Limites et asymptotes
Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type
Limites asymptotes EXOS CORRIGES
3) En déduire la limite de la fonction f en +? . Exercice n°12. On considère la fonction numérique f définie par ( ) 2 sin. f x x.
Limites de fonctions et asymptotes - Exercices Fiche 2
Déterminer la limite de f en + et en - . 4. Montrer que la courbe C f représentative de la fonction f admet une asymptote en + et en - .
LIMITES DES FONCTIONS
Remarque : Lorsque tend vers +? la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. 2) Limite infinie à l'infini. Intuitivement : On dit que la
Limites de fonctions et asymptotes - Exercices Fiche 1
Justifier que la courbe représentative de f admet une asymptote que vous déterminerez en +? et en -?. Exercice 7: Déterminer les limites suivantes: 1. lim x
Fiche technique sur les limites
1 Fonctions élémentaires La droite y = l est asymptote horizontale à Cf ... Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +? et ?? que son ...
Opérations comparaison et asymptotes I) Limites des fonctions de
une fonction rationnelle a en +? ou ??
Compléments sur les limites asymptotes et continuité - Lycée d
27 févr. 2017 2 Limite en l'infini des polynômes et fonctions rationnelles ... La droite ? d'équation y = ? est dite asymptote horizontale à Cf en +?.
Feuille dexercices : Limites de fonctions
Exercice 6 : Détermination d'asymptotes à partir de limites. Que peut-on dire des limites suivantes concernant les asymptotes horizontales ou verticales ? a)
Limites et asymptotes
fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = a. IV) Théorèmes sur la limite d'une somme d'un produit de deux fonctions. Dans tout ce
Limites et asymptotes 1/3 LIMITES ET ASYMPTOTES
I) Limites des fonctions de référence
A l'infini
· Pour tout entier n > 0 : limn
xx®+¥=+¥ ; 1lim0n xx®+¥= ;· si n est pair : limn
xx®-¥=+¥ ; 1lim0n xx+· si n est impair : limn
xx®-¥=-¥ ; 1lim0n xx-· lim
xx®+¥=+¥ ; 1lim0x x+En zéro
· 0lim0n
xx®= ; 0lim0x x®=.· 0
01 limx xx® >=+¥ ; 0 01 limx xx®· 2
0 01 limx xx® >=+¥ ; 2 0 01 limx xx® , n pairn xx® , n impairn xx® 1, n impairn xx® 1, n pairn xx®II) Polynômes
Etude à l'infini de 3f:2xxx+a et 3g:2xxx-a. Des études numériques avec des valeurs de x de plus en plus
grandes permettent d'obtenir :· limf()xx®+¥=+¥ avec
3limxx®+¥=+¥ et lim2xx®+¥=+¥.
· limg()xx®+¥=+¥ avec
3limxx®+¥=+¥ et lim2xx®+¥-=-¥.
Théorème : La limite en +o (ou en .o) d'un polynôme est donnée par la limite de son terme de plus haut degré. III) Fractions rationnelles : asymptotes verticale, horizontale et oblique
1) Etude à l'infini
a) ThéorèmeThéorème : la limite en +o (ou en .o) d'une fonction rationnelle est donnée par la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
b) Asymptote horizontale :Définition : Si limf()xxl®+¥=, alors la courbe représentative C f de f admet en +¥ la droite d'équation yl= comme asymptote horizontale.
Remarque : On a un énoncé analogue en -¥. yl=O lim()xfxl®-¥=1
C f1 C f2 lim()xfxl®+¥=2 lLimites et asymptotes 2/3
c) Asymptote oblique :Définition : Si []limf()()0x
x a xb®+¥-+=, alors la droite d'équation y a xb=+ est asymptote à la courbe représentative C f de f en +¥.Remarques :
f(x) peut alors s'écrire sous la forme f()()xaxbx=++j avec lim()0x x®+¥j=. On a un énoncé analogue en -¥.
2) Etude en un réel a borne de l'intervalle de définition
a) ThéorèmeThéorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; ...] (ou [... ; a[ ). Si la limite en a du numérateur est un réel non nul et si la limite du dénominateur est 0, alors la limite du quotient est infinie (le signe restant à
préciser). b) Asymptote verticaleDéfinition : Si on a limf()xax®=±¥, alors la courbe C f représentant la fonctio admet une asymptote verticale d'équation x = a.
IV) Théorèmes sur la limite d'une somme, d'un produit de deux fonctions.Dans tout ce paragraphe, f et g désignent deux fonctions dont on connaît, pour chacune, la limite " au même
endroit », soit en +¥, soit en -¥, soit en un réel a. l et l' désignent deux nombres réels.
Les théorèmes suivants permettent de conclure dans la plupart des cas ; les cas où l'on ne peut pas conclure
(appelés formes indéterminées) , sont signalés par . La méthode pour traiter ces cas plus difficiles est de
modifier l'écriture (forme factorisée " forme développée) pour changer de théorème à appliquer.
1) Théorème sur la limite d'une somme de deux fonctions
Si lim f est égale à l l l +¥ -¥ +¥ et lim g est égale à l' +¥ -¥ +¥ -¥ -¥ alors lim f + g est égale à l + l' +¥ -¥ +¥ -¥ ? ?
2) Théorème sur la limite d'un produit de deux fonctions
Si lim f est égale à l l ¹ 0 ±¥ 0 et lim g est égale à l' ±¥ ±¥ ±¥ alors lim fg est égale à ll' ±¥ ±¥ ? ?
C f baxy+=O )()(f)(baxxx+-=j
0)(®jx
xO x = a +¥=-®)(flimxax
C f -¥=+
®)(flimxaxC f
aLimites et asymptotes 3/3 V) Exemples
1) Soit f la fonction définie sur ]1 ; +¥[ par 21f()1x
xx+=-.· Limite en 1 : 2
1lim12x
x®+= et puisque 11lim10x
xx+ >-=, alors 2 1 11 lim1x xx x La droite d'équation x = 1 est asymptote verticale à C f .· Limite en +¥ : 22
· Asymptote oblique en +¥ : en montrant que 2f()11xxx=++-, on a2lim[f()(1)]lim01
xxxxx®+¥®+¥-+==- . La droite d'équation y = x + 1 est donc asymptote oblique à C f en +¥. Remarque : Le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur + 1.2) Soit g la fonction définie sur R par 2
221g()1x
xx-=+.Limite en +¥ : 22
22212limlimlim221
x xxxx xx . La droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à C f en +¥.Remarques :
Le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur. g(x) peut s'écrire g(x) sous la forme 2()x+j où lim()0x x®+¥j= : en effet 23g()21x x=-+.O y = x + 1 C f
O y = 2
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