1þ Opérationsþ

Propositionþ 5þ (Sommeþ deþ suites)þ

Soientþ(un)netþ(vn)ndeuxþ suitesþ réelles,þl;l02R.þ Onþ aþ lesþ résultatsþ suivantsþ

limn!+1unlll+1+11 limn!+1vnl0+11+111 limn!+1un+vnl+l0+11+1??1

Théorèmeþ 6þ

Soitþ(un)nuneþ suiteþ tendantþ versþ0etþ(vn)nuneþ suiteþ bornée.þ Alorsþ(unvn)nconvergeþ

versþ0.þ Propositionþ 6þ (produitþ deþ deuxþ suites)þ

Soientþ(un)netþ(vn)ndeuxþ suitesþ réellesþ etþl;l02R.þ Onþ aþ lesþ résultatsþ suivantsþ

limn!+1unll >0l >00l <0l <0+1+11 limn!+1vnl0+111+11+111 limn!+1unvnll0+11??1+1+11+1

Autrementþ dit,þ dèsþ qu"onþ peutþ faireþ leþ produitþ dansþR,þ laþ limiteþ existeþ etþ vautþ ceþ produit.þ

Corollaireþ 1þ (multiplicationþ parþ unþ scalaire)þ

Soitþ(un)n2RNetþ2R.þ

limn!1unl2R+11 limn!1unl +1siþ >0

0siþ= 0

1siþ <0

1siþ >0

0siþ= 0

+1siþ <0

Propositionþ 7þ (Inverse)þ

Soitþ(un)nuneþ suiteþ réelle.þ

1.þ Siþ(un)nconvergeþ versþl2Ralorsþ(1

un)nconvergeþ versþ1 l.þ

2.þ Siþ(un)nconvergeþ versþ0etþ estþ deþ signeþ constantþ àþ partirþ d"unþ certainþ rangþ alorsþ

(1 un)ntendþ versþ1(mêmeþ signeþ queþun)þ

3.þ Siþ(un)ntendþ versþ1alorsþ(1

un)ntendþ versþ 0.þ Théorèmeþ 7þ (Compositionþ parþ uneþ fonctionþ continue)þ

Soitþf:I!Runeþ fonctionþ etþ(un)nuneþ suitesþ d"élémentsþ deþI.þ Siþ(un)nconvergeþ versþ

l2Ietþ queþfadmetþ uneþ limiteþ enþlalorsþf(un)!limx!lf.þ

III.2þ Convergenceþ monotoneþ

Théorèmeþ 8þ

Touteþ suiteþ croissanteþ etþ majoréeþ converge.þ Touteþ suiteþ décroissanteþ etþ minoréeþ converge.þ

Théorèmeþ 9þ

Touteþ suiteþ croissanteþ nonþ majoréeþ tendþ versþ+1.þ Touteþ suiteþ décroissanteþ nonþ minoréeþ

tendþ versþ1

III.3þ Suitesþ adjacentesþ

Définitionþ 2þ

Soientþ(un)netþ(vn)ndeuxþ suitesþ réelles.þ Onþ ditþ qu"ellesþ sontþ adjacentesþ siþ l"uneþ estþ

croissante,þ l"autreþ décroissanteþ etþlimunvn= 0.þ

Théorèmeþ 10þ

Deuxþ suitesþ adjacentesþ sontþ convergentesþ deþ mêmeþ limiteþ finie.þ

Théorèmeþ 11þ (Théorèmeþ desþ segmentsþ emboîtés)þ

Soitþ[an;bn]uneþ suiteþ décroissanteþ deþ segmentsþ (c"estþ àþ direþ queþ pourþ toutþn2Nonþ aþ

[an+1;bn+1][an;bn])þ deþRtelleþ queþlimbnan= 0.þ Alorsþ l"intersectionþT n2N[an;bn]estþ

unþ singleton,þ quiþ estþ laþ limiteþ communeþ desþ suitesþ(an)netþ(bn)n.þ

III.4þ Résuméþ desþ outilsþ

III.5þ Croissancesþ comparéesþ

Propositionþ 8þ

Soitþ(un)uneþ suiteþ àþ valeursþ strictementþ positives.þ

1.þ Siþun+1

un!+1l <1alorsþun!+10.þ Onþ aþ mêmeþun=o+1(bn)pourþ unþb2]0;1[

2.þ Siþun+1

un!+1l >1alorsþun!+1+1.þ Onþ aþ mêmeþbn=o+1(un)pourþ unþb >1.þ

IVþ Suitesþ complexesþ

IV.1þ Généralitésþ

Définitionþ 3þ

Soitþ(zn)n2CN.þ Pourþ toutþnentierþ onþ aþzn=xn+iynavecþxn;yn2R.þ Lesþ suitesþ(xn)n

etþ(yn)nsontþ lesþ partiesþ réellesþ etþ imaginairesþ deþ laþ suiteþ(zn)n.þ

Définitionþ 4þ

Soitþ(zn)nuneþ suiteþ complexe.þ

Chapþ 15þ:þ Limiteþ desþ suitesþ

PTSIþ3/þ3þ

1.þ Onþ ditþ queþ cetteþ suiteþ estþ bornéeþ ssiþ9M2R+jznj6M.þ

Onþ neþ peutþ pasþ direþ d"uneþ suiteþ complexeþ qu"elleþ estþ majoréeþ ouþ minoréeþ vuþ qu"onþ

neþ peutþ pasþ direþ deþ deuxþ complexesþ s"ilþ yþ enþ aþ unþ plusþ petitþ queþ l"autre.þ

2.þ(zn)nestþ diteþ stationnaireþ siþ ilþ existeþN2Netþa2Ctelsþ queþ8n>N zn=a.þ

3.þ Uneþ suiteþ(wn)nestþ diteþ extraiteþ deþ(zn)ns"ilþ existeþ':N!Nstrictementþ crois-

santeþ telleþ queþ8n2Nwn=z'(n).þ

IV.2þ Limitesþ

Définitionþ 5þ

Soitþ(zn)nuneþ suiteþ complexeþ etþl2C.þ Onþ ditþ queþ laþ suiteþ(zn)nconvergeþ versþl2C

(þlimn!+1zn=l)þ siþ

8" >09N2N8n>Njznlj6":

Onþ neþ peutþ pasþ définirþ laþ notionþ deþ limiteþ infinieþ pourþ uneþ suiteþ complexe.þ

Théorèmeþ 12þ

Soitþ(zn) = (xn) +i(yn)uneþ suiteþ complexe.þ(zn)convergeþ versþ uneþ limiteþl=x+iy

(unique)þ ssiþxn!xetþyn!y.þ

Siþ(zn)convergeþ alorsþ elleþ estþ bornée.þ Laþ réciproqueþ étantþ évidemmentþ fausse.þ

Propositionþ 9þ

Lesþ résultatsþ surþ laþ somme,þ leþ produitþ etþ l"inverseþ deþ limitesþ finiesþ (etþ nonþ nulleþ pourþ

l"inverse)þ s"étendentþ immédiatementþ auxþ suitesþ àþ valeursþ complexes.þ

Chapþ 15þ:þ Limiteþ desþ suitesþquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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