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5. Quelques lois discrètes

1/5. 2/5. 3/5. 4/5. 5/5. Loi de Bernoulli (suite). Théor`eme. La fonction de répartition d'une variable X ? Bernoulli(p) est.



Chapitre 2 - Variables Aléatoires

Fonction de Repartition de Y. 1.2 Lois discrètes usuelles. Loi de Bernoulli B (p)



Simulation de variables aléatoires

2.2 Loi de Bernoulli . On notera FX la loi (i.e. la fonction de répartition) d'une variable aléatoire X et si elle existe



Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Fonction de répartition (si d = 1) : FX(t) = P(X ? t) t ? R Loi de Bernoulli B(p) ... Vérifier que cette fonction définit bien une densité.



Probabilités et variables aléatoires

lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli; bino- Calculons la fonction de répartition de X. Comme X est positive on a.



Exercices de Probabilités

1 Introduction aux probabilités. 2. 2 V.a.r espérance



De la loi de Bernoulli à la loi normale en suivant le programme de

D'après le TCL on a la cvce en loi suivante : U = ? n. S/n ? p. ?p(1 ? p) ? N(01)



Lois de probabilité. Lois discrètes. Lois à densité.

Si X est une variable aléatoire réelle sa fonction de répartition est la fonction Loi de Bernoulli



Simulation des variables aléatoires Simulation par la méthode d

13 mars 2020 Exemple de fonction de répartition: • Pour l'expérience de lancement d'une pièce de monnaie on a la loi de probabilité de X est résumée.



Cours et exercices corrigés en probabilités

2.3 Fonction de répartition d'une v.a. discrète . On dit dans ce cas que la v.a. X suit une loi de Bernoulli de paramètre p =.



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Si X suit une loi de Bernoulli de param`etre p alors on note La fonction de répartition d'une variable X ? Bernoulli(p) est



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ce qui signifie que la fonction de répartition P(U ? u) converge vers la fonction de répartition d'une loi normale P(N(01) ? u)



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Pour utiliser la fonction de probabilité de la loi binomiale il faut déterminer la valeur du paramètre ? 1 Ce calcul peut se faire à la calculatrice mais il 



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Représenter la fonction de répartition de X 2 De façon générale on dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p et on note X ? B(p) si X



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On note dans cette exercice F la fonction de répartition d'une loi N(0 1) Remarque: pour tout t ? R F(t)=1 ? F(?t) En effet si Y est une variable 



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1 Loi de probabilité Fonction de répartition Une variable aléatoire X de Bernoulli est une variable qui ne prend que deux valeurs : l'échec



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Fonction de répartition et densité Définition 1 La fonction de répartition (f d r ) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante :



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La Fonction de répartition de la loi normale réduite permet d'obtenir les probabilités associées à toutes variables aléatoires normales (µ ) après 



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Déterminer la loi de probabilité de la v a Y et donner sa fonction de répartition Corrigé exercice 2 2 1 Déterminer la loi de probabilité de la v a X : ? 

  • Comment définir la fonction de répartition ?

    b - Représentation graphique de la fonction de répartition F de X : F(x) = 1 - 1/x2 sur [1,+?[. C'est une fonction strictement croissante (de dérivée f), nulle en 1 et admettant y = 1 comme asymptote horizontale à l'infini.

  • Comment expliquer la loi de Bernoulli ?

    De manière générale, la loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve qui n'admet que deux issues (épreuve de Bernoulli) : 1 pour « succès », 0 pour « échec », ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une telle expérience aléatoire.

  • Comment montrer que deux variables suivent la même loi ?

    On dit que deux variables aléatoires X et Y ont la même loi si elles ont la même fonction de répartition FX = FY . Remarque 1.2 Soit I un intervalle de R. L'événement {X ? x} représente l'ensemble des valeurs ? ? ? telles que X(?) soit inférieur à x, i.e.{X ? x} = {? ? ? : X(?) ? x}.
  • Pour lire la table, il faut connaître deux paramètres: le nombre total d'essais (N) et la probabilité d'obtenir un succès sur un essai particulier (p). Tous les essais doivent être identiques, de telle façon que la probabilité p ne change pas au cours des N essais.
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1/52/5 3/5 4/5 5/5

5. Quelques lois discretes

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v2)

MTH2302D: Lois discretes1/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Plan

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes2/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes3/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Epreuve de BernoulliDenition

Uneepreuve de Bernoulliest une experience aleatoire dont le resultat peut ^etre soit unsucces, soit unechec, mais pas les deux simultanement.Exemple 1 On lance une piece une fois et on note le resultat. On appelle succes le fait d'obtenir PILE et echec le fait d'obtenir FACE.Exemple 2 On choisit au hasard une piece produite en serie et on la teste pour detecter les defectuosites. La piece peut ^etre defectueuse (succes) ou conforme (echec).

MTH2302D: Lois discretes4/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Bernoulli

Contexte

Lors d'une epreuve de Bernoulli, soitpla probabilite d'un succes et q= 1pla probabilite d'un echec.

SoitXle nombre de succes. AlorsRX=f0;1get

p

X(x) =1psix= 0,

psix= 1. SiXsuit une loi de Bernoulli de parametrepalors on note XBernoulli(p)(ou Bern(p)).MTH2302D: Lois discretes5/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Bernoulli (suite)

Theoreme

La fonction de repartition d'une variableXBernoulli(p)est F

X(x) =8

>:0six <0,

1psi0x <1,

1six1:MTH2302D: Lois discretes6/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Esperance et variance

SiXBernoulli(p), alors

1.E(X) =p.

2.V(X) =p(1p).MTH2302D: Lois discretes7/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes8/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale

Contexte

On eectuenrepetitions independantes d'une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp.

SoitXle nombre de succes parmi lesnresultats.

AlorsXsuit uneloi binomialede parametresnetp, denote

XB(n;p).

On aRX=f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes9/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXB(n;p)est p

X(x) =n

x p x(1p)nx pourx2 f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes10/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

La fonction de repartition de la loi binomiale est F

X(x) =xX

k=0 n k! p k(1p)nksix2 f0;1;2;:::;ng.

Siax < a+ 1avecaentier, alorsFX(x) =FX(a).

Comme le calcul deFX(x)est fastidieux lorsque quenest grand, on utilise souvent en pratique une table de loi binomiale (disponible sur le site w ebdu cours ).Exemple 3 Prouver queFX(n) = 1.MTH2302D: Lois discretes11/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Autres caracteristiques

SiXB(n;p), alors :

1.E(X) =np.

2.V(X) =np(1p).

3.Mediane :~x=bnpc.

4.Mode :x=b(n+ 1)pc.Exemple 4

Demontrer que E(X) =np.MTH2302D: Lois discretes12/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 5

Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont defectueux. On pige avec remise 7 articles du lot.

Calculer

1.La probabilite d'observer exactement un article defectueux.

2.La probabilite d'observer au moins 4 articles defectueux.

3.La moyenne et la variance du nombre d'articles defectueux.MTH2302D: Lois discretes13/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale : calcul avec des logiciels

I

Excel :

p

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 0).

F

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 1).

I R : p

X(x) =dbinom(x,n,p).

F

X(x) =pbinom(x,n,p).MTH2302D: Lois discretes14/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale : traces enR

SoitXB(n= 50;p= 0:2).

I

Fonction de massepX(x):

x=seq(0,50,1); px=dbinom ( x=x, size=50, prob=0.2 ); plot ( x, px, type="h", xlab="x", ylab="p(x)", main="fonction de masse de XB(n=50,p=0.2)"). I

Fonction de repartitionFX(x):

x=seq(0,50,0.1);

Fx=pbinom ( q=x, size=50, prob=0.2 );

plot ( x, Fx, type="s", xlab="x", ylab="F(x)", main="fonction de repartition de XB(n=50,p=0.2)").MTH2302D: Lois discretes15/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 fonction de masse de X~B(n=50,p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes16/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.0 0.2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
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