[PDF] Opérations comparaison et asymptotes I) Limites des fonctions de

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Limites 1/2 LIMITES : Opérations, comparaison et asymptotes I) Limites des fonctions de référence, des polynômes et des fonctions rationnelles

1) Fonctions de référence

A l'infini

· Pour tout entier n>0 : limxn

x®+¥=+¥ ; lim xnx®+¥=10 ;

· si n est pair : limxn

x®-¥=+¥ ; lim xnx®-¥+ =10 ;

· si n est impair : limxn

x®-¥=-¥ ; lim xnx®-¥- =10.

· lim

xx®+¥=+¥ ; lim xx®+¥+ =10.En zéro

· Pour tout entier n>0 : limxn

x®=00 ;

· lim

xx®+=00.

· lim

xx®+=+¥01 ; lim xx®-=-¥01.

· lim

xx®+=+¥021 ; lim xx®-=+¥021

2) Polynômes et fonctions rationnelles en ±¥

Théorème : · une fonction polynôme a, en +¥ ou -¥, la même limite que son terme de plus haut degré.

· une fonction rationnelle a, en +¥ ou -¥, la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.

II) Théorèmes sur la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient de deux fonctions.

Dans tout ce paragraphe, f et g désignent deux fonctions dont on connaît, pour chacune, la limite " au même

endroit », soit en +¥, soit en -¥, soit en un réel a. L et L' désignent deux nombres réels.

Les théorèmes suivants permettent de conclure dans la plupart des cas ; les cas où l'on ne peut pas conclure

(appelés formes indéterminées) , sont signalés par .

1) Limite de la somme f + g

Si lim f est égale à L L L +¥ -¥ +¥ et lim g est égale à L' +¥ -¥ +¥ -¥ -¥ alors lim f + g est égale à L + L' +¥ -¥ +¥ -¥ ? ?

2) Limite du produit fg

Si lim f est égale à L L ¹ 0 ±¥ 0 et lim g est égale à L' ±¥ ±¥ ±¥ alors lim fg est égale à LL' ±¥ ±¥ ? ? 3) Limite du quotient f

g

Si lim f est égale à L L L > 0 ou +¥ L < 0 ou -¥ 0 ±¥ et si lim g est égale à L' ¹ 0 ±¥ 0+

0- 0+ 0-

0 ±¥ alors lim f

g est égale à L L¢

0 +¥ -¥ -¥ +¥ ? ? ? ? xxn®, n pair xxn®, n impair x

xn®1, n impair x xn®1, n pair

Règle des signes ? ?

Limites 2/2 III) Comparaison

Théorème : Si, pour x assez grand, f(x) ³ g(x) et lim()xgx®+¥=+¥, alors lim()xfx®+¥=+¥. Remarque : on a un énoncé analogue lorsque f(x) £ g(x) et -¥=+¥®)(limxgx. Théorème : Si, pour x assez grand, u(x) £ f(x) £ v(x) et si lim()lim()xxuxvxl®+¥®+¥==, alors lim()xfxl®+¥=. Remarque : on a un énoncé analogue en -¥.

IV) Limites et asymptotes

1) Asymptote verticale : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la

forme ]a ; b] (ou [b ; a[ ). Si on a lim()xafx®=±¥, alors la courbe C f représentant la fonctio admet une asymptote verticale d'équation x = a.

Remarque : dans le cas des fonctions

rationnelles, un tel calcul de limite s'obtient en utilisant les résultats ci-contre du théorème sur la limite d'un quotient.

2) Asymptote horizontale : Si lim()xfxl®+¥=, alors la courbe

représentative C f de f admet en +¥ la droite d'équation yl= comme asymptote horizontale. Remarque : on a un énoncé analogue en -¥.

3) Asymptote oblique : Si []0)()(lim=+-+¥®baxxfx, alors la droite

d'équation yaxb=+ est asymptote à la courbe représentative C f de f en +¥.

Remarques :

· f(x) peut alors s'écrire sous la forme

fxaxbx()()=++j avec lim()xx®+¥=j0.

· On a un énoncé analogue en -¥.

OC f C gSi g(x) tend vers +¥, f(x) ne peut que faire pareil... O yl=Vers +

¥, C u et C v coincent C f contre

la droite d'équation y = l C uC fC v

Ox=alim()xafx®-=+¥

C flim()xafx®+=-¥C f a L > 0 ou +¥ L < 0 ou -¥ 0+ 0- 0+ 0- +¥ -¥ -¥ +¥ yl= O lim()xfxl®-¥=1 C f1

C f2lim()xfxl®+¥=2

l C fyaxb=+Oj()()()xfxaxb=-+ j()x®0 xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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