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Analyse I : suites, limites et continuité

MaximeLegrand

ENS - 7 décembre 2013

http ://matholympia.blogspot.fr/

1 Petits rappels sur les quantificateurs

Définition 1.On introduit (ou rappelle) lesquantificateurssuivants : -?signifiant "il existe" -?signifiant "pour tout"

Remarque.Généralement, l"introduction d"un élémentxpar?sera suivi de ":" signifiant "tel que",

afin de donner des conditions sur cet élément. Ainsi,?x?R: 0< x <1signifie "Il existe un élémentxdeRtel quexsoit strictement compris entre

0et1". Cette proposition est évidemment vraie (par exemple pourx=1π

Lesquantificateurssont extrêmement importants en logique mathématiques, et il est primordial de savoir parfaitement les manipuler. Une opération importante sur une proposition logiqueQest le passage à la négation¬QdeQ,

qu"il faut savoir manipuler. On remarque alors que les quantificateurs?et?sont inter-changés, et les

affirmations triviales remplacées par leur contraire. Ainsi, si l"on poseQ:?x?R:?(y,z)?R2,y < x et x < z,

Bien entendu, seule¬Qest vraie.

Exercice d"application.Comment formuler à l"aide de quantificateurs que deux éléments deRsont

soit égaux, soit comparables au sens strict? Et le contraire?

2 Suites réelles, limite de suites

2.1 Suites réelles

Définition 2.Unesuite réelleest une fonctionu:N-→R. On note généralementun=u(n) l"image d"un élémentn?N, et la suite s"écrit alors(un)n?N?RN. On dit qu"une suite est -constantesi?n?N,un=un+1 -minoréesi?m?R:?n?N,un≥m -bornéesi elle est minorée et majorée -décroissantesi?n?N,un≥un+1 -monotonesi elle est croissante et décroissante Remarque.Une suiteuest bornée si et seulement si|u|= (|un|)n?Nest majorée.

Remarque.Une suite peut être définie de façonexhaustive, commeun= 2n, ou parrécurrence, par

exemple : -v0= 1 -vn+1= 2vn. Ici, les deux définitions nous permettent d"obtenir la même suite :(un)n?N= (vn)n?N. 1

2.2 Limite de suites

Définition 3.On dit qu"une suiteconverge vers0si : On dit qu"une suiteconverge versl?Rsiu-l= (un-l)n?Nconverge vers0.lest alors appelée limitede la suiteu.Définition 4.On dit qu"une suite : -diverge vers+∞si ?A?R,?n0?N:?n?N,n≥n0=?un≥A -diverge vers-∞si Remarque.On dit qu"une suiteuestconvergentesi elle converge vers un certainl?R, etdivergente si|u|diverge vers+∞. On montre facilement qu"une suite convergente est bornée.

Théorème 2(Unicité de la limite).Soituune suite convergente ou divergeant vers+∞ou-∞.

Alorsuadmet uneuniquelimitel?R? {+∞,-∞}, notéelimn→+∞un, ou plus simplementlimu.

Théorème 3(Opérations sur les suites).Soituetvdeux suites convergeant respectivement verslu etlv. Alors -u+v= (un+vn)n?Nconverge verslu+lv -u-v= (un-vn)n?Nconverge verslu-lv -u.v= (unvn)n?Nconverge verslulv - si?n?N,vn?= 0etlv?= 0,1v = (1v n)n?Nest bien définie et converge vers1l v- si?n?N,vn?= 0etlv?= 0,uv = (unv n)n?Nest définie et converge verslul v

Proposition 4(Stabilité des inégalités larges par passage à la limite).Soituetvdeux suites con-

exemple prendreun=-2-netvn= 2-n. Proposition 5.Soituune suite convergeant versl >0. Alorsun>0à partir d"un certain rang. Corollaire 6.Soita?Retuune suite convergeant versl > a. Alors ?n0?N:?n?N,n≥n0=?un> a.

Remarque.La propriété ci-dessus est équivalente au même énoncé en remplaçantun> aparun≥a.

(Penser à remplacerapara+l2 Exercice d"application.Soituune suite réelle telle que?n?N, un+1= 4un-u2n. Siuconverge vers une limitel, que peut-on dire surl?

Montrer queuconverge si et seulement si elle stationnaire (c"est à dire constante à partir d"un certain

rang). 2

2.3 Suites extraites

Définition 5.On appelleextractionune fonction strictement croissante deNdansN. Remarque.Quelques extractions simples : les fonctions qui, àn?Nassocientn,2n,2n+ 1,n2, 2 n,...

Définition 6.Soituune suite réelle. La suitevest diteextraitedeusi il existe une extractionφ

telle que : ?n?N,vn=uφ(n). Définition 7.Soituune suite réelle etl?R. On dit quelest unevaleur d"adhérencedeus"il existe une suitevextraite deutelle quelimn→+∞=l. Définition 8.Deux suites réellesuetvsont ditesadjacentessi : -uest croissante etvest décroissante -limn→+∞|vn-un|= 0. Définition 9.SoitAun ensemble non vide et borné deR. Alors on admet queAadmet un plus petit majorantsupAappeléborne supérieuredeA, ainsi qu"un plus grand minorantinfAappeléborne inférieuredeA.

Lemme 7.Une suite croissante et majorée est convergente, de même qu"une suite décroissante et

minorée. Remarque.Une suite monotone admet donc toujours une limite, qui est éventuellement infinie (dans le cas où elle n"est pas bornée). Théorème 8(Suites adjacentes).Soituetvdeux suites adjacentes (telles queusoit la suite crois- sante). Alors : -uetvconvergent vers une même limitel. Remarque.La paire de suitesun=-2-netvn= 2-nest un exemple-type de suites adjacentes.

Leur limite commune étant évidemment0.

Exercice d"application.Soit(a,b)?R2: 0< a < b. On pose : -utelle queu0=aetun+1=⎷u nvn -vtelle quev0=betun+1=un+vn2

Montrer queuetvsont monotones. Dans quel sens?

Montrer queuetvconvergent.

Montrer qu"elles ont la même limite, appelée moyenne arithmético-géométrique deuetv. Lemme 9.SoitE=A?Bune réunion d"ensembles tel quecard(E) = +∞. Alorscard(A) = +∞ oucard(B) = +∞.

Théorème 10(Bolzano-Weierstrass).Tout suite bornée admet au moins une valeur d"adhérence.

Remarque.Mais il peut y en avoir bien plus qu"une! Par exemple, on peut montrer que tout élément

de[-1;1]est valeur d"adhérence de la suite(cos(n)n?N.

Exercice d"application.Si une suite bornée n"a qu"une valeur d"adhérencel?R, elle converge vers

l. 3

Complément : suites de Cauchy

Définition 10.Une suite est ditede Cauchysi :

Théorème 11(Complétude deR).Tout suite réelle est convergente si et seulement si elle est de

Cauchy : on dit queRestcomplet.

Démonstration. Exercice.

Indications :

- Une suite convergente est évidemment de Cauchy, si pour un certain? >0, on applique la définition de la convergence pour ?2 et l"inégalité triangulaire. - Pour montrer qu"une suite de Cauchy est convergente, on pourra commencer par montrer qu"elle

admet une valeur d"adhérence (Bolzano-Weierstrass), puis que celle-ci est unique (définition et

inégalité triangulaire) avant de conclure.

3 Fonctions réelles, continuité de fonctions

3.1 Limite de fonctions réelles

Définition 11.Soitf:Df-→Rune fonction réelle (Df?R) eta?R. On dit quefestdéfinie au voisinagedeasi?h >0 : D f∩[a-h;a+h]\{a}= [a-h;a[("définie à gauche dea") ou]a;a+h]("définie à droite dea") ou[a-h;a+h]\{a}("définie autour dea"). On dit quefestdéfinie au voisinagede+∞si : ?A?R: [A;+∞[?Df. On dit quefestdéfinie au voisinagede-∞si : ?A?R: ]- ∞;A]?Df. Définition 12.Soitfune fonction réelle, eta?R. On dit queftend vers0enasi f est définie au voisinage deaet que : On dit queftend versl?Renasif-l:x?→f(x)-ltend vers0ena.

Théorème 12(Caractérisation séquentielle de la limite).Soita?Retfun fonction réelle définie

au voisinage dea. Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes : -ftend verslena -?(un)n?N?IN: limn->+∞un=a,limn->+∞f(un) =l. Définition 13.On dit quefestcontinue ena?Dfsiftend versf(a)ena. SiDf=Iest un intervalle deR, on dit quefestcontinuesifest continue en tout point deI. On noteC(I)l"ensemble des fonctions continues surI. On ne s"intéressera dans la suite qu"à des fonctions définies sur un intervalleIdeR. Proposition 13(Quelques propriétés sur l"ensembleC(I)).Soitf,gdeux fonctions deC(I). Alors : -?a?R, a.f:x?→a.f(x)est une fonction deC(I) -f+g:x?→f(x) +f(y)est une fonction deC(I) -f.g? C(I) - si?x?I,g(x)?= 0,fg ? C(I) -|f| ? C(I) 4 Exercice d"application.Soitfetgdeux fonctions continues surI. Montrer queinf(f,g) :x?→ inf(f(x),g(x))etsup(f,g) :x?→sup(f(x),g(x))sont continues surI. Alors toute valeurd?[f(a);f(b)]est atteinte par la fonctionfsur[a;b]. Exercice d"application.On dit que f estinjectivesi?x,y, f(x) =f(y) =?x=y.

Soitf? C(I)injective. Montrer quefest monotone.

Complément : fonctions uniformément continues Définition 14.Soitfune fonction réelle définie sur un intervalleI.

On dit quefestuniformément continuesurIsi :

Remarque.Une fonction uniformément continue est en particulier continue. Théorème 16(Heine).Toute fonction continue sur un segmentI= [a;b]est uniformément continue surI. Exercice d"application.Montrer qu"une fonction continue surR+admettant une limite finielen +∞est uniformément continue.

Exercices

Exercice 1: Moyenne de Cesàro

Soituune suite réelle, etvla suite définie parvn=u0+u1+u2+...+unn+1. a) On suppose dans un premier temps queutend vers0. Soit? >0, montrer que : ?n0?N:?n?N, n≥n0=?un0+un0+1+...+unn b) Montrer que : ?n1?N:?n?N, n≥n1=?u1+u2+...+un0-1n c) Montrer quevtend vers0. d) Montrer que, siutends versl?R, alorsvest convergente, et tend vers le même réell. e) Qu"en est-il de la réciproque?

Exercice 2: Fonction continue sur un segment

Soitfune fonction continue sur un intervalleI.

a) Montrer que l"imageJ=f(I)defest un intervalle. b) SiIest un segment[a;b], montrer quefadmet un minimummet un maximumMsurI. c) En déduire que, dans ce cas,f([a;b]) = [m;M]. 5 Exercice 3: Une démonstration alternative du théorème de Bolzano-Weierstrass

Soitu= (un)n?N?RNune suite bornée. On notelimsup(u) = limn→+∞sup{uk|k≥n}etliminf(u) =

lim n→+∞inf{uk|k≥n}. a) Soitvn= sup{uk|k≥n}. Montrer que(vn)n?Nest décroissante.

De même,(v?n= inf{uk|k≥n})n?Nest croissante. En déduire la cohérence des définitions de

limsupet deliminf b) SoitAun ensemble non vide et borné deR.

Montrer quesupA=-inf(-A)où(-A) ={-x|x?A}.

En déduire quelimsup(-u) =-liminf(u).

c) Montrer quelimsup(u)est une valeur d"adhérence deu. En déduire le théorème de Bolzano-Weierstrass. d) De même qu"enc),liminf(u)est une valeur d"adhérence deu. Exercice 4: Définition pas à pas d"une fonction continue

1) Montrer queQestdensedansR, c"est à dire queQ?Ret que tout élément deRest limite

d"une suite d"éléments deR.

2) Soitf? C(R)telle que :

?(x,y)?R2, f(x+y) =f(x) +f(y). a) En vous aidant d"un raisonnement par récurrence, déterminerfsurZen fonction def(1). b) Après avoir expriméf(1q ), q?N?, déterminerfsurQ. c) DéterminerfsurR. 6quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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