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Probabilités et variables aléatoires

Probabilités et variables aléatoires

Résumé

Ce chapitre introduit les concepts essentielles des modèles proba- bilistes afin d"aborder l"inférence statistique : définition d"un évé- nement aléatoire, des probabilités discrètes ou continues, des pro- babilités conditionnelles et de la notion d"indépendance en proba- bilités. Après avoir défini la notion de variable aléatoire, celles de lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli; bino- miales, géométrique, de Poisson; continues uniforme, exponentielle, Gamma, normale, du chi-deux, de Student et de Fisher. Espérance et variance d"une variable aléatoires sont définies, avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théorème de central limite.

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plan du cour s

1 Introduction

Dans des domaines très différents comme les domaines scientifique, socio- logique ou médical, on s"intéresse à de nombreux phénomènes dans lesquels apparaît l"effet du hasard. Ces phénomènes sont caractérisés par le fait que les résultats des observations varient d"une expérience à l"autre. Une expérience est appelée "aléatoire" s"il est impossible de prévoir à l"avance son résultat et si, répétée dans des conditions identiques, elle peut donner des résultats différents : succession d"appels à un standard téléphonique non surchar gé; observ ationde la durée de vie d"un indi viduanon ymedans une po pula- tion; observ ationde la durée de fonctionnement sans panne d"appareil ; jeu de pile ou f ace.

Voici d"autres exemples de domaines d"applications des probabilités.FiabilitéOn considère un système formé par plusieurs composants. On s"in-

téresse à la fiabilité du système : on va chercher à calculer la probabilité que le système fonctionne encore à un instant donné. Il faut pour cela connaître la probabilité que chacun des composants fonctionne à cet instant et tenir compte du fait que les composants ne fonctionnent peut-être pas indépendamment les uns des autres. Fatigue des matériauxLes données de fatigue des matériaux sont très dis- persées. On fait alors appel à des modélisations probabilistes et à des méthodes statistiques afin, par exemple, de construire des intervalles de confiance pour le nombre moyen de cycles jusqu"à la rupture. TélécommunicationsEn télécommunications, on doit souvent tenir compte du "bruit" dans les systèmes. Par exemple, supposons qu"un système émet soit un0, soit un1, et qu"il y a un risquepque le chiffre émis soit mal reçu. Il est alors intéressant de calculer la probabilité qu"un0ait été émis, sachant qu"un

0 a été reçu, ou encore la probabilité qu"il y ait une erreur de transmission.

2 Notion de probabilité

2.1 événement

DÉFINITION1. - On appelle univers associé à une expérience aléatoire l"en- semble de tous les résultats possibles de cette expérience.

Le choix de l"ensemble

comporte une part d"arbitraire. Il dépend de l"idée que l"on a, a priori, sur les résultats de l"expérience aléatoire. Donnons quelques exemples : 1.

On lance une pièce de monnaie. Pour l"ensemble

, on peut choisir soit =fpile, faceg, soit =fpile, face, trancheg: 2. On s"intéresse à l"état de fonctionnement d"un système. Dans ce cas f0;1gavec la convention0si le système est en panne et1s"il fonctionne. 3. Le résultat de l"e xpériencealéatoire est le nombre de tirages nécessaires dans un jeu de pile ou face jusqu"à l"obtention du premier "pile". Dans ce cas, =f1;2;3;g=N:1

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4. On considère la succession des appels à un standard téléphonique non surchargé et l"on étudie la répartition des instants où le standard reçoit un appel, à partir d"un instant choisi comme origine (on admet que deux appels ne peuvent se produire rigoureusement au même instant et que le phénomène est limité dans le temps). Une réalisation de cet événement est une suite croissante de nombres réels positifstioùtidésigne l"instant d"enregistrement du i-ème appel : =f0< t1< t2<< tn< t n+1Nous constatons que peut être fini (exemples 1 et 2), dénombrable (exemples

3 et 5) ou non dénombrable (exemples 4 et 5). Lorsque

est fini ou dénom- brable, on parle d"univers discret. Sinon on parle d"univers continu. DÉFINITION2. - Etant donnée une expérience aléatoire, un événement aléa- toire est une partie de l"ensemble des résultats possibles de l"expérience, c"est donc un sous-ensembleAde l"univers . On dit que l"événementAest réalisé si le résultat!de l"expérience appartient àA. On sait que l"événementAest réalisé seulement une fois l"expérience aléatoire réalisée.

Exemples :

Si l"on s"intéresse à l"événement sui vant: "on a obtenu un chif frepair lors d"un lancer d"un dé à 6 faces", on introduitA=f2;4;6g, qui est un sous-ensemble de =f1;2;3;4;5;6g. Si l"on s"intéresse à l"événement sui vant: "la durée de vie du composant est supérieure ou égale à 1000 heures",A= [1000;+1[est un sous- ensemble de =R+. L"ensemble;est appelé l"événement impossible et est appelé l"événement certain.

2.2 Opérations sur les événements

Les événements aléatoires étant des ensembles, introduisons les opérations

ensemblistes classiques de la théorie des ensembles.DÉFINITION3. - On appelle événement contraire deA, notéAC, le complé-

mentaire deAdans A C=f!2 :! =2Ag: L"événement contraireACest réalisé si et seulement siAn"est pas réalisé. Exemple :SiAest l"événement "la durée de vie du composant est supérieure ou égale à 1000 heures" :A= [1000;+1[, l"événement contraire est l"événe- ment "la durée de vie du composant est strictement inférieure à 1000 heures" : A

C= [0;1000[.

DÉFINITION4. - SoientAetBdeux événements d"un univers L "événement" AetB" est celui qui est réalisé siAetBsont réalisés.

C"est l"intersection

A\B=f!2

:!2Aet!2Bg: L "événement" AouB" est celui qui est réalisé si l"un des deux est réalisé ou si les deux sont réalisés. C"est l"union

A[B=f!2

:!2Aou!2Bg: L "inclusionABsignifie que l"événementAne peut être réalisé sans queBle soit. DÉFINITION5. - Deux événementsAetBsont dits incompatibles si la réa- lisation de l"un implique la non-réalisation de l"autre.

Dans l"espace

, deux événements incompatibles sont représentés par deux parties disjointes. SiA\B=;, alorsAetBsont incompatibles. Il est clair, par exemple queAetACsont incompatibles.

2.3 Probabilité

Définition

DÉFINITION6. - Soit

un univers associé à une expérience aléatoire et soit

Al"ensemble des parties de

. Une probabilitéPsur l"espace( ;A)est une application deAdans[0;1]telle que2

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1.P( ) = 1: 2. Si (An)n1est une famille d"événements deA2 à 2 incompatibles, P +1[n=1An =1X n=1P(An):

Le triplet(

;A;P)est appelé espace de probabilité. On peut déduire de la définition précédente un certain nombre de propriétés. PROPOSITION7. - SoientAetBdeux événements aléatoires.

1.P(;) = 0.

2.P

N[n=1An

NP n=1P(An): 3.

Si A1;:::;ANsont deux-à-deux incompatibles,

P

N[n=1An

=NX n=1P(An):

4.P(AC) = 1P(A).

5.

Si AB,P(A)P(B).

6.P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B):

7. Si est fini ou dénombrable, alors pour tout événementA,

P(A) =X

!2AP(f!g):

Exemple : Probabilité uniforme

Soit un ensemble fini : =f!1;:::;!Ng. Pour touti2 f1;2;:::;Ng, on poseP(f!ig) =1N :Alors, pour toute partieAde , on a

P(A) =X

!2AP(f!g) =Card(A)N =Card(A)Card( ):Dans le cas du lancer de dé à 6 faces, pour tout!2 f1;2;:::;6g,P(f!g) = 1=6. Si on note l"événement "on a obtenu un chiffre pair" parA=f2;4;6g, alors

P(A) = 3=6 = 1=2:

Remarques :Pour un problème donné, il y a souvent plusieurs modélisations possibles, c"est-à-dire que le choix de l"espace de probabilité n"est pas unique. Remarque :Choisir un élément au hasard signifie que les divers choix pos- sibles sont équiprobables, donc que l"ensemble est muni de la probabilité uniforme. Dans ce cas, tous les calculs sont simples et se ramènent souvent à des calculs d"analyse combinatoire.

2.4 Probabilités conditionnelles

Dans le chapitre précédent, on a parlé de la probabilité d"un événement sans tenir compte de la réalisation d"autres événements. En pratique, on peut considérer plusieurs événements, certains pouvant avoir une influence sur la réalisation d"autres événements. Exemple :On lance deux dés. Soient les événementsA=fla somme est

11getB=fle lancer du 1er dé donne6g. Il est clair que la réalisation deB

influe sur la réalisation deA. Supposons que l"on s"intéresse à la réalisation d"un événementA, tout en sachant qu"un événementBest réalisé. SiAetBsont incompatibles, alors la question est réglée :Ane se réalise pas. Mais siA\B6=;, il est possible queAse réalise. Cependant, l"espace des événements possibles n"est plus tout entier, mais il est restreint àB. En fait, seule nous intéresse la réalisation deAà l"intérieur deB, c"est-à-direA\Bpar rapport àB. Ceci justifie la définition suivante.

DÉFINITION8. - Soit(

;A;P)un espace de probabilité. SoientAetBdeux événements aléatoires tels queP(B)6= 0. On appelle probabilité condition- nelle deAsachantBla quantité

P(AjB) =P(A\B)P(B):3

Probabilités et variables aléatoires

Remarque :On a les égalités suivantes :

SiP(B)>0;P(A\B) =P(AjB)P(B):

SiP(A)>0;P(A\B) =P(BjA)P(A):

PROPOSITION9. -(formule des probabilités totales)Soit(Ai)i2Iune fa- mille d"événements aléatoires formant une partition de , c"est-à-dire tels que : -[i2IAi= -Ai\Aj=;pour touti6=j. On suppose de plus queP(Ai)6= 0pour touti2I. Alors

P(A) =X

i2IP(AjAi)P(Ai): PROPOSITION10. -(formule de Bayes)Sous les mêmes hypothèses que la proposition précédente, on a :

P(AijA) =P(AjAi)P(Ai)P

i2IP(AjAi)P(Ai): La formule de Bayes (publiée après sa mort en 1763) présente un grand intérêt car elle permet de modifier notre connaissance des probabilités en fonction d"informations nouvelles. Cette formule joue donc un rôle très important dans la statistique bayésienne.

2.5 Indépendance

DÉFINITION11. - Soit(

;A;P)un espace de probabilité, et soientAetB deux événements aléatoires. On dit queAetBsont indépendants si

P(A\B) =P(A)P(B):

Remarque :AetBsont indépendants si et seulement siP(AjB) =P(A): pas modifiée par une information concernant la réalisation de l"événementB.

PROPOSITION12. - SiAetBsont deux événements indépendants alors :-ACetBsont également indépendants;

-AetBCsont également indépendants; -ACetBCsont également indépendants. Nous allons maintenant définir l"indépendance de plus de 2 événements aléa- toires.

DÉFINITION13. - Soit(

;A;P)un espace de probabilité. Pourn2, soientA1;A2;:::An, des événements aléatoires. Ces événement ssont deux à deux indépendants si pour tout couple (i;j) aveci6=jon a

P(Ai\Aj) =P(Ai)P(Aj):

Ces événements s ontindépendants (dans leur ensemble) si pour tout k2 f2;3;:::;nget tout choix d"indices distinctsi1;:::;ik, on a

P(Ai1\Ai2\:::\Aik) =P(Ai1)P(Ai2):::P(Aik):

3 Notion de variable aléatoire

3.1 Introduction

Dans de nombreuses expériences aléatoires, on n"est pas intéressé direc- tement par le résultat de l"expérience, mais par une certaine fonction de ce résultat. Considérons par exemple l"expérience qui consiste à observer, pour chacune desnpièces produites par une machine, si la pièce est défectueuse ou non. Nous attribuerons la valeur1à une pièce défectueuse et la valeur0à une pièce en bon état. L"univers associé à cette expérience est =f0;1gn: Ce qui intéresse le fabricant est la proportion de pièces défectueuses pro- duites par la machine. Introduisons donc une fonction de dansRqui à tout != (!1;!2;:::;!n)de associe le nombre

X(!) =nX

i=1! in qui correspond à la proportion de pièces défectueuses associée à l"observation de!. Une telle fonctionXdéfinie sur et à valeurs dansRs"appelle une variable aléatoire réelle. 4

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3.2 Définitions

Variable aléatoire réelle

DÉFINITION14. - Etant donné un univers

, une variable aléatoire réelle (v.a.r.) est une application de dansR: X:!2

7!X(!)2R:

Loi de probabilité

DÉFINITION15. - Soit

un univers muni d"une probabilitéP, et soitXune v.a.r. On appelle loi de probabilité deX, notéePX, l"application qui à toute partieAdeRassocie P

X(A) =P(f!2

:X(!)2Ag): Remarque :Dans la suite du cours, on utilisera la notation abrégée : P(f!2 :X(!)2Ag) =P(X2A). De même, on noteraP(X=x) la probabilitéP(f!2 :X(!) =xg). PROPOSITION16. - L"applicationPXdéfinit une probabilité surR.

Fonction de répartition

DÉFINITION17. - La fonction de répartition de la v.a.r.Xest définie par F

X(x) =P(Xx); x2R:

Propriétés de la fonction de répartition :

1.0FX1.

2.FXtend vers0en1et vers1en+1.

3.FXest croissante.

4.FXest continue à droite.

PROPOSITION18. - On a l"identité

P(a < Xb) =FX(b)FX(a);8a < b:Remarque :On montre facilement queFXest continue si et seulement si P(X=x) = 0pour toutx2R. On parle alors de loi diffuse ou de v.a.r. continue (voir définition 21
DÉFINITION19. - SoitXune v.a.r. de fonction de répartitionFXsupposée strictement croissante deIRdans]0;1[. Le quantile d"ordre2]0;1[de Xest le nombrex2Itel queFX(x) =;ce qui signifie que

P(Xx) =:

Remarques :

-x1=2est appelé médiane deX. La médiane vérifie les deux égalités

P(Xx1=2) = 1=2 =P(X > x1=2):

Dans lecasoùFXn"estpasstrictementcroissantemaissimplementcrois- sante, on définit le quantile d"ordrepar x = inffx2R:FX(x)g:

3.3 Variables aléatoires réelles discrètes

Définition

DÉFINITION20. - Une v.a.r.Xà valeurs dans un ensembleXfini ou dé- nombrable est appelée v.a.r. discrète. Dans ce cas, la loi deXest déterminée par l"ensemble des probabilités : P

X(x) =P(X=x); x2 X:

Ainsi, pour toute partieAdeX, on a alors :

P

X(A) =P(X2A) =X

x2AP(X=x) etPX(X) =X x2XP(X = x) = 1: Exemple :Supposons que l"on observe la durée de vieTd"une ampoule élec- trique et que cette durée de vieT, exprimée en heures, satisfait pour tout

0< a < b,

P(a < Tb) = exp(a=100)exp(b=100):5

Probabilités et variables aléatoires

On noteXle nombre de périodes complètes de100heures que dure l"am- poule. Les valeurs possibles deXetant entières, la v.a.r.Xest donc discrète. Calculons la fonction de répartition deX. CommeXest positive, on a F

X(x) =P(Xx) = 0;8x <0:

De plus, pour toutn2N,

P(X=n) =P(100nT <100(n+ 1)) = exp(n)exp((n+ 1)):

Ainsi, on a donc pour toutx0:

P(Xx) =[x]X

n=0P(X=n) = 1exp(([x] + 1)): On notera que la fonctionFXest une fonction en escalier.

Exemples de variables discrètes

SoitXune v.a.r. discrète prenant ses valeurs dans un ensemble fx1;x2;:::;xng, éventuellement infini. Alors la loi deXest caractérisée par l"ensemble des probabilitésP(X=xi), c"est-à-dire les nombres réels positifs p itels que

P(X=xi) =piavec0pi1etnX

i=1p i= 1:

Loi de Bernoulli

On dit qu"une v.a.r.Xà valeurs dansf0;1gsuit une loi de Bernoulli de paramètrep2]0;1[, notéeB(p), si

P(X= 1) = 1P(X= 0) =p:

Par exemple, cette loi intervient lorsque l"on modélise l"état de fonctionnement d"un système. La probabilité que le système fonctionne vautpet la probabilité que le système ne fonctionne pas vaut1p. Cette loi s"applique aussi aux jeux de hasard de type binaire comme pile ou face:::Loi binomiale On dit qu"une v.a.r.Xà valeurs dansf0;1;:::;ngsuit une loi binomiale de paramètres(n;p), notéeB(n;p), si

P(X=k) =Cknpk(1p)nk;0kn:

Cette loi intervient par exemple pour modéliser le nombre de pièces défec- tueuses dans un lot denpièces, qui ont chacune une probabilitépd"être dé- fectueuse, indépendamment les unes des autres.

Loi géométrique

On dit qu"une v.a.r.Xà valeurs dansNsuit une loi géométrique de para- mètrep2]0;1[, notéeG(p), si

P(X=k) =p(1p)k1; k2N:

Cette loi permet de modéliser le nombre de réalisations indépendantes d"une expérience à 2 issues (succès-échec), jusqu"à l"obtention du premier succès, si à chaque réalisation la probabilité de succès estp.

Loi de Poisson

On dit qu"une v.a.r.Xà valeurs dansNsuit une loi de Poisson de paramètre >0, notéeP(), si

P(X=k) =ekk!k2N:

Cette loi intervient comme comportement limite de la loi binomiale lorsque n!+1etnp!. Elle intervient également pour modéliser des "événements rares". SoitNla variable aléatoire comptant le nombre d"occurrences d"un événement pendant une période donnéeT. On suppose qu"un seul événement arrive à la fois, que le nombre d"événement se produisant pendantTne dépend que de la durée de cette période et que les événements sont indépendants. Si le nombre moyen d"événements (i.e. accidents) par unité de temps (i.e. semaine) estc, alors on démontre que la probabilité d"obtenirnévénements6

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pendant un tempsTest :

P(N=n) = exp(cT)(cT)nn!:

3.4 Variables aléatoires réelles continues

Définition

DÉFINITION21. - SoitXune v.a.r. qui prend un nombre infini non dénom- brable de valeurs. SiFXest une fonction continue, on dit queXest une v.a.r. continue. Dans ce cas, la loi deXest déterminée par l"ensemble des probabi- litésP(a < X < b), pour touta < b. Remarque :Notons que l"on peut mettre0. Une v.a.r.Xde fonction de répartition F

X(x) =1exp(x)six0

0six <0

est continue. DÉFINITION22. - Si l"on peut écrire la fonction de répartition d"une va- riable continue sous la forme F

X(t) =Z

t 1 f

X(x)dx;

oùfXest une fonction deRdansR, alors on dit quefXest la densité de probabilité de la v.a.r.X.

Ceci implique que l"on a pour touta < b:

P(a < X < b) =FX(b)FX(a) =Z

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