[PDF] Limites de fonctions et asymptotes - Exercices Fiche 1

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Limites de fonctions et asymptotes

Exercices Fiche 1

Exercice 1:

Déterminer les limites éventuelles de fx quand x tend vers +∞ et quand x tend vers -∞.

1.fx=5x

2.fx=3x

3. fx=-x4.fx=5-x

Exercice 2:

Déterminer les limites éventuelles de fx quand x tend vers +∞ et quand x tend vers -∞.

1.fx=2x2

2.fx=4

x 3. fx=-5xExercice 3:

Déterminer les limites éventuelles de fx quand x tend vers +∞ et quand x tend vers -∞.

2.fx=

22 x2x-5

3.fx=

3-1 x252 xExercice 4: Déterminer les limites éventuelles de fx quand x tend vers +∞ et quand x tend vers -∞.

1.fx=5x47x21

2.fx=4x3-5x23x

3.fx=3x2-5

x22 4. fx=2-3x2

4x1.

Exercice 5:

Soit f la fonction définie pour x≠5 par fx=2x4 x-5.

Montrer que la courbe représentant

f admet une asymptote horizontale en +∞ et -∞.

Exercice 6:

Soit f la fonction définie pour x≠2 par fx=2x-33 x-2.

1.Déterminer la limite de

f en +∞ et en -∞.

2.Justifier que la courbe représentative de

f admet une asymptote que vous déterminerez en +∞ et en -∞.

Exercice 7:

Déterminer les limites suivantes:

1.limx1,x11

x-1

2.limx2,x2-3x

2x-4

Limites de fonctions et asymptotes

3.limx2

3x-1 x-22.

Exercice 8:

Étudier les limites éventuelles de fx quand x tend vers a. 1. fx=4x2-5

5x15, a=-3.

2. fx=3x x23-x, a=-2. 3. fx=2 x2-1, a=1.

Exercice 9:

Soit fx = 2x2-x1 x-1 pour x≠1 et C sa courbe représentative.

1.Déterminer trois réels

a, b et c tels que pour tout x différent de 1, fx = ax + b + c x-1.

2.a. Déterminer les limites de

f en -  et en +. b. Montrer que

C admet une asymptote  en -  et en + et étudier la position de C par rapport à .

3.a. Étudier le comportement de

fx quand x tend vers 1. b. Interpréter graphiquement.

4.Déterminer les variations de la fonction

f.

5.Tracer C et .

Limites de fonctions et asymptotes

CORRECTION

Exercice 1:

Déterminer les limites éventuelles de fx quand x tend vers +∞ et quand x tend vers -∞.

1.fx=5x

limx∞5x=∞ limx-∞5x=-∞

2.fx=3x

limx-∞3x=-∞

3.fx=-x limx∞-x=-∞

limx-∞-x=∞

4.fx=5-x

limx∞

5-x=-∞ limx-∞5-x=∞

Exercice 2:

Déterminer les limites éventuelles de fx quand x tend vers +∞ et quand x tend vers -∞.

1.fx=2x2

limx∞2x2=∞ limx-∞

2x2=∞2.fx=4

x limx∞4 x=0 limx-∞4 x=0 3. fx=-5x limx∞-5 x=-∞

Exercice 3:

Déterminer les limites éventuelles de fx quand x tend vers +∞ et quand x tend vers -∞.

Limites de fonctions et asymptotes

limx∞2x-1=∞etlimx∞3-5x=-∞, donc: limx-∞

2x-1=-∞etlimx-∞

3-5x=∞, donc:

limx-∞fx=-∞

2.fx=

22 x2x-5 limx∞

22

x=2etlimx∞

2x-5=∞, donc:

limx∞ fx=∞ limx-∞22 x=2etlimx-∞2x-5=-∞, donc: limx-∞fx=-∞

3.fx=

3-1 x252 x limx∞3-1 x2=3etlimx∞52 x=5, donc: limx∞fx=15 limx-∞ 3-1 x2=3etlimx-∞

52

x=5, donc: limx-∞fx=15

Exercice 4:

Déterminer les limites éventuelles de fx quand x tend vers +∞ et quand x tend vers -∞.

1.fx=5x47x21

limx∞ fx=limx∞

5x4=∞ limx-∞fx=limx-∞5x4=∞

2.fx=4x3-5x23x

limx∞ fx=limx∞

4x3=∞ limx-∞fx=limx-∞4x3=-∞

3.fx=3x2-5

x22

Limites de fonctions et asymptotes

x2=limx∞3=3 x2=limx-∞3=3

4.fx=2-3x2

4x1.

4x=limx∞-3x

4=-∞

4x=limx∞-3x

4=∞

Exercice 5:

Soit f la fonction définie pour x≠5 par fx=2x4 x-5.

Montrer que la courbe représentant

f admet une asymptote horizontale en +∞ et -∞. limx∞ fx=limx∞ 2x x=limx∞ x=limx-∞2=2

Donc, la droite d'équation

y=2est asymptote à la courbe en +∞ et -∞.

Exercice 6:

Soit f la fonction définie pour x≠2 par fx=2x-33 x-2.

1.Déterminer la limite de

f en +∞ et en -∞.

2.Justifier que la courbe représentative de

f admet une asymptote que vous déterminerez en +∞ et en -∞.

1. limx∞2x-3=limx∞2x=∞et limx∞3

x-2=0 , donc: limx∞ fx=∞ limx-∞

2x-3=limx-∞

2x=-∞etlimx-∞3

x-2=0, donc: limx-∞fx=-∞

2. On appelle (d) la droite d'équation

y=2x-3 fx-2x-3=3 x-2 et, limx∞3 x-2=0et limx-∞ 3 x-2=0 Donc, la courbe représentative de f admet comme asymptote oblique en +∞ et en -∞ la droite (d) d'équation y=2x-3.

Exercice 7:

Déterminer les limites suivantes:

Limites de fonctions et asymptotes

1.limx1,x11

x-1 x-1=0 Û x=1x- ∞1+ ∞ x-1-0+ limx1,x11 x-1=∞

2.limx2,x2-3x

2x-4

2x-4=0

x=2x- ∞2+ ∞

2x-4-0+

-3×2=-60 limx2,x2-3x

2x-4=∞

3. limx2 3x-1 x-22 x-22=0 Û x=2 x-220 3×2-1=50 limx23x-1 x-22=∞

Exercice 8:

Étudier les limites éventuelles de fx quand x tend vers a. 1. fx=4x2-5

5x15, a=-3.

x- ∞ -3+ ∞

5x+15-+

4×-32-5=310

Limites de fonctions et asymptotes

2. fx=3x

x23-x, a=-2. x- ∞-23+ ∞ x+2-0++

3-x++0-

(x+2)(3-x)-0+0-

3×-2=-60

3. fx=2 x2-1, a=1 x2-1=0 Û x=1oux=-1x- ∞ -11+ ∞ x²-1+0-0+ 2>0

Exercice 9:

Soit fx = 2x2-x1 x-1 pour x≠1 et C sa courbe représentative.

1.Déterminer trois réels

a, b et c tels que pour tout x différent de 1, fx = ax + b + c x-1.

2.a. Déterminer les limites de

f en -  et en +. b. Montrer que

C admet une asymptote  en -  et en + et étudier la position de C par rapport à .

3.a. Étudier le comportement de

fx quand x tend vers 1. b. Interpréter graphiquement.

4.Déterminer les variations de la fonction

f.

5.Tracer C et .

1. fx=axbc

x-1 x-1 fx=ax2-axbx-bc x-1 x-1=2x2-x1 x-1 Donc a=2

Limites de fonctions et asymptotes

b-a=-1 Û b-2=-1 Ûb=2-1=1 c-b=1 c-1=1 c=2 Donc, pour tout xdifférent de 1: fx=2x2-x1 x-1=2x12 x-1

2. a) limx∞fx=limx∞2x2

x=limx∞2x=∞ x=limx-∞2x=-∞ b) On appelle la droite d'équation y=2x1 fx-2x1=2 x-1 avec limx∞2 x-1=0etlimx-∞2 x-1=0

Donc, la courbe représentative de la fonction

fadmet comme asymptote oblique en ∞et en -∞la droite d'équationy=2x1 fx-2x1=2 x-1 x-1=0 Û x=1x- ∞ 1+ ∞ x-1-0+ 2>0 Donc, la courbe représentative de la fonction fest au-dessus de sur ]1;∞[et la courbe représentative de la fonction fest en-dessous de sur ]-∞;1[. 3) a) fx=2x2-x1 x-1x- ∞ 1+ ∞ x-1-0+

2×12-11=20 limx1,x1fx=-∞etlimx1,x1fx=∞

b) D'après la question 3)a) la droite d'équation x=1est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f.

Limites de fonctions et asymptotes

4. La fonction fest définie et dérivable sur ℝ\{1}.

fx=2x2-x1 x-1

On pose

vx=x-1 v'x=1 x-12 x-12 f'x=2x2-4x x-12 f'x=2xx-2 x-12 2xx-2=0

Ûx=0oux=2

x- ∞ 012+ ∞ f '(x)+0--0+ f(x) - ∞-1

7+ ∞

5.

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